切割线定理(一)(含解析

菁优网Http:/2010年切割线定理（一） 2011 菁优网一、解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）1、（10分）（2010江汉区）如图，RtBDE中，BDE=90，BC平分DBE交DE于点C，ACCB交BE于点A，ABC的外接圆的半径为r（1）若E=30，求证：BCBD=rED；（2）若BD=3，DE=4，求AE的长2、（10分）（2009淄博）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，FAD，BE相交于点G，连接BD（1）求BD的长；（2）求ABE+2D的度数；（3）求BGAG的值3、（10分）（2008苏州）如图，在ABC中，BAC=90度BM平分ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交A于P，K两点，作MTBC于T（1）求证：AK=MT；（2）求证：ADBC；（3）当AK=BD时，求证：BNBP=ACBM4、（10分）（2008濮阳）如图，ABC内接于O，过点B作O的切线，交于CA的延长线于点E，EBC=2C（1）求证：AB=AC；（2）当ABBc=54时，求tanABE的值；如果AE=2011，求AC的值5、（10分）（2007厦门）已知：如图，PA、PB是O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，（1）若AOP=60，求OPB的度数；（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，若COP=DOP，求证：AC=BD；连接CD，设PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与O的位置关系，并说明理由6、（10分）（2007天津）如图，O和O都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作O的割线PCD交O于C、D两点，作O的切线PE切O于点E若PC=4，CD=8，O的半径为5（1）求PE的长；（2）求COD的面积7、（10分）（2007庆阳）如图EB是O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作O的切线AC，切点为D，过B作O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD，AE的长8、（10分）（2007河池）如图1，已知正方形ABCD的边长为23，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作O，过点P作O的切线交BC于点F，切点为E（1）除正方形ABCD的四边和O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示是否存在点P，使BFFG=CFOF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由9、（10分）（2007安顺）如图，A，B，C，D四点在O上，AD，BC的延长线相交于点E，直径AD=10，OE=13，且EDC=ABC（1）计算CEAE=DEBE；（2）计算CEBE的值；（3）探究：BE的取值范围10、（10分）（2006日照）阅读下面的材料：如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D求证：APAC+BPBD=AB2证明：连接AD、BC，过P作PMAB，则ADB=AMP=90，点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上由割线定理得：APAC=AMAB，BPBD=BMBA，所以，APAC+BPBD=AMAB+BMAB=AB（AM+BM）=AB2当点P在半圆周上时，也有APAC+BPBD=AP2+BP2=AB2成立，那么：（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论APAC+BPBD=AB2是否成立？为什么？（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来答案与评分标准一、解答题（共10小题，满分100分，每小题10分）1、（10分）（2010江汉区）如图，RtBDE中，BDE=90，BC平分DBE交DE于点C，ACCB交BE于点A，ABC的外接圆的半径为r（1）若E=30，求证：BCBD=rED；（2）若BD=3，DE=4，求AE的长考点：切割线定理；直角三角形全等的判定；勾股定理；切线的判定。专题：计算题；证明题。分析：（1）取AB中点O，由题意得ABC是Rt，O是外接圆心，连接CO，可证得OCDB，则OCBD=CEDE，即OCDE=CEBD；作CFBE，然后证得CBE=E=30，根据等角对等边的性质可得CE=BC，则可得BCBD=rED；（2）根据勾股定理求出BE，设CE=x，则BC=x，在RtBCD中，根据勾股定理求出x，再推得CE为圆的切线，利用切割线定理求出AE的值解答：解：（1）取AB中点O，ABC是Rt，AB是斜边，O是外接圆心，连接CO，BO=CO，BCO=OBC，BC是DBE平分线，DBC=CBA，OCB=DBC，OCDB，（内错角相等，两直线平行），OCBD=CEDE，把比例式化为乘积式得BDCE=DEOC，OC=r，BDCE=DErD=90，E=30，DBE=60，CBE=12DBE=30，CBE=E，CE=BC，BCBD=rED（2）BD=3，DE=4，根据勾股定理，BE=5，设CE=x，BC=CE=，BD2+CD2=BC2，32+（4x）2=x2，x=258，由前所述，OCBD，BDDE，故OCDE，CE是圆O切线，CE2=AEBE，AE=（258）25=12564点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理2、（10分）（2009淄博）如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，FAD，BE相交于点G，连接BD（1）求BD的长；（2）求ABE+2D的度数；（3）求BGAG的值考点：切割线定理；三角形中位线定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质。