第5章 曲线和曲面.ppt

第5章曲线和曲面,5.1参数表示曲线和曲面的基础知识,5.1.1曲线和曲面的表示方法1显式表示显式表示是将曲线上各点的坐标表示成方程的形式，且一个坐标变量能够用其余的坐标变量显式的表示出来。2隐式表示隐式表示不要求坐标变量之间一一对应，它只是规定了各坐标变量必须满足的关系。3参数表示参数表示是将曲线上各点的坐标表示成参数方程的形式。假定用t表示参数，参数t在0，1区间内变化，当t=0时，对应曲线段的起点，当t=1时，对应曲线段的终点。,在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为：P(t)=x(t),y(t)，t0,1;空间曲线上任一三维点P可表示为：P(t)=x(t),y(t),z(t)，t0,1;；最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为：P(t)=P1+(P2-P1)tt0,1;,圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：其参数形式可表示为：,与显式、隐式方程相比，用参数方程表示曲线和曲面更为通用，其优越性主要体现在以下几个方面：（1）曲线的边界容易确定。（2）点动成线。（3）具有几何不变性。（4）易于变换。（5）易于处理斜率为无穷大的情形。（6）表示能力强。,5.1.2位置矢量、切矢量、法矢量、曲率与挠率一条用参数表示的三维曲线是一个有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数，其形式为：x=x（t），y=y（t），z=z（t），0t1；1位置矢量2切矢量,1.位置矢量如图4.1.1所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为：其一阶、二阶和k阶导数矢量（如果存在的话）可分别表示为：,2.切矢量即该点处的一阶导数。当切矢量的数值超过曲线弦长（曲线两端点之间的距离）几倍时，曲线会出现回转或过顶点等现象；而当小于弦长许多时，也会使曲线变得过于平坦。,3法矢量主法矢量、副法矢量法平面、密切平面、副法平面,4曲率和挠率,5.1.3样条表示1插值、逼近和拟合给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。插值和逼近则统称为拟合。,2曲线的连续性,假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：,参数连续性几何连续性,(1)参数连续性0阶参数连续性，记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即,1阶参数连续性记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数，即：,2阶参数连续性记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。,我们已经看到，C2连续能保证C1连续但反过来不行。也就是说Cn连续的条件比Cn-1连续的条件要苛刻。,(2)几何连续性：0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定义相同，满足：1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例，即：2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。,5.2Hermite曲线,5.2.1n次参数多项式曲线给定n+1个控制点，可以得到如下n次参数多项式曲线p(t)：经过分解，上式可改写为如下形式：通常，将TM矩阵称为n次参数多项式曲线的基函数（或称调和函数、混合函数）。,5.2.2三次Hermite曲线的定义如果给定一段三次参数样条曲线的两个端点的位置矢量为p(0)、p(1)，切矢量为p(0)、p(1)，则三次Hermite曲线的矩阵表示为：通常，将T称为矢量矩阵，将Mh称为通用变换矩阵，将Gh称为Hermite系数，将TMh称为Hermite基函数。,5.3Bezier曲线,5.3.1Bezier曲线的定义在空间给定n+1个控制点，其位置矢量表示为Pi（i=0,1,n）。可以逼近生成如下的n次Bezier曲线：其中，称为伯恩斯坦（Bernstein）基函数，它的多项式表示为：,依次用直线段连接相邻的两个控制点Pi，Pi+1，（i=0,1,n1），便得到一条n边的折线P0P1P2Pn，将这样一条n边的折线称为Bezier控制多边形（或特征多边形），简称为Bezier多边形。,1一次Bezier曲线（n=1）一次多项式，有两个控制点，其矩阵表示为：显然，它是一条以P0为起点、以P1为终点的直线段。,2二次Bezier曲线（n=2）二次多项式，有三个控制点，其矩阵表示为：显然，它是一条以P0为起点、以P2为终点的抛物线。,3三次Bezier曲线（n=3）三次多项式，有四个控制点，其矩阵表示为：可知，三次Bezier曲线是一条以P0为起点、以P3为终点的自由曲线。,5.3.2Bernstein基函数的性质,(1)正性对于任意t,1Bi,n(t)0(2)权性（规范性）,(3)端点性质：（4）对称性：,(5)最大值(6)递推性即高一次的基函数可由两个低一次的基函数线性组合而成。