不定积分的性质与基本积分公式

返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 1 不定积分概念与 基本积分公式 一、原函数 不定积分是求导运算的逆运算. 四、基本积分表 三、不定积分的几何意义 二、不定积分 返回返回返回返回返回返回 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 微分运算的逆运算是由已知函数微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数求函数F(x), 一、原函数 使使 s ts tv t( ),( )( ). = =使使 例如例如v ts t( ),( ).已知速度函数求路程函数即求已知速度函数求路程函数即求 ,( ),k x又如 已知曲线在每一点处的切线斜率求又如 已知曲线在每一点处的切线斜率求 ( ),( ),f xyf x=使的图象正是该曲线 即使得使的图象正是该曲线 即使得 ( )( ).fxk x= ( )( ).Fxf x = = 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 定义定义1fFI设函数与在区间上都有定义,若设函数与在区间上都有定义,若 fFI.则称为在区间上的一个原函数则称为在区间上的一个原函数 Fxf x( )( ) = =，,xI 3 2 (ii) 3 x x是的一个原函数:是的一个原函数: x x 3 2 . 3 = = ).()( 例例1s tv t(i)( )( )路程函数是速度函数的一个原函路程函数是速度函数的一个原函 tvts= 数:数: 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 xx x 2 2 1 (iii)ln(1) 1 + + + 是的一个原函数:是的一个原函数: () 2 2 1 ln(1). 1 xx x += + 从从(iii) (iv)可以看出可以看出, 尽管象尽管象 () 221 (iv)1arcsin1: 2 xxxx+是的一个原函数是的一个原函数 () 221 1arcsin1. 2 xxxx += 2 2 1 1 1 x x + + 和和 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 研究原函数有两个重要的问题研究原函数有两个重要的问题: 1. 满足何种条件的函数必定存在原函数满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存 在原函数,它是否惟一? 如果存 在原函数,它是否惟一? 2. 若已知某个函数的原函数存在若已知某个函数的原函数存在, 如何把它求出如何把它求出 这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是 一件容易的事.一件容易的事. 来?来? 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 第一个问题由以下定理回答第一个问题由以下定理回答. 定理定理8.1 (原函数存在性定理原函数存在性定理) fIfI,若函数在区间上连续 则在上存在原函若函数在区间上连续 则在上存在原函 ( )( ).Fxf x = = 在第九章中将证明此定理在第九章中将证明此定理. 数数 F, 即, 即 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 定理定理8.2 (原函数族的结构性定理原函数族的结构性定理) ( )( ),F xf xI设是在区间上的一个原函数 则设是在区间上的一个原函数 则 (i)( )( ),F xCf xIC也是在上的原函数 其中也是在上的原函数 其中+ (ii) f (x) 在在 I 上的任意两个原函数之间上的任意两个原函数之间, 只可能相差只可能相差 .为任意常数为任意常数 一个常数.一个常数. 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 证证(i)( )( )( ),( )F xCF xf xF xC由知由知+=+ ( ).f xI也是在上的原函数也是在上的原函数 (ii) 设设 F(x) 和和 G(x) 是是 f (x) 在在 I 上的任意两个原上的任意两个原 )()() )()(xGxFxGxF = = 由第六章拉格朗日中值定理的推论由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知即知 F xG xC( )( ). ( )( )0.f xf x= = 函数函数, 则则 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 f xx( )d, 二、不定积分 定义定义2fIf函数在区间上的全体原函数称为函数在区间上的全体原函数称为 在在 I 上的上的不定积分不定积分, 记作记作 ,( ),xf x其中称为积分变量为被积函数其中称为积分变量为被积函数 ( )d.f xx 为积分表达式, 为积分号为积分表达式, 为积分号 ( )( ),8.2,F xf x若是的一个原函数 则由定理若是的一个原函数 则由定理 ( )d( )R .f xxF xCC=+ 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 为方便起见为方便起见, 我们记我们记 ( )d( ).f xxF xC=+ 其中其中 由此由此, 从例从例 1(ii) (iii) (iv)可得可得: =+ xxxC 231 d, 3 2 2 d ln(1), 1 x xxC x =+ + () 221 1d1arcsin. 