信号与系统完整ppt课件

.,1,信号与线性系统课件,马贞立二OO四年八月,.,2,第一章绪论,一、信号1.定义:信号:随时间变化的物理量。电信号:随时间变化的电量。信号=函数2.分类:(实验室信号)确定信号:函数值与时间有相应的关系。（实际信号）随机信号:函数值与时间有不确定性。但已知概率。,.,3,(模拟信号)连续信号：随时间连续变化的信号。(数字信号)离散信号：断续变化。周期信号：重复变化的信号。非周期信号：能量信号：总能量为有限值，平均功率为0。功率信号：平均功率为有限值，总能量为周期信号都是功率信号。非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。3.分析方法：时域分析法、频域分析法。,.,4,二、系统1.定义：广义：是一个由若干互有关联的单元组成的具有某种功能以用来达到某些特定目的的有机整体。狭义：电子系统是各种不同复杂程度的用作信号传输与处理的元件或部件的组合体。通俗：系统是规模更大、更复杂的电路。2.分类：线性系统：由线性元件组成的系统。非线性系统：由非线性元件组成的系统,.,5,线性系统,线性系统具有：齐次性、叠加性激励e（t）响应y（t）齐次性ke（t）ky（t）叠加性e1(t)、e2(t)y1(t)、y2(t)e1（t）+e2（t）y1（t）+y2（t）线性系统：k1e1(t)+k2e2(t)k1y1(t)+k2y2(t)非时变系统：含有参数不随时间变化的元件组成的系统。如R、L、C时变系统：如变容二极管,.,6,e（t）y（t）e（t-t0）y（t-t0）线性时不变系统：k1e1(t-t1)+k2e2(t-t2)k1y1(t-t1)+k2y2(t-t2)连续时间系统：传输、处理连续信号。离散时间系统：传输、处理离散信号。集总参数系统：分布参数系统：本课程研究的系统是：集总参数线性非时变连续时间系统离散时间系统,.,7,3.分析方法：系统分析步骤：建模分析物理解释（1）时域分析法:求解微分方程（连续信号）差分方程（离散信号）古典时域法：全解=通解+特解近代时域法：全响应=零输入响应+零状态响应卷积积分法（解齐次方程）（解非齐次方程）y（t）=yzi（t）+yzs（t）,.,8,（2）变域法：连续信号频域分析法（傅里叶变换）复频域分析法（拉普拉斯变换）离散信号Z域分析法（Z变换）频域分析法（离散傅立叶变换）,.,9,第二章连续时间系统的时域分析,2.2系统方程的算子表示法一般式:（pn+an-1pn-1+a1p+a0）y(t)=(bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0)e(t)令:D(P)=pn+an-1pn-1+a1p+a0N(P)=bmpm+bm-1pm-1+b1p+b0所以转移算子:H(P)=,.,10,齐次方程为D(p)y(t)=0非齐次方程为y(t)=H(p)e(t),.,11,2.3系统的零输入响应零输入响应:e(t)=0，响应由初始状态y(0)、y(0)决定齐次方程：D(p)y(t)=0所以D(p)=pn+an-1pn-1+a1p+a0=0讨论：1.一阶齐次方程:(p-)y(t)=0p-=0，为特征根解为y(t)=Cet，C=y（0）,.,12,2.二阶齐次方程:(p2+a1p+a0)y(t)=0即(p-1)(p-2)=0，p-1=0，p-2=0解为y（t）=C1e1t+C2e2ty（0）=C1+C2y（0）=C11+C22，求出C1、C23.n阶齐次方程：p33p34,.,13,4.重根的齐次方程:(p-)ky(t)=0解为y(t)=(C0+C1t+Ck-1tk-1)et一般k=2y(t)=(C0+C1t)ety(0)=C0y(0)=C1+C0，求出C0、C1,.,14,例：在前RLC串联电路中，L=1H，C=1F，R=2，e(0)=0，初始条件:（1）i(0)=0,i(0)=1；（2）i(0)=0，Uc(0)=10V;(3)若R=1，i(0)=0,i(0)=1；分别求零输入响应i(t)。