数值分析计算方法第七章PPT课件

-,1,函数逼近问题的一般提法：,对于函数类A中给定的函数f(x)，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B(A)中寻找一个函数p(x)，使p(x)与f(x)之差在某种度量意义下最小。,最常用的度量标准：,(一)一致逼近,以函数f(x)和p(x)的最大误差,作为度量误差f(x)p(x)的“大小”的标准,在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近,-,2,对于任意给定的一个小正数0，如果存在函数p(x)，使不等式,成立，则称该函数p(x)在区间a,b上一致逼近或均匀逼近于函数f(x)。,(二)平方逼近：,采用,作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。,-,3,1正交多项式,一、正交函数系的概念,考虑函数系,1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，connx，sinnx，,此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间-,上的积分都等于0！,我们称这个函数中任何两个函数在-,上是正交的，并且称这个函数系为一个正交函数系。,-,4,若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数，,使之成为：,那么这个函数系在-,上不仅保持正交的性质，而且还是标准化的(规范的),-,5,1权函数,定义7.1设(x)定义在有限或无限区间a,b上，,如果具有下列性质：,(1)(x)0，对任意xa,b，,(2)积分存在，(n=0,1,2,)，,(3)对非负的连续函数g(x)若,则在(a,b)上g(x)0,称(x)为a,b上的权函数,-,6,2内积,定义7.2设f(x)，g(x)Ca,b，(x)是a,b上的权函数，,则称,为f(x)与g(x)在a,b上以(x)为权函数的内积。,内积的性质：,(1)(f,f)0，且(f,f)=0f=0；,(2)(f,g)=(g,f)；,(3)(f1+f2,g)=(f1,g)+(f2,g)；,(4)对任意实数k，(kf,g)=k(f,g)。,-,7,3正交性,定义7.3设f(x)，g(x)Ca,b若,则称f(x)与g(x)在a,b上带权(x)正交。,定义7.4设在a,b上给定函数系，若满足条件,则称函数系k(x)是a,b上带权(x)的正交函数系，,-,8,若定义7.4中的函数系为多项式函数系，则称为以(x)为权的在a,b上的正交多项式系。并称pn(x)是a,b上带权(x)的n次正交多项式。,特别地，当Ak1时，则称该函数系为标准正交函数系。,-,9,二、常用的正交多项式,1切比雪夫()多项式,定义7.5称多项式,为n次的切比雪夫多项式(第一类)。,-,10,切比雪夫多项式的性质：,(1)正交性：,由Tn(x)所组成的序列Tn(x)是在区间-1,1上带权,的正交多项式序列。且,-,11,(2)递推关系,相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：,(3)奇偶性：,切比雪夫多项式Tn(x)，当n为奇数时为奇函数；n为偶数时为偶函数。,-,12,(4)Tn(x)在区间-1,1上有n个不同的零点,(5)Tn(x)在-1,1上有n+1个不同的极值点,使Tn(x)轮流取得最大值1和最小值-1。,-,13,(6)切比雪夫多项式的极值性质,Tn(x)的最高次项系数为2n-1(n=1,2,)。,定理7.1在-1x1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn(x)中,与零的偏差最小，且其偏差为,即，对于任何，有,-,14,2勒让德(Legendre)多项式,定义7.6多项式,称为n次勒让德多项式。,勒让德多项式的性质：,(1)正交性,勒让德多项式序列pn(x)是在-1,1上带权(x)=1的正交多项式序列。,-,15,(2)递推关系,相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：,-,16,(3)奇偶性：,当n为偶数时，pn(x)为偶函数；,当n为奇数时，pn(x)为奇函数。,(4)pn(x)的n个零点都是实的、相异的，且全部在区间-1,1内部。,-,17,3其它常用的正交多项式,(1)第二类切比雪夫多项式,定义7.7称,为第二类切比雪夫多项式。,-,18,un(x)是在区间-1,1上带权函数,的正交多项式序列。,相邻的三项具有递推关系式：,-,19,(2)拉盖尔(Laguerre)多项式,定义7.8称多项式,为拉盖尔多项式。,-,20,Ln(x)是在区间0,+上带权(x)=e-x的正交多项式序列。,相邻的三项具有递推关系式：,-,21,(3)埃尔米特(Hermite)多项式,定义7.9称多项式,为埃尔米特多项式。,-,22,的正交多项式序列。,Hn(x)是在区间(-,+)上带权函数,相邻的三项具有递推关系式：,-,23,2最佳一致逼近,一、最佳一致逼近的概念,定义7.10设函数f(x)是区间a,b上的连续函数，对于任意给定的0，如果存在多项式p(x)，使不等式,成立，则称多项式p(x)在区间a,b上一致逼近(或均匀逼近)于函数f(x)。,-,24,维尔斯特拉斯定理,若f(x)是区间a,b上的连续函数，则对于任意0，总存在多项式p(x)，使对一切axb有,-,25,3最佳平方逼近,1函数系的线性关系,定义7.11若函数，在区间a,b上连续，如果关系式当且仅当时才成立，则称函数在a,b上是线性无关的，否则称线性相关。,-,26,设是a,b上线性无关的连续函数a0,a1,an是任意实数，则,并称是生成集合的一个基底。,的全体是Ca,b的一个子集，记为,-,27,定理7.3连续函数在a,b上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式Gn0，其中,-,28,2广义多项式,设函数系，线性无关，,则其有限项的线性组合,称为广义多项式。,-,29,二、函数的最佳平方逼近,定义7.12对于给定的函数，若n次多项式,满足关系式,则称S*(x)为f(x)在区间a,b上的n次最佳平方逼近多项式。,-,30,定义7.13对于给定的函数,如果存在,使,则称S*(x)为f(x)在区间a,b上的最佳平方逼近函数。,-,31,求最佳平方