2 xxxxxC=+ .C为任意常数为任意常数 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 若若F (x)是是 f (x) 的一个原函数的一个原函数, 则称则称 y = F (x) 的图的图 所有的积分曲线都是所有的积分曲线都是 三、不定积分的几何意义 ( )yF xC= =+ + 00 (,)xy ( )yF x= = i i xO y 像是像是 f (x) 的一条的一条积分曲线积分曲线. 到的到的. 沿纵轴方向平移而得 由其中一条积分曲线 沿纵轴方向平移而得 由其中一条积分曲线 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 例如例如, 质点以匀速质点以匀速 v0 运动时运动时, 其路程函数其路程函数 00 ( )d.s tvtv tC=+ 若若 t0 时刻质点在时刻质点在 s0 处处, 且速度为且速度为 v0, 则有则有 000 ( )() . s tv tts=+ 的原函数正是在积分曲线中的原函数正是在积分曲线中 00 ()F xy=满足条件满足条件 ),( 00 yx 通过点的那一条积分曲线通过点的那一条积分曲线. 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 由基本求导公式可得以下基本积分公式由基本求导公式可得以下基本积分公式: 1. 0d.xC= 2. 1dd.xxxC= + 1 3.d(1,0). 1 x xxCx + =+ + 1 4.dln|.xxC x =+ 5. e de. xx xC=+ 四、基本积分表 6.d. ln x xa axC a =+ 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 7. cos dsin.x xxC=+ 8. sin dcos.x xxC= + 2 9. secdtan.x xxC=+ 2 10. cscdcot.x xxC= + 11. sectan dsec.xx xxC=+ 12. csccot dcsc.xx xxC= + 2 d 13.arcsinarccos. 1 x xCxC x =+= + 2 d 14.arctanarccot. 1 x xCxC x =+= + + 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算 定理定理 8.3 (不定积分的线性运算法则不定积分的线性运算法则) 1212 ( )( ) )d( )d( )d .k f xk g xxkf xxkg xx+=+ 上都存在原函数上都存在原函数, k1, k2为为fgI若函数与在区间若函数与在区间 k fk gI 12 ,+ +在 上也存在原函数 且任意常数在 上也存在原函数 且任意常数, 则则 + =+ + nn n n aaa p xxxxxa xC nn 12 011 ( )d. 12 ? 例例1,)( 1 1 10nn nn axaxaxaxp+= ? 则则 法则法则. 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 例例2 + = + + x xxx xx 4 2 22 12 d(1)d 11 =+xxxC 31 2arctan. 3 例例3 x x 2 tand =+xxCtan. = xx 2 (sec1)d =+ xx x 22 (10 )(10 )2d 221 (1010)2. 2ln10 xx xC =+ 例例4 xx x 2 (1010) d =+ xx x 22 (10102)d 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 2 换元积分法与分部积分法 一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算, 相应 部积分法. . 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 于复合函数求导数的链式法则和乘法 返回返回返回返回返回返回 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 定理定理8.4 (第一换元积分法第一换元积分法) g u( ) , 设在上有定义，设在上有定义，=+ g uuG uC( )d( ).且且 上可导，在又上可导，在又,)(baxu = =.,)(baxx 且且 则则 = gxxxg uu( ( )( )d( )d CuG+ += =)(=+( ( ).(1)GxC 证证= d ( ( )( ( )( ) d GxGxx x 因为因为).()(xxg = 一、第一换元积分法 所以所以(1)式成立式成立. 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 第一换元积分法亦称为凑微分法第一换元积分法亦称为凑微分法, 即即 =+ gxxxgxxGxC( ( )( )d( ( )d ( )( ( ), (1)dd();a xax=(2) dd();xxa=+ 1 1 (3)dd(); 1 xxx + = + (4) cos dd(sin );x xx= =x xx(5) sin dd( cos ); 1 (6)dd(ln);xx x = 2 (7) secdd(tan );x xx= 2 d (8)d(arctan ). 