,+,-,e(t),c,R,L,i(t),.,15,2.4奇异函数奇异函数单位阶跃函数(t)单位冲激函数(t)(t)=1，t0(t)=1，t=0(t)=0，t0(t)=0，t0关系：d(t)/dt=(t)(）d=(t),0,1,t,t,(1),0,(t),(t),.,16,(t）dt=1(t）f（t）dt=f（0）(t-t1）f（t）dt=f（t1）(t)dt=t(t),(t)积分是斜变函数d(t）/dt=(t),(t)的导数是冲激偶函数,t,f(t),0,t,0,(t),(1),(-1),.,17,2.5信号的时域分解1.几种特殊信号的分解举例:2.任意函数的分解表示成阶跃函数的积分:f(t)=f(0)(t)+f()(t-)d表示成冲激函数的积分:f(t)=f()(t-)d,.,18,分解成单位阶跃分量之和,f(t),t,f(0),f1(t),t,f0(t),.,19,分解成冲激脉冲分量之和,f(0),f1(t),f(t),t,t,.,20,2.6冲激响应e(t)y(t)e(t)y(t)e(t)dty(t)dt(t)h(t)(t)y(t)h(t)的求法:1.y(t)=H(p)e(t)h(t)=H(p)(t)=,线性时不变,线性时不变,.,21,(t)讨论:(1)当nm时h(t)=(t)其中h1(t)=(t)解h1(t)=k1e1t(t)解重根解为h1(t)=k1te1t(t)所以h(t)=kieit(t),.,22,(2)当n=m时h(t)=bm(t)+kieit(t)(3)当nm时h(t)=kieit(t)+(t)项+(m-n)(t)各阶导数2.(pn+an-1pn-1+a1p+a0)h(t)=(t)即h(n)(t)+an-1h(n-1)(t)+a1h(t)+a0h(t)=(t)对上式两边在0+0-范围取积分h(n)(t)dt+an-1h(n-1)(t)dt+a0h(t)dt=1,.,23,其中h(n-1)(0-)=h(n-2)(0-)=h(0-)=h(0-)=0h(n-2)(0+)=h(0+)=h(0+)=0h(n-1)(0+)=1对于二阶微分方程有h(0+)=1h(0+)=0例1.有微分方程y”(t)+4y(t)+4y(t)=e(t)，求此系统的冲激响应h(t)。例2若微分方程y”(t)+4y(t)+4y(t)=e(t)+3e(t)，求此系统的冲激响应h(t)。,.,24,例3y”(t)+4y(t)+4y(t)=2e”(t)+9e(t)+11e(t),再求此系统的冲激响应h(t)。例4已知电路如图所示，求h(t)。,+,-,e(t),11,1H,u(t),+,-,1F,.,25,2.7叠加积分e(t)y(t)=H(p)e(t)e(t)y(t)=h(t)*e(t)卷积积分的数学表示式:y(t)=e(t)*h(t)=h(t)*e(t)=e()h(t-)d或=h()e(t-)d卷积图解法、卷积表法,H(p),h(t),.,26,卷积的图解,t,t-2,.,27,卷积的数值计算,0。820。670。550。450。37,-1。86。89。88。32。0,2。08。39。86。8-1。8-4。8,.,28,卷积的数值计算,E(t)h(t)0。820。670。550。450。372。01.641.341.100.900.748。36.8065.5614.5653.7353.0719。88.0366.5665.394.443.626。85.5764.6233.743.062.516-1。8-1.476-1.2060.99-4。8-3.936-3.216,.,29,2.8卷积及其性质1.互换律:u(t)*v(t)=v(t)*u(t)2.分配律:u(t)*v(t)+w(t)=u(t)*v(t)+u(t)*w(t)3.