,5.3.3Bezier曲线的性质,1端点性质,Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。,2一阶导数,Bezier曲线在起点和终点处与特征多边形相切，且在起点和终点处的切线方向与特征多边形的第一条边和最后一条边的走向一致。,3二阶导数,一般地：P(t)在起点处的m阶导数仅与离起点最近的m+1个特征点P0,P1,Pm有关P(t)在终点处的m阶导数仅与离终点最近的m+1个特征点Pn-m,Pn-m+1,Pn有关,4对称性颠倒控制点顺序，新曲线的形状不变，只是走向相反。表明曲线P(t)在对称位置t,1-t有相同的几何性质，但形状不对称，P(t)P(1-t)。5凸包性Bezier曲线各点均落在特征多边形的凸包中。参见P143图5-13,6几何不变性曲线的形状仅与其特征多边形（各顶点的相对位置）有关，与坐标系无关。7变差缩减性若特征多边形是一个平面图形，则平面内任意一条直线与曲线P(t)的交点个数不多于该直线和其特征多边形的交点个数。说明Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形所在的折线更光滑、更光顺。,5.3.4Bezier曲线的生成1Bezier曲线的生成算法参见例5-22手工绘制一段Bezier曲线3Bezier曲线的连接4Bezier曲线的升阶与降阶,Bezier曲线的人工作图法：1、给定一个t，t0,1。将特征多边形的第i条边分为t：(1-t)两段，得分点Pi。2、由此得到n个分点，将此n个分点依次用线段相连，得到一个n-1边的特征多边形，对每条边又分为t：(1-t)两段，得n-1个分点。3、重复2，直至只剩下一个分点P0，P0=P(t)。4、t=t+dt，返回1。,t,Pi,1(t),1-t,Vi,Vi+1,Bezier曲线的拼接,问题的提出：如何保证连接处具有G1和G2连续性。在两段三次Bezier曲线间得到G1连续性,为实现G1连续，则有：,亦即：,在两段三次Bezier曲线间得到G2连续性：,5.4B样条曲线,5.4.1B样条曲线的定义在空间给定m+n+1个控制点，用向量Pi表示（i=0,1,m+n），称n次参数曲线：为n次B样条的第i段曲线(i=0,1,m)。其中：Fl,n(t)是新引进的B样条基函数，即：这样一共有m+1段B样条曲线，统称为n次B样条曲线。,依次用直线段连接相邻的两个控制点Pi+l与Pi+l+1（l=0,1,n1），将得到的折线称为第i段的B控制多边形。由第i段的B控制多边形决定的B样条曲线称为第i段B样条曲线。由于任意一段的B样条曲线具有相同的几何性质，因此取i=0，即第0段的B样条曲线进行研究，第0段的B样条曲线定义式为：,5.4.2B样条曲线的表示及性质以三次B样条曲线为例：1、三次B样条曲线的矩阵表示,2、三次B样条曲线的端点性质位置矢量切矢量二阶导数3、三次B样条曲线的连续性,5.4.3B样条曲线的生成1B样条曲线的生成算法参见例5-92反求三次B样条曲线控制点3B样条曲线与Bezier曲线的转换,B样条曲线与Bezier曲线的转换：,对同一段曲线，既可用B样条，也可用Bezier曲线，表现形式不同，最终特征多边形不同。,设n=3，对于同一段曲线,5.5Coons曲面,5.5.1参数曲面的基本概念定义双参数曲面的方程为：P(u,v)，u,v0,1则曲面片的四条边界可以由参数曲线P(u,0),P(u,1),P(0,v),P(1,v)定义，曲面片的四个角点可以由P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)定义。,5.5.2Coons曲面的定义应用Hermite曲线的基函数，可以构造出一个双三次Coons曲面，其矩阵表示为：其中：,它称为角点信息矩阵。,5.5.3Coons曲面的拼合设有两块相邻的曲面片P与Q，两块Coons曲面片的拼接分为沿u方向的拼接和沿v方向的拼接。以沿u方向的拼接为例：1若要满足G0连续，则要求P与Q有共同的边界，即。2若要满足G1连续，则要求P与Q在共同的边界上有相同的切平面，即，k为常数。,5.6Bezier曲面,5.6.1Bezier曲面的定义及性质1Bezier曲面的定义在空间给定(n+1)(m+1)个点Pij(i=0,1n;j=0,1m)，则可逼近生成一个nm次的Bezier曲面片，其定义为：称Pij为P(u,v)的控制顶点；把由两组多边形Pi0Pi1Pim(i=0,1,n)和P0jP1jPnj(j=0,1,m)组成的网格称为P(u,v)的控制多面体（控制网格），记为Pij。同样，P(u,v)是对Pij的逼近，Pij是P(u,v)的大致形状的勾画。,由16个控制顶点所构成的控制网格可绘制一个双三次(33次)Bezier曲面片，其矩阵表示为：其中：,2Bezier曲面的性质Bezier曲面的许多性质与Bezier曲线的许多性质完全一致。端点性质：控制网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点。边界线的位置：控制网格最外一圈顶点（12个点）定义Bezier曲面的四条边界曲线，这四条边界均为Bezier曲线。凸包性：曲面片P(u,v)位于其控制顶点Pij(i=0,1,2,