压轴小题突破练

5.与向量有关的压轴小题1.(2017四川成都一诊)已知A，B是圆O：x2y24上的两个动点，2，.若M是线段AB的中点，则的值为()A.3 B.2C.2 D.3答案A解析因为点M是线段AB的中点，所以，2，所以ABO是等边三角形，即，60，22cos 602，22222223，故选A.2.( 2017辽宁葫芦岛月考)已知点O为ABC内一点，AOB120，OA1，OB2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则的值为()A. B.C. D.答案A解析SOABOAOBsinAOB，AB，根据等面积法得OD，所以22.3.(2017浙江温州中学月考)在ABC中，已知9，sin Bcos Asin C，SABC6，P为线段AB上的点，且xy，则xy的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析由题设sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Csin Ccos A，即sin Acos C0，也即cos C0，C90，又bccos A9，故b29，即b3.ab6，故a4，c5，故建立如图所示直角坐标系xOy，则A(3，0)，B(0，4)，则由题设可知P(x，y)，直线AB的方程为1且x0，y0，12，即xy3，当且仅当x，y2时“”成立，故选C.4.(2017运城期中)已知点O是ABC内部一点，且满足2340，则AOB，BOC，AOC的面积之比依次为()A.423 B.234C.432 D.345答案A解析如图所示，延长OA，OB，OC，使OD2OA，OE3OB，OF4OC，2340，0，即O是DEF的重心，故DOE，EOF，DOF的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则AOB的面积为，BOC的面积为，AOC的面积为，故AOB，BOC，AOC的面积之比依次为423.故选A.5.若a，b，c均为单位向量，且ab0，则|abc|的最小值为()A.1 B.1C.1 D.答案A解析ab0，且|a|b|c|1，|ab|，又(ab)c|ab|c|cosab，ccosab，c，|abc|2a2b2c22ab2ac2bc32(ab)c32cosab，c，当cos(ab，c)1时，|abc|32(1)2，|abc|的最小值为1.6.已知向量m(sin 2x，1)，n，f(x)(mn)m，则函数f(x)的最小正周期与最大值分别为()A.，3 B.，3C.， D.，3答案B解析mn，则f(x)(mn)msin 2x(sin 2xcos 2x)sin22xsin 4x(cos 4xsin 4x)3sin3，f(x)的最小正周期T，最大值为3，故选B.7.(2017湖北部分重点中学联考)已知P是ABC所在平面内一点，若，则PBC与ABC的面积的比为()A. B. C. D.答案A解析在线段AB上取D使ADAB，则，过A作直线l使lBC，在l上取点E使，过D作l的平行线，过E作AB的平行线，设交点为P，则由平行四边形法则可得，设PBC的高为h，ABC的高为k，由三角形相似可得hk13，PBC与ABC有公共的底边BC，PBC与ABC的面积的比为，故选A.8.(2017届福建福州外国语学校期中)已知向量a，b满足|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)2x33|a|x26abx7在实数集R上单调递增，则向量a，b的夹角的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析求导可得f(x)6x26|a|x6ab，则由函数f(x)2x33|a|x26abx7在实数集R上单调递增，可得f(x)6x26|a|x6ab0恒成立，即x2|a|xab0恒成立，故判别式a24ab0恒成立，再由|a|2|b|0，可得8|b|28|b|2cosa，b，cosa，b，又a，b0，a，b.9.(2017湖南长沙长郡中学)已知点M(1，0)，A，B是椭圆y21上的动点，且0，则的取值范围是()A. B.1，9C. D.答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x11，y1)，(x21，y2)，(x1x2，y1y2)，由题意有(x11)(x21)y1y20，所以(x11)(x1x2)y1(y1y2)(x11)x1(x11)x2yy1y2xx1y(x11)(x21)y1y2(x11)xx11xx11x2x122，x12，2.所以当x2时，有最大值9，当x时，有最小值，故选C.10.设双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若(，R)，则该双曲线的离心率为()A. B.2C. D.答案D解析双曲线的渐近线为yx，焦点F(c，0)，则A，B，P，因为，所以，所以1，解得，又由，得，解得，所以e，故选D.11.若点O，F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则的最大值为_.答案6解析设P(x，y)，则(x，y)(x1，y)x2xy2，又点P在椭圆上，故1，所以x2x3x2x2x3(x2)22，又2x2，所以当x2时，(x2)22取得最大值为6，即的最大值为6.12.(2017江西抚州市七校联考) 在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2b2c2ab，且acsin B2sin C，则_.答案3解析由a2b2c2ab，得2cos C，即cos C，由acsin B2sin C，得abc2c，即ab2，abcos C23.13.(2017届河南开封月考)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F(c，0)(c0)，作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若2，则双曲线的离心率为_.答案解析由2，得()可知，E为PF的中点，令右焦点为F，则O为FF的中点，PF2OEa，E为切点，OEPF，PFPF，|PF|PF|2a，|PF|3a，|PF|2|PF|2|FF|2，则10a24c2，e.14.已知(1，0)，(1，