数学《二次函数图象与性质》十年核心中考真题版,含详细答案.pdf

第 1 页（共 75 页） 二次函数综合训练十年真题二次函数综合训练十年真题 评卷人 得 分 一解答题（共一解答题（共 49 小题）小题） 1 （2009通州区二模）已知二次函数 yx23x4 （1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于 0 时 x 的取值范围 2 （2018 秋永定区校级月考）如图，一次函数 y1kx+b 与二次函数 y2ax2的图象交于 A （1，n） ，B（2，4）两点 （1）利用图中条件，求两个函数的解析式； （2）根据图象写出使 y1y2的 x 的取值范围为 3 （2015北京）有这样一个问题：探究函数 yx2+的图象与性质 小东根据学习函数的经验，对函数 yx2+的图象与性质进行了探究 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数 yx2+的自变量 x 的取值范围是 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 3 2 1 1 2 3 第 2 页（共 75 页） y m 求 m 的值； （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出 的点，画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，） ，结合函数的 图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 4 （2015北京）在平面直角坐标系 xOy 中，过点（0，2）且平行于 x 轴的直线，与直线 y x1 交于点 A，点 A 关于直线 x1 的对称点为 B，抛物线 C1：yx2+bx+c 经过点 A， B （1）求点 A，B 的坐标； （2）求抛物线 C1的表达式及顶点坐标； （3）若抛物线 C2：yax2（a0）与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的 取值范围 第 3 页（共 75 页） 5 （2013贵阳）已知：直线 yax+b 过抛物线 yx22x+3 的顶点 P，如图所示 （1）顶点 P 的坐标是 ； （2）若直线 yax+b 经过另一点 A（0，11） ，求出该直线的表达式； （3）在（2）的条件下，若有一条直线 ymx+n 与直线 yax+b 关于 x 轴成轴对称，求直 线 ymx+n 与抛物线 yx22x+3 的交点坐标 6 （2013杭州）已知抛物线 y1ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于点 A，B（点 A，B 在原点 O 两侧） ，与 y 轴相交于点 C，且点 A，C 在一次函数 y2x+n 的图象上，线段 AB 长为 16，线段 OC 长为 8，当 y1随着 x 的增大而减小时，求自变量 x 的取值范围 7 （2015宁夏）已知点 A（，3）在抛物线 yx 的图象上，设点 A 关于 抛物线对称轴对称的点为 B （1）求点 B 的坐标； （2）求AOB 度数 8 （2015义乌市）如果抛物线 yax2+bx+c 过定点 M（1，1） ，则称此抛物线为定点抛物线 （1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式小敏 写出了一个答案：y2x2+3x4，请你写出一个不同于小敏的答案； （2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线 yx2+2bx+c+1，求该 抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答 9 （2013泉州）已知抛物线 ya（x3）2+2 经过点（1，2） （1）求 a 的值； （2）若点 A（m，y1） 、B（n，y2） （mn3）都在该抛物线上，试比较 y1与 y2的大小 10 （2014陕西）已知抛物线 C：yx2+bx+c 经过 A（3，0）和 B（0，3）两点，将这 条抛物线的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N 第 4 页（共 75 页） （1）求抛物线 C 的表达式； （2）求点 M 的坐标； （3）将抛物线 C 平移到抛物线 C，抛物线 C的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交 点记为 N如果以点 M、N、M、N为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形，那 么应将抛物线 C 怎样平移？为什么？ 11 （2013凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题： 材料：将二次函数 yx2+2x+3 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，求平移 后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变） 解：在抛物线 yx2+2x+3 图象上任取两点 A（0，3） 、B（1，4） ，由题意知：点 A 向左平 移 1 个单位得到 A（1，3） ，再向下平移 2 个单位得到 A（1，1） ；点 B 向左平 移 1 个单位得到 B（0，4） ，再向下平移 2 个单位得到 B（0，2） 设平移后的抛物线的解析式为 yx2+bx+c 则点 A （1， 1） ， B （0， 2） 在抛物线上 可 得：，解得：所以平移后的抛物线的解析式为：yx2+2 根据以上信息解答下列问题： 将直线 y2x3 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，求平移后的直线的解析式 12 （2010红河州）二次函数 yx2的图象如图所示，请将此图象向右平移 1 个单位，再向 下平移 2 个单位 （1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式； （2）求经过两次平移后的图象与 x 轴的交点坐标，指出当 x 满足什么条件时，函数值大于 0？ 