1 x x x = + 常见的凑微分形式有常见的凑微分形式有 =( )( ).G ug u其中其中 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 例例1).0( d 22 + a xa x 求求 解解 + = + 222 1 d 1d a x a x axa x 2 1d 1 u au = + Cu a +=+=arctan 1 .arctan 1 C a x a += 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 例例2).0( d 22 a ax x 求求 解解 = + 22 d111 d 2 x x xaaxaxa 1d()1d() 22 xaxa axaaxa + = + |ln 2 1 |ln 2 1 ax a ax a +=+= .ln 2 1 C ax ax a + + = 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 例例3.d1 2 xxx 求求 解解() 1 222 2 1 1d1d() 2 xxxxx= ()() 1 22 2 1 1d 1 2 xx= () 3 2 2 1 2 1 2 3 xC= + () 3 2 2 1 1. 3 xC= + 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 解解 32 sindsinsindx xxx x= = 2 (1cos)dcosxx 3 1 coscos. 3 xxC= = + 例例5. ln d xx x 求求 解解 dd(ln ) lnln xx xxx = ln ln.xC= =+ + 例例4.dsin 3 xx求求 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 11sin ln. 21sin x C x + + = =+ + (解法二)(解法二) sec (sectan ) sec dd sectan xxx x xx xx + = + + + = xx xx tansec )tan(secd .|tansec|lnCxx+= 解 (解法一) 解 (解法一) = 2 d(sin ) 1sin x x sec dx x = 2 cos d cos x x x 例例6.dsec xx求求 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 定理定理8.5 (第二换元积分法第二换元积分法) ( ) ,g u 若在上有定义若在上有定义,)(baxu在在 = =上可导上可导, =+ 1 ( )d( ).(2)g uuFuC 则则 证证( )0,x 在的条件下在的条件下 ( )0 , , xxa b 必有必有 ( )0, , .xxa b 或或axxa求求 解解= + 22 d (0). x a ax 解解= a ax x 求求 解解 sec , 0, 2 xatt=设= + a ax x 求求 解解 tan ,| |, 2 xatt= n 时称为真分式时称为真分式, m n 时称为假分式.时称为假分式. 假分式可化为一个多项式和一个真分式之和.假分式可化为一个多项式和一个真分式之和. 00 (0,0), 其一般形式为:其一般形式为: 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 1. 对分母对分母 Q(x) 在实数系内作标准分解在实数系内作标准分解: 11 22 111 ( )()()()() , st stt Q xxaxaxp xqxp xq =+? + 11 ,N , 2, st ijij ij m = 2 40,1,2, . jj pqjt+= 若令若令 2 (b)0 ,;caxbxcxtc+=若令若令 2 (c),axbxc +若有两个不同实根令若有两个不同实根令 ).( 2 =+xtcbxax 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 . 32 d 2 xxx x 求求例例9 解解 用方法用方法1: 22 1 dd (1)4(1)4 xu xu xxuu =+ = + 2sec 2sec tand d (2sec1)2tan2cos u = = + 2 d 23 x xxx 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 2 22 2 2tan 2 2 1 dd 13 2 1 t t tt tt t = + = + + + 2 arctan 33 t C=+ 21 arctan(tan). 233 C =+ sintan tan 21cossec1 = + 由于由于 () 2 2 21 23 , 211 u xx ux = + 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 2 2 d223 arctan. 33(1) 23 xxx C x xxx =+ + 得得 2 2:23,xxxt=用方法令则用方法令则 + = 22 2 323 , dd , 2(1)2(1) ttt xxt tt . )1(2 )32( )1(2 3 32 22 2 = + = t tt t t t xx 返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页后页后页前页前页前页前页前页前页 2 222 2(1)2(1)23 d 3(23)2(1) tttt t tttt = + 2 22 darctan 333 t