多孔介质弹性力学

1.3 多孔弹性力学迄今为止，我们一直把岩石当作均质性固体物质处理。然而，岩石通常是复杂的物质，因此，在微观规模上，它是非均质性的。在很大程度上，岩石表现的弹性反应、破裂应力等都依赖于其非固体部分。在本章中，我们将考虑岩石的孔隙体积，其不仅在储层的石油开采中是必须的，而且在岩石的机械特性方面也起到重要的作用。首先，我们对多孔和渗透性介质进行宏观描述，其允许我们去研究静态和动态的机械特性。这个处理方法基于Maurice A.Biot的理论。1.3.1 液体中固体颗粒的悬浮首先，让我们看一个非常简单的多孔介质；即在这个多孔介质中，固体和流体部分相互之间分别产生形变。实际上，我们可以把这个介质看成是流体中固体颗粒的悬浮，或例如一个饱水的、完全未固结的砂岩。如果我们把这个混合物放进一个容器中，由于外挤压力的作用而产生的体积应变是： （1.79）是混合物的体积应变。总变形必须等于每一部分变形的总和，其值来自于每一分量的体积部分。 （1.80）下标s和f分别指固体和流体，Vtot指总体积。现在，我们定义孔隙度为流体所占体积与总体积的比值，即： （1.81）因为VtotVfVs，故而固体所占体积为：=1（1.82）应变v,s和v,f分别由固体的体积模量Ks和流体的体积模量Kf得到，根据公式（1.49），公式（1.81）可写成：（1.83）结合公式（1.79）和（1.83），此时我们发现悬浮的有效模量是：=+（1.84）这是一个特别简单的多孔物质的实例。现在，我们要通过考虑岩石由固体框架和孔隙流体组成的事实进行总结，固体框架和孔隙流体不能被分别处理。1.3.2 毕奥静力特性多孔弹性力学理论现在，我们将考虑一个各向同性，多孔和渗透性的介质，该介质由两部分组成：固体和流体。固体的位移用us表示，流体的位移用uf表示。对于一个附着在固体上的体积单元，应变由us的组分的导数得到。利用公式（1.41），我们得到体积应变： （1.85）对于流体部分，我们定义一个应变参数，其描述了流体相对于固体的体积变形 （1.86）应力张量表示作用在附着于固体骨架上一个体积单元的总外应力。体积单元由固体骨架上的应力和流体中的静水压力即孔隙压力来平衡这个应力。按照符号惯例，所有的应力（包括孔隙压力）在压方向上为正。孔隙流体的存在使材料的应变能增加了额外的限制条件。因此，应力应变关系（公式（1.48）也将被修正。毕奥（1962）证明了二物相系统的线性应力应变关系，这个二物相系统可以用应变参数v 和来表示，即应力张量单元和孔隙压力： （1.87） （1.88） （1.89） （1.90） （1.91） （1.92） （1.93）和G是多孔介质的Lame参数，C和M是为描述二物相系统而增加的弹性模量。如我们在公式（1.87）（1.89）和公式（1.93）看到的那样，C在固体和流体形变中起作用，M粗略形象地描绘了多孔流体的弹性特性。关于固体和流体弹性模量的确定表达式在以后的叙述中会给出。由公式（1.87）（1.89）可以累加得出：KvC（1.94）是由公式（1.9）定义的。K2 G/3是不排水条件下多孔岩石的体积模量，不排水条件指的是流体不允许漏泄的地方。现在，我们对弹性模量K，C和M怎样与岩石组分模量相联系做一个试验。首先，设想我们做一个夹套实验（见图1.20a）：一多孔介质置于一不透水的夹套内，其承受一外部静水压力p。加载过程中允许孔隙流体泄漏，因此孔隙压力保持不变，从而应力完全由固体骨架来传递。从公式（1.93）和（1.94），我们得到： （1.95）因为这个实验描述了岩石固体部分的硬度，K称为骨架体积模量。因为没有与流体相关的剪应力，我们可以直接定义多孔系统的剪应力模量为骨架剪应力模量，即：（1.96）其次，我们做一个未夹套实验，如图1.20b。处于试验状态下的岩石试样在这里置于一流体中，在此情况下，作用在试样上的静水压力与孔隙压力相平衡，即=p。结合公式（1.93）和（1.94），可以发现：（1.97）（图1.20）在这个例子中，固体应力应变特性曲线完全依赖于固体物质固有的弹性特性，即pKv,，K是固体的体积模量（1/Ks通常指的是固体晶粒的压缩性）。