13 （2013资阳）在关于 x，y 的二元一次方程组中 （1）若 a3求方程组的解； （2）若 Sa（3x+y） ，当 a 为何值时，S 有最值 第 5 页（共 75 页） 14 （2012达州） 【问题背景】 若矩形的周长为 1，则可求出该矩形面积的最大值我们可以设矩形的一边长为 x，面积为 s，则 s 与 x 的函数关系式为：0） ，利用函数的图象或通过配方均可求 得该函数的最大值 【提出新问题】 若矩形的面积为 1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 【分析问题】 若设该矩形的一边长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为：（x0） ，问题 就转化为研究该函数的最大（小）值了 【解决问题】 借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数（x0）的最大（小）值 （1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数（x0）的图象： x 1 2 3 4 y （2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当 x 时，函数（x0）有最 值（填“大”或“小” ） ，是 （3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数0）的最大值， 请你尝试通过配方求函数（x0）的最大（小）值，以证明你的猜想 提示： 当 x0 时， 15 （2011十堰）如图，线段 AD5，A 的半径为 1，C 为A 上一动点，CD 的垂直平 第 6 页（共 75 页） 分线分别交 CD，AD 于点 E，B，连接 BC，AC，构成ABC，设 ABx （1）求 x 的取值范围； （2）若ABC 为直角三角形，则 x ； （3）设ABC 的面积的平方为 W，求 W 的最大值 16 （2015泰州）已知二次函数 yx2+mx+n 的图象经过点 P（3，1） ，对称轴是经过（ 1，0）且平行于 y 轴的直线 （1）求 m、n 的值； （2）如图，一次函数 ykx+b 的图象经过点 P，与 x 轴相交于点 A，与二次函数的图象相 交于另一点 B，点 B 在点 P 的右侧，PA：PB1：5，求一次函数的表达式 17 （2014牡丹江）如图，抛物线 yax2+2x+c 经过点 A（0，3） ，B（1，0） ，请解答下 列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点为点 D，对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长 注：抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，） 第 7 页（共 75 页） 18 （2013佛山）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（0，3） ，B（3，0） ，C（4， 3） （1）求抛物线的函数表达式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）把抛物线向上平移，使得顶点落在 x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和 y 轴围成 的图形的面积 S（图中阴影部分） 19 （2006遂宁）已知二次函数 yx2+4x （1）用配方法把该函数化为 ya（xh）2+k（其中 a、h、k 都是常数且 a0）的形式， 并指出函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）函数图象与 x 轴的交点坐标 20 （2005乌兰察布）已知抛物线 yx22x3，将 yx22x3 用配方法化为 ya（x h）2+k 的形式，并指出对称轴、顶点坐标及图象与 x 轴、y 轴的交点坐标 21 （1999西安）已知抛物线 y3x2+3x （1）通过配方，将抛物线的表达式写成 ya（x+h）2+k 的形式（要求写出配方过程） ； （2）求出抛物线的对称轴和顶点坐标 第 8 页（共 75 页） 22 （2018陕西） 已知抛物线 L： yx2+x6 与 x 轴相交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 并与 y 轴相交于点 C （1）求 A、B、C 三点的坐标，并求ABC 的面积； （2）将抛物线 L 向左或向右平移，得到抛物线 L，且 L与 x 轴相交于 A、B两点（点 A在点 B的左侧） ，并与 y 轴相交于点 C，要使ABC和ABC 的面积相等， 求所有满足条件的抛物线的函数表达式 23 （2017兴安盟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为 A（1，4） ，且与 x 轴 交于 B、C 两点，点 B 的坐标为（3，0） （1）写出 C 