结合律:u(t)*v(t)*w(t)=u(t)*v(t)*w(t)4.卷积后的微分:u(t)*v(t)=u(t)*=*v(t),.,30,5.卷积后的积分:u(x)*v(x)dt=u(t)*v(x)dx=u(x)dx*v(t)推论:*v(x)dx=u(t)*v(t)举例:f(t)*(t)=f(t)*(t)=f(t)f(t)*(t)=f()d*d(t)/dt=f()d*(t)=f()d,.,31,et(t)*(t)=e()d*(t)=e|*(t)=(1-et)(t)(t)*(t)=()d*(t)=|*(t)=t(t)6.延时后的卷积:若f1(t)*f2(t)=f(t)则f1(t-t1)*f2(t-t2)=f(t-t1-t2),.,32,例:求f1(t)=(t-t1)-(t-t2)t2t1和f2(t)=e-t(t)的卷积。（1）用微积分性质（2）用卷积表,.,33,2.9线性系统响应的时域求解y（t）=yzi（t）+yzs（t）对y(t)=H(p)e(t)H(p)=yzi（t）=Cjejt(t)h(t)=H(p)(t)解h(t)=Kjejt(t)yzs(t)=e(t)*h(t)=Kjejt*e(t),.,34,y(t)=yzi(t)+yzs(t)=Cjejt+Kjejt*e(t)1.指数函数激励下系统的响应设e(t)=est(t)那么y(t)=Cjejt+Kjejt*est零输入响应零状态响应=Cjejt+(est-ejt)=Cj-ejt+自然响应est受迫响应,.,35,自然响应:与激励信号无关受迫响应:与激励信号有关瞬态响应:t响应y(t)0稳态响应:t响应y(t)稳定零输入响应零状态响应,.,36,例:在RC电路中，R=1，C=1F，e(t)=(1+e-3t)(t),uc(0-)=1v,求uc(t)Rc+uc(t)=e(t)+uc(t)=e(t),R,+,-,e(t),uc(t),+,-,c,.,37,2.脉冲信号激励下RC电路的零状态响应设e(t)=E(t)-(t-0)+uc(t)=e(t)h(t)=e-t/RCuc(t)=e(t)*h(t)=E1-e(t)-E1-e(t-0),0,E,0,t,e(t),.,38,uR(t)=e(t)-uc(t)=Ee(t)-Ee(t-0)令=Rc,讨论与0关系如下:,.,39,3.梯形脉冲信号作用于系统e”(t)=(t)-(t-1)-(t-3)+(t-4)y”(t)=e”(t)*h(t)=h(t)(t)-h(t-1)(t-1)-h(t-3)(t-3)+h(t-4)(t-4)对y”(t)积分两次得y(t),1,3,4,0,1,t,e(t),e(t),0,1,3,4,t,1,e”(t),0,1,3,4,t,.,40,第三章信号分析,3.2信号表示为正交函数集1.矢量的分解,C12A2,A1,A2,A1,A2,C12A2,A1,A2,C12A2,.,41,或标量C12A2=A1COS两边同乘A2:A2C12A2=A1COSA2=所以C12=又因为A2=所以C12=当C12=0时,、正交,.,42,，分别为x、y轴上的单位矢量或=Ax+AyAx=Ay=其中=UyUyCOS0=1=UxUyCOS90=0,Ay,Ax,A,Ux,Uy,.,43,在三维空间中或=Ax+Ay+Az其中=1=0其中Ax=Ay=Az=,Ay,Ax,Az,.,44,n维空间中=1=0=C1+C2+Cr+Cn其中Cr=一般情况下非单位矢量用V矢量表示所以=Km=0=C1+C2+Cr+CnCr=,.,45,2.信号的分解,解f1(t)-c12f2(t)2dt=0,.,46,f1(t)、f2(t)正交，构成正交函数集例-,f1(t),f2(t),.,47,.,48,n维正交函数空间设g1(t)、g2(t)、gn(t)为正交函数那么,.,49,3.