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第五章 微 分 方 程 模 型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.1 传 染 病 模 型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一. SI 模 型假设条件：1. 人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类人，简称为健康人和病人，在时刻这两类人在总人数中所占比例分别记作和.2. 每个病人每天有效接触的平均人数是(常数)，称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述变化的数学模型.解： 由假设2知，每个病人每天可使个健康者变为病人，又由于病人数为，每天共有个健康人被感染.于是就是病人数的增加率，即有(1) 而.又记初始时刻()病人的比例为，则这就是Logistic模型，其解为 结果分析作出和的图形如下：1. 当时，取到最大值，此时刻为2. 当时，即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二. SIS 模 型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS模型.假设1、2同SI模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为于是 解得 结果分析1. 令.注意到和的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数. 2. 接触数是一个阈值.当时，病人比例越来越小，最终趋于零.当时，的增减性取决于的大小，其极限值.3. SI模型是SIS模型中的情形.三. SIR 模 型 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR模型.三类人在总人数中占的比例分别记作、和.1. 病人的日接解率为，日治愈率为（与SIS模型相同），传染期接触数为.解：由假设1，有 由假设2，得 又设于是(2)我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域为由(2)式消去，得 这里解得(3)在定义域内，(3)式表示的曲线即为相轨线
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