点的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围 24 （2017黑龙江）如图，已知抛物线 yx2+mx+3 与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y 轴交 于 C 点，点 B 的坐标为（3，0） ，抛物线与直线 yx+3 交于 C、D 两点连接 BD、 AD （1）求 m 的值 （2）抛物线上有一点 P，满足 SABP4SABD，求点 P 的坐标 25 （2015滨州）根据下列要求，解答相关问题 （1）请补全以下求不等式2x24x0 的解集的过程 构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数 y2x24x；并在下面的坐标系 第 9 页（共 75 页） 中（见图 1）画出二次函数 y2x24x 的图象（只画出图象即可） 求得界点，标示所需；当 y0 时，求得方程2x24x0 的解为 ；并用锯齿线 标示出函数 y2x24x 图象中 y0 的部分 借助图象，写出解集；由所标示图象，可得不等式2x24x0 的解集为 （2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式 x22x+14 的解集 构造函数，画出图象 求得界点，标示所需 借助图象，写出解集 （3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于 x 的不等式 ax2+bx+c0（a0）的解集 26 （2014湘西州）据省环保网发布的消息，吉首市空气质量评价连续两年居全省 14 个省 辖市城市之最，下表是吉首市 2014 年 5 月份前 10 天的空气质量指数统计表 （一）2014 年 5 月 1 日10 日空气质量指数（AQI）情况 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 空气质 量指 数 （AQ I） 28 38 94 53 63 149 53 90 84 35 （二）空气质量污染指数标准（AQI） 污染指数 等级 第 10 页（共 75 页） 050 优 51100 良 101150 轻微污染 151200 轻度污染 （1）请你计算这 10 天吉首市空气质量指数的平均数，并据此判断这 10 天吉首市空气质量 平均情况属于哪个等级； （用科学计算器计算或笔算，结果保留整数） （2）按规定，当空气质量指数 AQI100 时，空气质量才算“达标” ，请你根据表（一）和 表（二）所提供的信息，估计今年（365 天）吉首市空气质量“达标”的天数 （结果保 留整数） 27 （2014永州）为了了解学生在一年中的课外阅读量，九（1）班对九年级 800 名学生采 用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查的结果分为四种情况：A10 本以下；B.1015 本；C.1620 本；D.20 本以上根据调查结果统计整理并制作了如图所示的两幅统计图 表： 各种情况人数统计频数分布表 课外阅读情况 A B C D 频数 20 x y 40 （1）在这次调查中一共抽查了 名学生； （2）表中 x，y 的值分别为：x ，y ； （3）在扇形统计图中，C 部分所对应的扇形的圆心角是 度； （4）根据抽样调查结果，请估计九年级学生一年阅读课外书 20 本以上的学生人数 28 （2018攀枝花）某校为了预测本校九年级男生毕业体育测试达标情况，随机抽取该年级 部分男生进行了一次测试（满分 50 分，成绩均记为整数分） ，并按测试成绩 m（单位： 分）分成四类：A 类（45m50） ，B 类（40m45） ，C 类（35m40） ，D 类（m 35）绘制出如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： 第 11 页（共 75 页） （1）求本次抽取的样本容量和扇形统计图中 A 类所对的圆心角的度数； （2）若该校九年级男生有 500 名，D 类为测试成绩不达标，请估计该校九年级男生毕业体 育测试成绩能达标的有多少名？ 29 （2013乐山）中学生带手机上学的现象越来越受到社会的关注，为此某记者随机调查了 某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A无所谓；B基本赞成； C 赞成； D 反对） 并将调查结果绘制成频数折线统计图 1 和扇形统计图 2 （不完整） 请 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了 名中学生家长； （2）将图 1 补充完整； （3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区 6000 名中学生家长中有多少名家长持反对态 度？ 30 （2016广州）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩 转数学”比赛现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩 三个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录甲、乙、丙三个小组各项得分如表： 小组 研究报告 小组展示 答辩 甲 91 80 78 乙 81 74 85 第 12 页（共 75 页） 丙 79 83 90 （1）计算各小组的平均成绩，并从高分到低分确定小组的排名顺序； （2）如果按照研究报告占 40%，小组展示占 30%，答辩占 30%计算各小组的成绩，哪个小 组的成绩最高？ 