复变函数的分解n维正交复变函数空间设g1(t)、g2(t)、gn(t)为正交函数,.,50,gi(t)gi*(t)dt=kigj(t)gi*(t)dt=0=f(t)gr*(t)dt三角函数集复指数函数集,.,51,3.3信号表示为傅里叶级数周期信号在正交函数集里可用傅里叶级数分析法分三角傅里叶级数指数傅里叶级数另外在正交函数集里还有沃尔什函数、勒让德函数等。1.三角傅里叶级数完备三角函数集为1、cos(t)、cos(2t)、cos(nt)sin(t)、sin(2t)、sin(nt),.,52,cos2(nt)dt=sin2(nt)dt=1cos2(nt)dt=其中T=2sin(mt)cos(nt)dt=0sin(mt)sin(nt)dt=cos(mt)cos(nt)dt=0(mn),.,53,f(t)=+a1cos(t)+a2cos(2t)+ancos(nt)+b1sin(t)+b2sin(2t)+bnsin(nt),其中,.,54,=+Ancos(nt-n)振幅An=是偶函数相位n=arctg是奇函数,.,55,当然f(t)要分解还需要满足狄利克莱条件,在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即一般周期信号都满足这些条件.,.,56,例频谱图:,1,-1,t,f(t),T/2,T,An,A1,A3,A5,A7,.,57,f1(t)sin(t)f2(t)sin(t)+sin(3t)f3(t)sin(t)+sin(3t)+sin(5t),t,f1(t),t,f2(t),t,f3(t),.,58,2.指数傅里叶级数指数函数集为e-jnt、e-j2t、e-jt、1、ejt、ej2t、ejntejnte-jntdt=dt=Tejmte-jntdt=0(mn)f(t)=C0+C1ejt+C2ej2t+Cnejnt+C-1e-jt+C-2e-j2t+C-ne-jnt=Cnejnt,.,59,三角傅里叶级数有f(t)=+Ancos(nt-n)=+ej(nt-n)+e-j(nt-n)=Anej(nt-n)=Anejnt所以An=2Cn=f(t)e-jntdt,.,60,3.函数的奇偶性质及其与谐波领含量的关系偶函数：f(t)=f(-t)奇函数：f(t)=-f(-t)特性:(1)偶函数以纵轴对称;奇函数以原点对称。(2)偶函数*偶函数=偶函数;奇函数*奇函数=偶函数;偶函数*奇函数=奇函数。,.,61,(3)对偶函数有f(t)dt=2f(t)dt对奇函数有f(t)dt=0(4)当f(t)为偶函数时，an0，bn=0an=f(t)cos(nt)dtf(t)只含直流分量和余弦分量，不含正弦分量。,.,62,当f(t)为奇函数时，an=0，bn0bn=f(t)sin(nt)dtf(t)只含正弦分量，不含直流分量和余弦分量。举例：,T/2,E,f(t),t,-T/2,.,63,-2/T1,2/T1,f(t),t,E/2,-E/2,0,.,64,（5）当移动坐标轴时，有的奇偶函数可以互相转变。（6）对于一般非奇偶函数f（t）=fe（t）+fo（t）偶函数奇函数其中fe（t）=f（t）+f（-t）/2fo（t）=f（t）-f（-t）/2然后分别求fe（t）、fo（t）的傅里叶级数，再相加。,.,65,（7）奇谐函数：f（t+）=-f（t）偶谐函数：f（t+）=f（t）奇谐函数只含奇次谐波，不含偶次谐波；偶谐函数只含偶次谐波，不含奇次谐波。奇、偶谐函数和奇、偶函数之间的关系：奇谐函数奇函数非奇偶谐偶谐函数偶函数函数,.,66,3.4周期信号的频谱f(t)=sin(t)+sin(3t)+sin(5t)+频谱图：特点：（1）离散性；（2）谐波性；（3）收敛性。