比较公式（1.97），这暗示：（1.98）根据应变参数的定义（1.86）和公式（1.85）及（1.49），得到：（1.99）K是孔隙流体的体积模量。另一方面，联合公式（1.93）和（1.94），得到：（1.100）结合公式（1.99）和（1.100），我们得到关系式：（1.101）公式（1.98）和（1.101）结合K的定义（公式（1.95），根据岩石组分的弹性模量（K和K），写出弹性常数K，C和M，加上孔隙度和骨架模量K得：（1.102）（1.103）（1.104）关系式（1.102）（1.104）没有给出每一个参数的物理意义。通过看一对极限试样，我们可以获得较好的认识，其关系式变得更为简单。其中一个试样是一个坚硬的岩石，其骨架与流体比较起来是不可压缩的。通常，因为K K，对于这个刚性骨架，我们有：K，G，K K（1.105）对于限定的孔隙度（特别是（K/ K2）（KK），公式（1.102）（1.104）减至为：“刚性骨架” （1.106）K定义为岩石骨架的体积模量，而常数M完全由孔隙流体特性和孔隙体系确定。相反的极限试样是薄弱的岩石骨架。对于这个试样，我们假设：K，G，K K / K，公式（1.102）（1.104）减至为：“薄弱骨架” （1.108）在这个试样中，体积模量K不仅受岩石硬度的影响，而且还受流体体积模量K的影响。在这个极限试样中，当K0时（悬浮），K= C= MK/主要由流体特性来决定。忽略条件K K ，即得到公式（1.84），其由简单的物理自变量得到。注意到坚硬骨架和薄弱骨架极限是相当极端的试样，它们主要是用来进行说明的。表达式（1.102）（1.104）是用来进行实际计算的。以上叙述的理论包括两个未知变量，它们是岩石骨架的弹性模量K和G，不是按照岩石组分的特性来定义的。在第六章中将看到，当岩石结构资料获得较多时是如何应用微观理论来计算这些模量的。从经验上看，骨架体积模量K比K 小的多，因此孔隙度减少许多。附录A给出了毕奥多孔弹性理论包含的一些典型的参量值。在石油工程与岩石力学的文献中，有时引入术语“孔隙压缩性”，其目的是为了描述孔隙的有效硬度。通常，定义孔隙压缩性（1/Kp）为1/Kp=(1/Kfr(1)/Ks )/。但是，这个表达式是不正确的（Zimmerman，1991）。回顾应力应变关系式（1.87）（1.93），其定义了1/Kp=v,p/p，v,p是孔隙的体积应变，假设允许孔隙流体泄漏（夹套试验），我们发现：（1.109）1.3.3 有效应力概念在1.3.1节中，我们讨论了一个实验，在这个实验中，一个岩石试样被置于夹套中，其中的流体允许泄漏，因此，在加载过程中（图1.20a）孔隙压力保持不变。通过公式（1.95）得到这个试验的应力应变关系式，即：（1.110）现在设想一个相似的试验，但封闭其中的流体，因此，没有流体的流动或流体流到岩石试样的外面，我们称之为未排水。在这个试验中，试样（包括孔隙）由于外部静水压力载荷产生的压缩，会导致孔隙压力的增长。在公式（1.93）和（1.94）中，取0，即在试验中孔隙流体和固体之间没有相对位移时，我们可以计算试样的压缩和孔隙压力。由公式（1.93）可以得到孔隙压力：=Cv（1.111）由公式（1.94）可以得到应力应变关系式：pKv（1.112）利用公式（1.95）和（1.111），我们可以写出K= KfrC2/MKfr（C/M）（pf/v）。将引入的K的表达式代入公式（1.112），并整理得到：（1.113）公式（1.113）告诉我们，当我们绘制应力应变曲线的时候，如果我们使用有效应力p，其定义为：pp（1.114）而不是使用总应力和模量为K，即与排水试验结果一致（公式（1.110）。从物理意义上讲，这意味着固体骨架承载总外部应力的p部分，而剩余的部分由流体来承载。参量为毕奥常数：（1.115）后式与公式（1.98）一致。如上面提到的，K总是小于Ks。理论上，K的上限是(1)/ K（佛格特边界；见Wattet al.,1976,复杂物质弹性模量边界总述）。当然，K的下限是0。因此，取值范围为1。对于未胶结或薄弱岩石，趋进于1。1923年Terzaghi在土力学中在经验理论基础上，最先提出了有效应力的概念。T