31 （2018徐州）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部 分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下： 类别 家庭藏书 m 本 学生人数 A 0m25 20 B 26m100 a C 101m200 50 D m201 66 根据以上信息，解答下列问题： （1）该调查的样本容量为 ，a ； （2）在扇形统计图中， “A”对应扇形的圆心角为 ； （3）若该校有 2000 名学生，请估计全校学生中家庭藏书 200 本以上的人数 32 （2018天津）某养鸡场有 2500 只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它 们的质量（单位：kg） ，绘制出如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问 题： 第 13 页（共 75 页） （I）图中 m 的值为 ； （ll）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数； （）根据样本数据，估计这 2500 只鸡中，质量为 2.0kg 的约有多少只？ 33 （2016杭州）某汽车厂去年每个季度汽车销售数量（辆）占当季汽车产量（辆）百分比 的统计图如图所示根据统计图回答下列问题： （1）若第一季度的汽车销售量为 2100 辆，求该季的汽车产量； （2）圆圆同学说： “因为第二，第三这两个季度汽车销售数量占当季汽车产量是从 75%降 到 50%，所以第二季度的汽车产量一定高于第三季度的汽车产量” ，你觉得圆圆说的对 吗？为什么？ 34 （2017柳州）据查，柳州市 2017 年 6 月 5 日至 6 月 9 日的气象数据如下，根据数据求 出这五天最高气温的平均值 6 月 5 日 星期一 大雨 2432C 6 月 6 日 星期二 中雨 2330C 6 月 7 日 星期三 多云 2331C 6 月 8 日 星期四 多云 2533C 6 月 9 日 星期五 多云 2634C 第 14 页（共 75 页） 35 （2016柳州）在一次“社会主义核心价值观”知识竞赛中，四个小组回答正确题数情况 如图，求这四个小组回答正确题数的平均数 36 （2015厦门）某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们 的成绩（百分制）如表所示 应聘者 面试 笔试 甲 87 90 乙 91 82 若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩 6 和 4 的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被 录取？ 37 （2015甘孜州）某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事，对甲、乙、丙三名 候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试 93 70 68 根据录用程序，学校组织 200 名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票 率（没有弃权，每位同学只能推荐 1 人）如扇形统计图所示，每得一票记 1 分 （1）分别计算三人民主评议的得分； （2）根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按 4：3：3 的比例确定个人成 绩，三人中谁的得分最高？ 第 15 页（共 75 页） 38 （2018陕西）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保 护环境为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃 圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情 况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试根据测试成绩分布情况，他 们将全部测试成绩分成 A、B、C、D 四组，绘制了如下统计图表： “垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表 组别 分数/分 频数 各组总分/分 A 60x70 38 2581 B 70x80 72 5543 C 80x90 60 5100 D 90x100 m 2796 依据以上统计信息解答下列问题： （1）求得 m ，n ； （2）这次测试成绩的中位数落在 组； （3）求本次全部测试成绩的平均数 39 （2018贵阳）在 6.26 国际禁毒日到来之际，贵阳市教育局为了普及禁毒知识，提高禁 毒意识，举办了“关爱生命，拒绝毒品”的知识竞赛某校初一、初二年级分别有 300 人，现从中各随机抽取 20 名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下： 初一： 68 88 100 100 79 94 89 85 100 88 100 90 98 97 77 94 96 100 92 67 初二： 69 97 96 89 98 100 99 100 95 100 99 69 97 100 99 94 79 99 98 79 （1）根据上述数据，将下列表格补充完成 整理、描述数据： 分数段 60x69 70x79 80x89 90x100 第 16 页（共 75 页） 初一人数 2 2 4 12 初二人数 2 2 1 15 