,An,3,5,7,4/,4/3,4/5,4/7,.,67,例:an=Sa(n/2)即An=Sa(n/2),T,A,t,/2,-/2,f(t),.,68,An,0,f(t),t,A,T,.,69,讨论:(1)令T=5=5=2/10=4/(2)当不变,T=10=10=2/20=4/(3)当T不变,=T/10=10=4/,An,5,10,10,20,10,20,2A/5,A/5,A/5,2/,2/,4/,.,70,周期矩形的频谱变化规律：,若T不变，在改变的情况若不变，在改变T时的情况,T,.,71,结论:(2)当不变,T谱线密集了振幅减小频宽B不变(3)当T不变,谱线线间隔不变振幅减小频宽B增大B定义:幅度下降到0.1所示宽度,或第一个过零点的宽度。结论：脉宽与频宽成反比。即时域收敛，频域波形发散（B大）。举例说明,.,72,3.5非周期信号的频谱,当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号,频率也变成连续变量,.,73,频谱演变的定性观察,-T/2,T/2,T/2,-T/2,.,74,从周期信号FS推导非周期的FT,.,75,傅立叶的逆变换,傅立叶逆变换,.,76,从物理意义来讨论FT,(a)F()是一个密度函数的概念(b)F()是一个连续谱(c)F()包含了从零到无限高频的所有频率分量,分量的频率不成谐波关系,.,77,上节讨论到当不变，T（1）An越来越小；（2）频谱越来越密集，成为连续频谱。AnF（j）频谱密度函数周期信号有An=f(t)e-jntdtf(t)=ejnt令T，则d，nAn=f(t)e-jtdtF（j）=An=f(t)e-jtdt,.,78,f(t)=ejntT，d，Tnf(t)=limejnt=limejt=F(j)ejtd=F(j)ejtd,.,79,F(j)=f(t)e-jtdt傅里叶正变换f(t)=F(j)ejtd傅里叶反变换|F(j)|是的偶函数,|F(j)|幅频特性;()是的奇函数，()相频特性。F(j)=|F(j)|ej(),傅立叶变换存在的充分条件:,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换,.,80,例：F(j)=ASa()特点：(1)连续性;(2)收敛性;(3)频宽B和周期信号一样。,t,f(t),A,-/2,/2,.,81,3.6常用信号频谱函数举例例1求单边指数信号f(t)=e-t(t)的频谱函数。,f(t),t,0,.,82,0,0,-,.,83,例2求双边指数信号f(t)=et的频谱函数。=,f(t),0,t,0,2/,.,84,例3求冲激函数的频谱。即f(t)=F(j)ejtd=ejtd=(t),1,t,0,0,.,85,以-代，有ejtd=e-jtd又ejtd=2(t)12（）,1,0,t,0,.,86,例4求复指数函数f(t)=ejct的频谱函数。=e-j（-c）tdt=ej（-c）tdt=2（-c）,2,F(),c,.,87,应用:cosct=(ejct+e-jct)(+c)+(-c)sinct=(ejct-e-jct)j(+c)-(-c),F(),c,.,88,例5求阶跃函数的频谱。,u(t),0,t,0,.,89,3.7傅里叶变换的性质1.线性特性如果f1(t)F1(j),f2(t)F2(j)那么a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(j)+a2F2(j)2.延时特性如果f(t)F(j),那么f(t-t0)F(j)e-jt0,.,90,例:前面有f1(t)F1(j)=ASa()f(t)=f1(t-)所以f(t)F(j)=e-j/2ASa(),t,A,f(t),-/2,.,91,3.移频特性如果f(t)F(j),那么f(t)ejctF(j-jc)cos(ct)=(ejct+ejct)cos(ct)(+c)+(-c)sin(ct)=(ejct-ejct)sin(ct)j(+c)-(-c),频谱搬移技术,.,92,.,93,.,94,推论:(t)()+1/j(t)cosct(-c)+(+c)+=(-c)+(+c)-(t)sinct(-c)-(+c)-,.,95,4.