专题：代数几何综合题。分析：（1）连接OC，并延长BO交AE于点H，根据OCBD，OC为ABD的中位线，可知：BD=2OC，得BD的长；（2）连接AE，根据切线长定理知：AB=EB，可得：BAE=BEA；根据圆周角相等，得：D=AEB，可将ABE+2D的值求出；（3）根据BGOAGB，可将BGAG的值求出解答：解：（1）连接AE，OC，并延长BO交AE于点H，AB是小圆的切线，C是切点，OCAB，C是AB的中点AD是大圆的直径，O是AD的中点OC是ABD的中位线BD=2OC=10（2）由（1）知C是AB的中点同理F是BE的中点由切线长定理得BC=BFBA=BEBAE=EE=D，ABE+2D=ABE+E+BAE=180（3）连接BO，在RtOCB中，OB=13，OC=5，BC=12由（2）知OBG=OBC=OACBGO=AGB，BGOAGBBGAG=OBAB=1324点评：在解本题的过程中要用到切线长定理，中位线定理，相似三角形的判定等知识，要求学生熟练掌握和应用3、（10分）（2008苏州）如图，在ABC中，BAC=90度BM平分ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交A于P，K两点，作MTBC于T（1）求证：AK=MT；（2）求证：ADBC；（3）当AK=BD时，求证：BNBP=ACBM考点：切割线定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质。专题：证明题。分析：（1）用角平分线的性质，圆的半径相等解题；（2）根据图中相等角，找互余关系的角，从而推出垂直关系（3）连接PN，MK，根据已知证明ABDCMT再根据边之间的转化即可得到结论解答：证明：（1）BM平分ABC，BAC=90，MTBC，AM=MT又AM=AK，AK=MT（2）BM平分ABC，ABM=CBMAM=AN，AMN=ANM又ANM=BND，AMN=BNDBAC=90，ABM+AMB=90CBM+BND=90BDN=90ADBC（3）BNM和BPK为A的割线，BNBM=BPBKBNBP=BKBMAK=BD，AK=MT，BD=MTADBC，MTBC，ADB=MTC=90C+CMT=90BAC=90，C+ABC=90ABC=CMT在ABD和CMT中，&ABD=CMT&BD=MT&ADB=CTM，ABDCMTAB=MCAK=AM，AB+AK=MC+AM即BK=ACBNBP=ACBM点评：本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，圆的割线定理，全等三角形的判定，综合性强4、（10分）（2008濮阳）如图，ABC内接于O，过点B作O的切线，交于CA的延长线于点E，EBC=2C（1）求证：AB=AC；（2）当ABBc=54时，求tanABE的值；如果AE=2011，求AC的值考点：切割线定理；勾股定理；解直角三角形。专题：综合题。分析：（1）BE切O于点B，根据弦切角定理得到ABE=C，把求证AB=AC的问题转化为证明ABC=C的问题（2）连接AO，交BC于点F，tanABE=tanABF=AFBF，转化为求AF的问题在EBA和ECB中，E=E，EBA=ECB，得到EBAECB，再由切割线定理，得EB2=EAEC=EA（EA+AC），就可以求出AC的长解答：证明：（1）BE切O于点B，ABE=CEBC=2C，即ABE+ABC=2CABC=CAB=AC（2）如图，连接AO，交BC于点FAB=AC，AB=AC；AOBC，且BF=FCABBC=54AB2BF=54ABBF=52；设AB=5m，BF=2m，由勾股定理，得AF=AB2BF2=5m24m2=m；tanABE=tanABF=AFBF=m2m=12在EBA和ECB中，E=E，EBA=ECB，EBAECB，EAEB=ABBC；ABBC=54，EB=45EA（）；由切割线定理，得EB2=EAEC=EA（EA+AC）；将（）式代入上式，得165EA2=EA（EA+AC）；EA0，AC=115EA=1152011=4点评：本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，以及切割线定理5、（10分）（2007厦门）已知：如图，PA、PB是O的切线；A、B是切点；连接OA、OB、OP，（1）若AOP=60，求OPB的度数；（2）过O作OC、OD分别交AP、BP于C、D两点，若COP=DOP，求证：AC=BD；连接CD，设PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与O的位置关系，并说明理由考点：切割线定理；全等三角形的判定与性质；切线的判定。专题：证明题；探究型。