分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如表： 年级 平均数 中位数 满分率 初一 90.1 93 25% 初二 92.8 20% 得出结论： （2）估计该校初一、初二年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共 人； （3）你认为哪个年级掌握禁毒知识的总体水平较好，说明理由 40 （2018曲靖）某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校 部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图 依据以上信息解答以下问题： （1）求样本容量； （2）直接写出样本的平均数，众数和中位数； （3）若该校一共有 1800 名学生，估计该校年龄在 15 岁及以上的学生人数 41 （2018云南）某同学参加了学校举行的“五好小公民红旗飘飘”演讲比赛，7 名评委 给该同学的打分（单位：分）情况如下表： 评委 评委 1 评委 2 评委 3 评委 4 评委 5 评委 6 评委 7 打分 6 8 7 8 5 7 8 （1）直接写出该同学所得分数的众数与中位数； （2）计算该同学所得分数的平均数 42 （2012淄博）截止到 2012 年 5 月 31 日， “中国飞人”刘翔在国际男子 110 米栏比赛中， 共 7 次突破 13 秒关卡成绩分别是（单位：秒） ： 第 17 页（共 75 页） 12.97 12.87 12.91 12.88 12.93 12.92 12.95 （1）求这 7 个成绩的中位数、极差； （2）求这 7 个成绩的平均数（精确到 0.01 秒） 43 （2018福建）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下： 甲公司为“基本工资+揽件提成” ，其中基本工资为 70 元/日，每揽收一件提成 2 元； 乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资若当日揽件数不超过 40，每件提成 4 元；若 当日搅件数超过 40，超过部分每件多提成 2 元 如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图： （1）现从今年四月份的 30 天中随机抽取 1 天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过 40 （不含 40）的概率； （2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该 公司各揽件员的 揽件数，解决以下问题： 估计甲公司各揽件员的日平均揽件数； 小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用 所学的统计知识帮他选择，井说明理由 44（2018郴州） 6 月 14 日是 “世界献血日” ， 某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血 献 血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A 型” 、 “B 型” 、 “AB 型” 、 “O 型”4 种 类型在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计 结果制作了两幅不完整的图表： 血型 A B AB O 第 18 页（共 75 页） 人数 10 5 （1）这次随机抽取的献血者人数为 人，m ； （2）补全上表中的数据； （3）若这次活动中该市有 3000 人义务献血，请你根据抽样结果回答： 从献血者人群中任抽取一人，其血型是 A 型的概率是多少？并估计这 3000 人中大约有多少 人是 A 型血？ 45 （2018泸州）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、 社会实践四个方面的人数进行调查统计现从该校随机抽取 n 名学生作为样本，采用问 卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项） 并根据调查得到 的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图由图中提供的信息，解答下列问题： （1）求 n 的值； （2）若该校学生共有 1200 人，试估计该校喜爱看电视的学生人数； （3）若调查到喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，现从这 4 名学生中任意 抽取 2 名学生，求恰好抽到 2 名男生的概率 46 （2018南充） “每天锻炼一小时，健康生活一辈子” 为了选拔“阳光大课间”领操员， 学校组织初中三个年级推选出来的 15 名领操员进行比赛，成绩如下表： 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 2 5 4 4 第 19 页（共 75 页） （1）这组数据的众数是 ，中位数是 （2）已知获得 10 分的选手中，七、八、九年级分别有 1 人、2 人、1 人，学校准备从中随 机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率 47 （2018青岛）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动小明想参加敬老服务活动，小 亮想参加文明礼仪宣传活动他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了 一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记 4、5、6 三个数字，一人先 从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字， 若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽 出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动你认 为这个游戏公平吗？