尺度变换特性如果f(t)F(j),那么f(at)F()当a1时，f(at)表示在时间轴上压缩了a倍,F()表示在频域中扩展a倍。结论:B=k，脉宽与频宽成反比。当a=-1时，f(-t)F(-j)=f(-t)e-jtdt=f(t)ejtdt,.,96,时域中的压缩等于频域中的扩展,f(t/2),压缩,扩展,.,97,例:求符号函数sgnt=1t0的频谱函数。-1t0sgnt=(t)-(-t)根据(t)()+(-t)(-)+=()-sgnt,-1,1,0,t,sgnt,.,98,|F(j)|,-/2,带有尺度变换的时移特性f(at-b)F()ej例:f(6-2t)=f-2(t-3)F()ej3例:f(3-2t)ej4tFe,.,99,5.奇偶特性e-jt=cost-jsintF(j)=f(t)e-jtdt=f(t)cos(t)dt-jf(t)sin(t)dt如f(t)为偶函数,f(t)sin(t)dt=0F(j)=2f(t)cos(t)dt=R()如f(t)为奇函数,f(t)costdt=0F(j)=-j2f(t)sin(t)dt=jX()(虚奇函数),.,100,6.对称特性如果f(t)F(j),那么F(jt)2f(-)F(jt)=R(t)+jX(t)如果f(t)为实偶函数，f(-)=f(),F(jt)的实部R(t)2f()例:(t)1F()2()1F(t)即(),.,101,.,102,如果f(t)为虚奇函数，f(-)=-f()F(jt)的虚部X(t)-2f()例:sgntF()-2sgnF(t)即sgn,.,103,7.微分特性如果f(t)F(j),那么jF(j)推论:(j)nF(j)如:(t)()+j()+=1(t),.,104,三角脉冲,E,.,105,=cos(/2)-1=sin2(/4),三角脉冲的频谱,.,106,例:atbf(t)=A-ata-bt0）则F(j)=f（t）e-te-jtdt=f（t）e-(+j)tdt令s=+j复频率F(s)=f(t)e-stdt双边拉普拉斯正变换复密度函数那么f(t)e-t=F(j)ejtd,.,135,f(t)=F(j)e(+j)td=F(s)estds(反变换)F(s)=f(t)e-stdt为单边拉普拉斯变换;f(t)=F(s)estds(t)为单边拉普拉斯反变换。如果令=0,s=j成为傅氏变换,所以拉氏变换是傅氏变换的推广；傅氏变换是拉氏变换的特例。,.,136,物理意义：在傅氏变换中f（t）=F(j)ejtd一对正负,ejt可组成正弦波，幅度F(j)d/为等幅振幅；（与t变量无关）在拉氏变换中f（t）=F(s)estds一对正负,ejt可组成正弦波，幅度F(s)det/为变幅振幅；(与t变量有关),.,137,s平面上示意波形:拉氏变换是把函数f(t)在定值范围里分解成无穷多个具有est形式的分量之和。,.,138,5.3拉普拉斯变换的收敛区f(t)乘以收敛因子e-t并不一定都能满足绝对可积的条件。收敛区：f(t)e-t满足绝对可积的值范围。收敛条件：值范围的表达式。如o,j,o,.,139,举例：（1）(t)在整个区域里收敛，即0=-，-。（2）(t)要满足(t)e-t0为其收敛区。（3）et(t)ete-t0，即为其收敛区。,.,140,5.4常用函数的拉普拉斯变换1.(t)F(s)=f(t)e-stdt=(t)e-stdt=12.(t)F(s)=f(t)e-stdt=e-stdt=,.,141,3.et(t)F(s)=f(t)e-stdt=ete-stdt=e-(s-)tdt=4.cos(t)(t)cost=(ejt+e-jt)F(s)=,.,142,5.sin(t)(t)sint=(ejt-e-jt)F(s)=6.etcos(t)(t)etcost=e(+j)t+e(-j)tF(s)=,.,143,7.etsin(t)(t)etsint=e(+j)t-e(-j)tF(s)=,.,144,8.tn(t)F(s)=f(t)e-stdt=tne-stdt=e-st+tn-1e-stdt=tn-2e-stdt=t0e-stdt=应用:n=0,tn(t)=(t)=n=1,tn(t)=t(t)=n=2,tn(t)=t2(t)=,.,145,5.5拉普拉斯反变换方法部分分式展开法留数法1.