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文档简介

第四章解析函数的幂级数表示,前面两章我们分别用微分和积分的方法研究了解析函数的性质,本章我们将用级数的方法研究解析函数的性质.,把解析函数表示为级数不仅有理论意义,而且有实际意义，而某些应用问题也常常用到级数.,本章首先介绍复数项级数;然后讨论复变函数项级数,着重讨论幂级数及其收敛性问题；之后研究解析函数展开成泰勒级数；最后研究解析函数零点的孤立性和惟一性问题.,1、复数项级数,2、一致收敛的复函数项级数,1复级数的基本性质,3、解析函数项级数,定义4.1,1、复数项级数,说明,1、复数项级数的敛散问题,两个实数项级数的敛散问题,(定理4.1),解,所以原级数发散.,例1,例,即复级数收敛等价于级数充分远的任意片段充分小。注：,注2、,注意,应用正项级数的审敛法判定其收敛性.,所以可,（绝对收敛的级数本身也收敛）,比较法比值法（达朗贝尔判别法）根值法（柯西判别法）,常用的有,练习：判别下列复级数的敛散性,定义4.3,2、一致收敛的复函数项级数,点集E称为收敛域.,称为点点收敛.,定义4.4,2、在E上一致收敛在E上收敛,注：1、收敛是局部概念，不同的z存在不同的N.一致收敛是整体概念，即总对一个点集而言，N是整个点集上公用的。,比较,3、欲证,在E上一致收敛，需对,z,敛。这是因为,比较：,(大M法),定理4.5,优级数准则是一个被广泛应用的方法.因为它把判别复函数项级数的一致收敛性转化为判别正项级数的收敛性；另外，优级数准则同时还可以判定绝对收敛性.,而正项级数,收敛。从而,一致收敛。,例如,在z平面上一致收敛。,下述两个定理和数学分析中相应的定理平行.,每个在点集E上连续,即,在E上一致收敛于,f(z)在E上连续,（在一致收敛的条件下，,定义4.5,D,K,K,K,K,3、解析函数项级数,解析函数项级数收敛的魏尔斯特拉斯定理.,（可逐项求导任意次）,内闭一致收敛于,P=1，2，。,注：与实函数项级数相应定理比较,满足如下条件：,1、收敛于和函数S(x),2、,连续，,3、,一致收敛。,则其和函数S(x)在a,b上有连续导数，且可逐项求导，,1、移植：复级数、收敛及一致收敛、绝对收敛和条件收敛定义、柯西收敛准则、优级数准则及和函数的分析性质都是实级数相应内容的平行移植。,本节采用的数学思想是,2、转化：如复级数,的收敛性可转化为其实虚部的两个实
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