请说明理由 48 （2017营口）如图，有四张背面完全相同的纸牌 A、B、C、D，其正面分别画有四个不 同的几何图形，将这四张纸牌背面朝上洗匀 （1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率； （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由 小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜， 否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表法（或树状图）说明理由（纸牌用 A、B、C、 D 表示） 49 （2017青海）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球 数 n 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 m 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 （ 1 ） 请 在 图 中 完 成 这 批 彩 色 弹 力 球 “ 优 等 品 ” 频 率 的 折 线 统 计 图 第 20 页（共 75 页） （2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？（精确到 0.01） （3）从这批彩色弹力球中选择 5 个黄球、13 个黑球、22 个红球，它们除了颜色外都相同， 将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率 （4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使 从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 第 21 页（共 75 页） 二次函数综合训练十年真题二次函数综合训练十年真题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题（共一解答题（共 49 小题）小题） 1 （2009通州区二模）已知二次函数 yx23x4 （1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于 0 时 x 的取值范围 【考点】H2：二次函数的图象；H3：二次函数的性质菁优网版权所有 【分析】 （1）当二次项系数为 1，用配方法时，应注意配上“一次项系数一半的平方” ； （2）画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与 x 轴（y 轴）的交点，再根据 图形求函数值不小于 0 时，即 y0 时，x 的取值范围 【解答】解： （1）yx23x4 x23x+（）2（）24 （x）2； 二次函数图象的顶点坐标是（，） ， 对称轴方程是 x （2）yx23x4（x+1） （x4） ， 图象与 x 轴两交点坐标为（1，0） ， （4，0） ， 函数值不小于 0 时，x 的取值范围是 x1 或 x4 图象如图 第 22 页（共 75 页） 【点评】 本题主要考查了配方法确定二次函数的顶点及对称轴， 在配方的过程中注意要保持 式子的值不变 2 （2018 秋永定区校级月考）如图，一次函数 y1kx+b 与二次函数 y2ax2的图象交于 A （1，n） ，B（2，4）两点 （1）利用图中条件，求两个函数的解析式； （2）根据图象写出使 y1y2的 x 的取值范围为 x1 或 x2 【考点】H2：二次函数的图象；H3：二次函数的性质菁优网版权所有 【分析】 （1）把 B 坐标代入二次函数解析式即可求得二次函数解析式，把 A 横坐标代入二 次函数解析式即可求得点 A 坐标；把 A，B 两点坐标代入一次函数解析式即可求得一次 函数的解析式； （2）应从交点看一次函数的值小于二次函数的值时 x 的取值 【解答】解： （1）由图象可知：B（2，4）在二次函数 y2ax2上， 4a22， a1， 则二次函数的解析式为：y2x2， 又 A（1，n）在二次函数 y2x2上， n（1）2， n1， 第 23 页（共 75 页） 则 A（1，1） ， 又 A、B 两点在一次函数 y1kx+b 上， ， 解得：， 则一次函数 y1x+2， 答：一次函数的解析式为：y1x+2，二次函数的解析式为：y2x2； （2）根据图象可知：当 x1 或 x2 时，y1y2 故答案为：x1 或 x2 【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式和比较大小问题，判定函数值的大小关键是： 应从两个函数的交点处看什么时候一次函数的值小于二次函数的值时 x 的取值 3 （2015北京）有这样一个问题：探究函数 yx2+的图象与性质 小东根据学习函数的经验，对函数 yx2+的图象与性质进行了探究 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数 