部分分式展开法对于F(s)=(1)mnF(s)=多项式+真分式如F(s)=3s5+,.,146,3s53(t)-5(t)(2)m0),.,161,例:2te-6t(t)=(2t)e-3(2t)(t)=（3）时间平移如果f(t)F(s)那么f(t-t0)(t-t0)F(s)e-st0,.,162,例：求单锯齿波的拉氏变换。f(t)=(t)-(t-T)=(t)-(t-T)(t-T)-E(t-T)-e-sT-e-sT=1-e-sT(1+sT),t,f(t),E,T,.,163,对于有始周期函数f(t)=f1(t)+f2(t)+=f1(t)+f1(t-T)(t-T)+根据f1(t)F1(s),F(s)=F1(s)+F1(s)e-sT+F1(s)e-2sT+=F1(s)1+e-sT+e-2sT+1+e-sT+e-2sT+是等比递减数列,利用泰勒级数F(s)=,.,164,例:求周期锯齿波的拉氏变换。f(t)=(t)-E(t-T)-E(t-2T)-F(s)=e-sTe-2sT=,t,f(t),E,T,2T,3T,.,165,（4）频率平移如果f(t)F(s)那么f(t)es0tF(ss0)例:2te-6t(t)=（5）时域微分如果f(t)F(s)那么sF(s)-f(0-)s2F(s)-sf(0-)-f(0)上式多用于复频域分析。,.,166,当f(t)为有始函数,f(0-)=0,sF(s)s2F(s)例:求e-at(t)导数的拉氏变换。解:选0-系统:e-at,选0+系统:sF(s)-f(0+)-1=,.,167,（6）时域积分如果f(t)F(s)那么f()d+f()d对有始函数f()d（7）复频域的微、积分如果f(t)F(s)那么tf(t)F(s)ds例：2te-6t(t)-2=,.,168,（8）卷积定理如果f1(t)F1(s);f2(t)F2(s),那么f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)F1(s)*F2(s)2jf1(t)f2(t)卷积定理多用于复频域的分析。,.,169,例：已知sin(at)求的原函数。,.,170,5.7线性系统的拉普拉斯变换分析法带有初始值的电感、电容的拉氏变换:uL(t)=LLsIL(s)-iL(0)所以UL(s)=LsIL(s)-LiL(0)电压源,L,iL,iL(0),+uL-,Ls,IL(s),+,-,LiL(0),+,-,UL(s),.,171,两边同除以Ls:=IL(s)-iL(0)/sIL(s)=+iL(0)/s电流源,Ls,IL(s),iL(0)/s,+UL(s)-,.,172,iC(t)=CCsUC(s)-uc(0)所以IC(s)=CsUC(s)-Cuc(0)电流源,c,+uC-,uC(0),IC(s),Cuc(0),+UC(s)-,1/Cs,ic,.,173,两边同除以Cs:=UC(s)-uc(0)/sUC(s)=+uc(0)/s电压源,+,-,uc(0)/s,1/Cs,IC(s),+UC(s)-,.,174,例1有微分方程y”(t)+5y(t)+6y(t)=e(t)+5e(t)已知:e(t)=e-t(t),y(0)=2,y(0)=1求系统响应y(t)。