分析：（1）由已知可得到APO=30，根据HL判定PAOPBO，从而得到OPB=OPA=30（2）由（1）知PAOPBO，得到POB=POA；再利用AAS判定AOCBOD，从而得到AC=BD；本题要充分利用l=2AP的条件延长射线PA到F，使AF=BD；易证得OAFOBD（SAS），得OF=OD；由于l=2AP，即l=PA+PB=PC+PD+CD，因此CD=AC+BD=AC+AF=CF；在OCF和OCD中，OF=OD，OC=OC，FC=CD；可证得OCFOCD，那么两三角形的对应边上的高也相等，则过O作OECD，则OE=OA，由此可证得CD与O相切解答：解：（1）PA为O的切线，OAP=90；又AOP=60，APO=30；由切线长定理知AP=BP，PBO=PAO=90；又OP=OP，PAOPBO（HL）；OPB=OPA=30（2）由（1）中知PAOPBO；POB=POA，又COP=DOP；COA=DOB，而CAO=DBO=90，OA=OB，AOCBOD；AC=BD；延长射线PA到F使AF=BD，OA=OB，OAF=OBD；OAFOBD；OF=OD；PCD的周长为l，l=2AP，l=PA+PB=PC+PD+AC+BD=PC+PD+CD；CD=AC+BD，AF=BD，CF=CD；又OC=OC，OF=OD；OFCOCD（SSS）；所以CF和CD边上所对应的高也应该相等过OECD于E，则OE=OA=R（R为半径长度）；所以CD与O相切点评：此题主要考查学生对切线长定理、全等三角形的判定和性质、切线的判定等知识点的综合运用能力6、（10分）（2007天津）如图，O和O都经过点A、B，点P在BA延长线上，过P作O的割线PCD交O于C、D两点，作O的切线PE切O于点E若PC=4，CD=8，O的半径为5（1）求PE的长；（2）求COD的面积考点：切割线定理；垂径定理。分析：（1）在O中，根据割线定理，得PCPD=PAPB；在O中，由切割线定理，得PE2=PAPB；联立两式得PE2=PCPD，由此可求出PE的长（2）COD中，已知底边CD的长，需求出CD边上的高；过O作CD的垂线，设垂足为F；由垂径定理得CF=FD=4；在RtCOF中，已知了OC的长，可用勾股定理求出OF的长；进而可根据三角形的面积公式求得COD的面积解答：解：（1）PD、PB分别交O于C、D和A、B；根据割线定理得PAPB=PCPD又PE为O的切线，PAB为O的割线；根据切割线定理得PE2=PAPB即PE2=PCPD=4（4+8）=48；PE=43（2）在O中过O点作OFCD，垂足为F；根据垂径定理知OF平分弦CD，即CF=12CD=4；在RtOFC中，OF2=OC2CF2=5242=9；OF=3；SCOD=12CDOF=1283=12个面积单位点评：本题考查了切割线定理、垂径定理、勾股定理等知识求圆的弦长、弦心距的问题可以转化为解直角三角形的问题7、（10分）（2007庆阳）如图EB是O的直径，A是BE的延长线上一点，过A作O的切线AC，切点为D，过B作O的切线BC，交AC于点C，若EB=BC=6，求：AD，AE的长考点：切割线定理；圆周角定理。分析：连接OD；设AE=x，根据切割线定理和勾股定理列方程求得x的值，再进一步求得AD的长解答：解：连接OD，则ADO=90；又ABC=90，A=A；ADOABC；ADAB=ODBC；设AE=x，则有：ADx+6=36=12，AD=x+62；又AD2=x（x+6），（x+6）24=x（x+6）；整理，得：x2+4x12=0；x=2，x=6（舍）；即：AE=2，AD=2（2+6）=4点评：解决此题的关键是能够综合运用切割线定理和勾股定理列方程求解8、（10分）（2007河池）如图1，已知正方形ABCD的边长为23，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作O，过点P作O的切线交BC于点F，切点为E（1）除正方形ABCD的四边和O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）；（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示是否存在点P，使BFFG=CFOF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由考点：切割线定理；正方形的性质；解直角三角形。专题：动点型；开放型。分析：（1）根据切线长定理得到FB=FE，PE=PA；（2）根据切线长定理，发现：该四边形的周长等于正方形的三边之和；（3）根据若要满足结论，则BFO=GFC，根据切线长定理得BFO=EFO，从而得到这三个角应是60，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30的直角三角形的知识进行计算解答：解：（1）FB=FE，PE=PA（2）四边形CDPF的周长为FC+CD+DP+PE+EF=FC+CD+DP+PA+BF=BF+FC+CD+DP+PA=BC+CD+DA=233=63（3）存在BFFG=CFOFBFOF=CFFGcosOFB=BFOF，cosGFC=CFFGOFB=GFCOFB=OFEOFE=OFB=GFC=60在RtOFB中，FE=FB=OBtan60=1在RtGFC中CG=CFtanGFC=CFtan60=（231）tan60=63DG=CGCD=633DP=DGtanPGD=DGtan30=233AP=ADDP=23（233）=3点评：此题综合运用了切割线定理直角三角形的性质进行求解9、（10分）（2007安顺）如图，A，B，C，D四点在O上，AD，BC的延长线相交于点E，直径AD=10，OE=13，且EDC=ABC（1）计算CEAE=DEBE；（2）计算CEBE的值；（3）探究：BE的取值范围考点：切割线定理。专题：探究型。分析：（1）根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得ABE和DCE中的两组对应角相等，再根据相似三角形的判定和性质进行证明；（2）根据已知条件可以计算出DE和AE的长，再根据割线定理得到CEBE的长；（3）根据切线的性质和AE的长确定它的取值范围解答：解：（1）证明：四边形ABCD内接于O，CDE=B，DCE=A；CDEABE；CEAE=DEBE（2）根据题意得DE=135=8，AE=10+8=18；根据割线定理得CEBE=AEDE=144（3）若点B和点C重合，即BE和圆相切，则根据勾股定理得BE=12；12BE18点评：此题能够综合考查圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、割线定理、切线的性质定理和勾股定理10、（10分）（2006日照）阅读下面的材料：如图（1），在以AB为直径的半圆O内有