yx2+的自变量 x 的取值范围是 x0 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值 x 3 2 1 1 2 3 y m 求 m 的值； （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点根据描出 的点，画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，） ，结合函数的 图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 该函数没有最大值 第 24 页（共 75 页） 【考点】G2：反比例函数的图象；G4：反比例函数的性质；H2：二次函数的图象；H3：二 次函数的性质菁优网版权所有 【分析】 （1）由图表可知 x0； （2）根据图表可知当 x3 时的函数值为 m，把 x3 代入解析式即可求得； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可； （4）观察图象即可得出该函数的其他性质 【解答】解： （1）x0， （2）令 x3， y32+ +； m； （3）如图 （4）该函数的其它性质： 该函数没有最大值； 第 25 页（共 75 页） 该函数在 x0 处断开； 该函数没有最小值； 该函数图象没有经过第四象限 故答案为该函数没有最大值 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数 的图象是解题的关键 4 （2015北京）在平面直角坐标系 xOy 中，过点（0，2）且平行于 x 轴的直线，与直线 y x1 交于点 A，点 A 关于直线 x1 的对称点为 B，抛物线 C1：yx2+bx+c 经过点 A， B （1）求点 A，B 的坐标； （2）求抛物线 C1的表达式及顶点坐标； （3）若抛物线 C2：yax2（a0）与线段 AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的 取值范围 【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有 【分析】 （1）当 y2 时，则 2x1，解得 x3，确定 A（3，2） ，根据 AB 关于 x1 对称， 所以 B（1，2） （2）把（3，2） ， （1，2）代入抛物线 C1：yx2+bx+c 得，求出 b，c 的值， 即可解答； （3）画出函数图象，把 A，B 代入 yax2，求出 a 的值，即可解答 【解答】解： （1）当 y2 时，则 2x1， 解得：x3， A（3，2） ， 第 26 页（共 75 页） 点 A 关于直线 x1 的对称点为 B， B（1，2） （2）把（3，2） ， （1，2）代入抛物线 C1：yx2+bx+c 得： 解得： yx22x1 顶点坐标为（1，2） （3）如图，当 C2过 A 点，B 点时为临界， 代入 A（3，2）则 9a2， 解得：a， 代入 B（1，2） ，则 a（1）22， 解得：a2， 【点评】本题考查了二次函数的性质，解集本题的关键是求出二次函数的解析式，并结合图 形解决问题 5 （2013贵阳）已知：直线 yax+b 过抛物线 yx22x+3 的顶点 P，如图所示 （1）顶点 P 的坐标是 （1，4） ； （2）若直线 yax+b 经过另一点 A（0，11） ，求出该直线的表达式； （3）在（2）的条件下，若有一条直线 ymx+n 与直线 yax+b 关于 x 轴成轴对称，求直 线 ymx+n 与抛物线 yx22x+3 的交点坐标 第 27 页（共 75 页） 【考点】F9：一次函数图象与几何变换；FA：待定系数法求一次函数解析式；H3：二次函 数的性质菁优网版权所有 【分析】 （1）利用配方法求出图象的顶点坐标即可； （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）利用关于 x 轴对称点的坐标性质，首先求出直线 ymx+n 的解析式，进而得出直线 y mx+n 与抛物线 yx22x+3 的交点坐标 【解答】解： （1）yx22x+3（x 2+2x）+3（x+1） 2+4， P 点坐标为： （1，4） ； 故答案为： （1，4） ； （2）将点 P（1，4） ，A（0，11）代入 yax+b 得： ， 解得：， 该直线的表达式为：y7x+11； （3）直线 ymx+n 与直线 y7x+11 关于 x 轴成轴对称， ymx+n 过点 P（1，4） ，A（0，11） ， ， 解得：， y7x11， 7x11x 22x+3， 第 28 页（共 75 页） 解得：x17，x22， 此时 y160，y23， 直线 ymx+n 与抛物线 yx22x+3 的交点坐标为： （7，60） ， （2，3） 【点评】 此题主要考查了二次函数性质以及待定系数法求一次函数解析式和函数交点坐标求 法，根据已知得出图象上对应点坐标是解题关键 6 （2013杭州）已知抛物线 y1ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于点 A，B（点 A，B 在原点 O 两侧） ，与 y 轴相交于点 C，且点 A，C 在一次函数 y2x+n 的图象上，线段 AB 长为 16，线段 OC 长为 8，当 y1随着 x 的增大而减小时，求自变量 x 的取值范围 【考点】H3：二次函数的性质；HA：抛物线与 x 轴的交点菁优网版权所有 【分析】根据 OC 的长度确定出 n 的值为 8 或8，然后分n8 时求出点 A 的坐标，然后 确定抛物线开口方向向下并求出点 B 的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据 