解:方法一:时域法(p2+5p+6)y(t)=01=-2,2=-3yzi(t)=c1e-2t+c2e-3tc1+c2=2c1=7-2c1-3c2=1c2=-5所以yzi(t)=7e-2t-5e-3t,.,175,h(t)=(t)=(t)h(t)=3e-2t-2e-3tyzs(t)=e(t)*h(t)=(3e-2t-2e-3t)*e-t=3(e-t-e-2t)(e-t-e-3t)=2e-t-3e-2t+e-3ty(t)=(2e-t+4e-2t-4e-3t)(t),.,176,方法二:变域法s2Y(s)-sy(0)-y(0)+5sY(s)-5y(0)+6Y(s)=sE(s)+5E(s)(s2+5s+6)Y(s)=sy(0)+y(0)+5y(0)+(s+5)E(s)Y(s)=Yzi(s)+E(s)Yzs(s),.,177,Yzi(s)=7e-2t-5e-3tYzs(s)=2e-t-3e-2t+e-3t瞬态响应y(t)=(2e-t+4e-2t-4e-3t)(t)受迫响应自然响应,.,178,例2已知:L=1H,C=2F,R=1,求:H(s)=H(s)=,L,L,C,R,R,+,-,u1(t),+,-,u2(t),.,179,例3已知:t=0时，s打开,求:i(t)、u(t)。解：iL1(0)=1,iL2(0)=2,I(s)=i(t)=(t)U(s)=-4,u(t)=-4(t),+,-,2v,i(t),s,L1,L2,R1,R2,+,-,u(t),2/s,s,-,+,1,2s,-,+,4,2,1,1H,2H,.,180,例4已知:c1=1F,c2=2F,R=3,uc1(0)=1v,设t=0s闭合,试求:通过c1的电流ic1(t)。解:IC1(s)=ic1(t)=(t)+e-t/9(t),ic1(t),c1,+,-,uc1(0),s,c2,R,+,-,1/s,1/s,1/2s,.,181,例5已知:e(t)=12v,L=1H,C=1F,R1=3,R2=2,R3=1,t=0s闭合,求:y(t)解:uc(0)=6viL(0)=2A,+,-,e(t),R1,L,C,R2,S,R3,+,-,y(t),.,182,整理有:(s2+4s+4)Y(s)=Y(s)=y(t)=3+(2t+3)e-2t(t),+,-,12/s,3,s,+,-,2,1/s,+,-,6/s,1,+,-,Y(s),.,183,5.9双边拉普拉斯变换1.双边拉普拉斯变换对于f(t)=fa(t)(t)+fb(t)(-t),Fd(s)=Fa(s)+Fb(s)=fa(t)e-stdt+fb(t)e-stdt下面是Fb(s)的求法:(1)令t=-,得fb(-);(2)求fb(-)的拉普拉斯变换Fb(p);(3)令p=-s,得Fb(s)。实际上对任何函数Fb(s)=-Fa(s),.,184,注意:Fd(s)是否存在,要看它们是否有公共收敛区,有公共收敛区,Fd(s)存在;无公共收敛区,Fd(s)不存在。例:求f(t)=e|t|的双边拉普拉斯变换,Fb(s)=-因为0,有公共收敛区,0,就没公共收敛区,Fd(s)也不存在。2.双边拉普拉斯反变换注意极点的归属。即Fd(s)的极点应分布于收敛区两侧。例:求Fd(s)=,收敛区46,f(t)=(e4t-e6t)(t);如果收敛区4,f(t)=(e6t-e4t)(-t)。3.双边信号作用下线性系统的响应例:已知激励信号f(t)=e-4t(t)+e-2t(-t),系统的冲激响应为h(t)=e-3t(t),求系统的响应。,.,187,解:Fd(s)=,-4-3Fd(s)、H(s)公共收敛区-3n，在无穷大处有（m-n）阶极点。零、极点为实数，在s平面实轴上（x轴），为一对共轭复数，位于s平面实轴对称位置上。,.,211,系统的稳定性：当激励为有限，响应也有限。无源系统是稳定系统；有源系统不一定是稳定系统。如振荡器的起振过程属于不稳定系统，所以这种系统是有源系统。根据系统函数H(s)的极点分部情况,判断系统的稳定性:(1)如果极点位于s平面的左半平面,系统稳定;(2)如果极点位于s平面的右半平面,系统不稳定;,.,212,(3)如果虚轴上有单阶极点,系统临界稳定;如果虚轴上有二阶或以上极点,系统不稳定.另外系统函数分子m幂次大于分母n幂次,无穷大处有(m-n)阶极点,稳定系统