二次函数的增减性求出 x 的取值范围；n8 时求出点 A 的坐标，然后确定抛物线开 口方向向上并求出点 B 的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增 减性求出 x 的取值范围 【解答】解：根据 OC 长为 8 可得一次函数中的 n 的值为 8 或8 分类讨论：n8 时，易得 A（6，0）如图 1， 抛物线经过点 A、C，且与 x 轴交点 A、B 在原点的两侧， 抛物线开口向下，则 a0， AB16，且 A（6，0） ， B（10，0） ，而 A、B 关于对称轴对称， 对称轴直线 x2， 要使 y1随着 x 的增大而减小，且 a0， x2； n8 时，易得 A（6，0） ，如图 2， 抛物线过 A、C 两点，且与 x 轴交点 A，B 在对称轴两侧， 抛物线开口向上，则 a0， AB16，且 A（6，0） ， B（10，0） ，而 A、B 关于对称轴对称， 第 29 页（共 75 页） 对称轴直线 x2， 要使 y1随着 x 的增大而减小，且 a0， x2 综上所述，x2 或 x2 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征，二次函 数的增减性，难点在于要分情况讨论 7 （2015宁夏）已知点 A（，3）在抛物线 yx 的图象上，设点 A 关于 抛物线对称轴对称的点为 B （1）求点 B 的坐标； （2）求AOB 度数 【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有 【分析】 （1）首先求得抛物线的对称轴，然后确定点 A 关于对称轴的交点坐标即可； （2）根据确定的两点的坐标确定AOC 和BOC 的度数，从而确定AOB 的度数 【解答】解： （1）yx（x2）2+4， 对称轴为 x2， 点 A（，3）关于 x2的对称点的坐标为（3，3） ； （2）如图： 第 30 页（共 75 页） A（，3） 、B（3，3） ， BC3，AC，OC3， tanAOC，tanBOC， AOC30，BOC60， AOB30 【点评】 本题考查了二次函数图象上的点的坐标及二次函数的性质， 能够确定抛物线的对称 轴是解答本题的关键，难度不大 8 （2015义乌市）如果抛物线 yax2+bx+c 过定点 M（1，1） ，则称此抛物线为定点抛物线 （1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式小敏 写出了一个答案：y2x2+3x4，请你写出一个不同于小敏的答案； （2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线 yx2+2bx+c+1，求该 抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答 【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有 【分析】 （1）根据顶点式的表示方法，结合题意写一个符合条件的表达式则可； （2）根据顶点纵坐标得出 b1，再利用最小值得出 c1，进而得出抛物线的解析式 【解答】解： （1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是 1， 根据顶点式得：yx22x+2； （2）定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1） ，且1+2b+c+11， c12b， 顶点纵坐标 c+b2+122b+b2（b1）2+1， 当 b1 时，c+b2+1 最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时 c1， 抛物线的解析式为 yx2+2x 【点评】本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，首先利用顶点坐标式写出来， 第 31 页（共 75 页） 再化为一般形式 9 （2013泉州）已知抛物线 ya（x3）2+2 经过点（1，2） （1）求 a 的值； （2）若点 A（m，y1） 、B（n，y2） （mn3）都在该抛物线上，试比较 y1与 y2的大小 【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；H6：二次函数图象与几何变换菁优网版权所有 【分析】 （1）将点（1，2）代入 ya（x3）2+2，运用待定系数法即可求出 a 的值； （2）先求得抛物线的对称轴为 x3，再判断 A（m，y1） 、B（n，y2） （mn3）在对称轴 左侧，从而判断出 y1与 y2的大小关系 【解答】解： （1）抛物线 ya（x3）2+2 经过点（1，2） ， 2a（13）2+2， 解得 a1； （2）函数 y（x3）2+2 的对称轴为 x3， A（m，y1） 、B（n，y2） （mn3）在对称轴左侧， 又抛物线开口向下， 对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大， mn3， y1y2 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出 对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键 10 （2014陕西）已知抛物线 C：yx2+bx+c 经过 A（3，0）和 B（0，3）两点，将这 条抛物线的顶点记为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N （1）求抛物线 C 的表达