质点的运动方程.ppt

21参考系、坐标系和质点,2-2位矢、速度和加速度,2-3圆周运动、自然坐标（内禀坐标）,2-4运动的相对性、Galileo坐标变换,第二章时间、空间与质点运动学,研究可简化为质点的物体的运动规律。,21参考系和坐标系质点,同一物体，对不同参考系，运动不同-运动描述的相对性。,一、参考系,研究物体的运动时所选的参考物体。,可根据研究问题的方便，选不同参考系,参考系的数学抽象。,常用：,直角坐标系,自然坐标系,球坐标系,柱坐标系,极坐标系,坐标系：,（1）平动,物体可简化为质点的情况：,具有物体的全部质量，而不考虑其大小和形状的理想物体。,二、质点：,太阳,地球,地球绕太阳公转,（2）本身线度其活动范围,三、时间空间,时间是物体运动过程的持续性和顺序性的反映,空间是物体运动过程的广延性或物体形状、相对位置的反映,四、运动的描述,-给出任意时刻质点所在位置运动快慢,表格法,曲线法,解析法,2-2位矢速度和加速度,一、位置矢量（位矢）：,(x,y,z),0,-确定质点空间位置（远近、方位）。,在直角系中分量表达式：,大小：,方向余弦：,运动方程：-位置随t变化的函数式，,空间运动,分量式：,平面运动,轨迹(道)：运动质点在空间经过路径的形状.,运动方程分量式中消去t，可得轨迹方程。,路程：质点经历的实际路径长度。,分量式：,一段时间内位矢（置）的增量。,二、位移矢量(位移),路程:质点经历的实际路径长度。,讨论：,-矢量,S-标量,且,特例：单向直线运动,极限情况下t=t2-t10,大小：,四、速度,-位移随时间的变化率,1、平均速度：,时间：,位移：,大小：,方向：的方向,定义平均速度：,-矢量,大小：,-轨道切向。,方向：,矢量,方向，,-速率,2、瞬时速度（速度）：,时，的极限值，,在直角坐标系中：,的大小：,-速率,速率v的两种定义：,五、加速度,-速度随时间的变化率,1、平均加速度：,定义：,2、瞬时加速度（加速度）,大小：,方向：,沿,矢量,在直角坐标系中,六、运动学的两类问题,1、已知，求、和微分问题。,由,分离变量得,两边取定积分：,得,或,(1)a=a(t),求解中常用的几个变换关系(一维问题):,(2)a=a(v),由,得,两边取定积分：,得,(运动方程),(3)a=a(x),由,得,积分：,得,由,得,两边取定积分,或,(4)v=v(t),三维问题：,三个相互垂直方向的一维运动的矢量和,(运动的叠加原理),例1：一质点在（X，Y）平面内运动，运动方程为：,求:（1）质点的轨迹；（2）在最初2S内质点的位移和平均速度；（3）在第2S时质点的速度和加速度。,解：（1）运动方程的分量形式：,两式联立消去t，得轨迹方程：,（2）在最初2S内质点的位移：,在最初2S内质点的平均速度：,（3）在第2S时质点的速度和加速度：,例2：已知一质点沿X轴运动，加速度为：,求：质点的运动方程。,解：,且，时,分离变量，,两边积分，,质点的运动方程：,得,例3质点沿x轴作直线运动，速度v=1+2x，初始时刻质点位于原点,求质点的位置和加速度,解：,例4一质点在xOy平面内运动，运动方程为x=2t，y=19-2t2。(1)写出质点任意时刻的位置矢量、速度矢量和加速度矢量；(2)写出轨迹方程；,（2）消去t：,例5质点沿x轴正向作直线运动，加速度a=-mx(m为正常数)。t=0时,x=0,v=v0，在什么位置质点开始停止运动?,解：,积分,问什么位置质点停止运动?需令速度等零，故需求速度,得,质点停止运动时,(舍去),s,h,求当为匀速时，=？,七、运动学的一类特殊的微分问题,两边对t求导：,而,二维运动，分解成两个一维运动,八.抛体运动,为抛射角,X:,Y:,任意时刻速度分量为,1.速度方程,2.运动方程,水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀减速直线运动叠加,矢量形式为:,一、自然坐标系的选取：,取轨道上任一点为坐标原点；,质点的位置由轨道长度S(t)确定；,坐标轴选在运动的质点上。,2-3圆周运动自然坐标系（内禀坐标系）,0,S（t）,-沿速度方向的单位矢量。,-沿内法向的单位矢量。,位置：,速度：,二、自然坐标系中圆周运动的描述,加速度：,-法向加速度,改变速度方向,-切向加速度,改变速度大小,三、任意曲线运动：,-曲线上任意点的曲率半径,-轨道上某点的曲率半径。,四、圆周运动的角量描述,-角位置,-角位移,-角速度,-角加速度,匀速圆周运动：,匀变速圆周运动：,匀速直线运动：,匀变速直线运动：,角量的单位：,在SI制中，,五、线量与角量的关系：,例1一质点沿半径为R的圆周运动,其角位置为求(1)质点2S时、4S时的加速度大小;(2)为何值时,解：,（1）质点做变速圆周运动,由此求出,（2）,一质点作半径R=1m的圆周运动，其角位置=t2+1(rad)，t以秒计。问多大时，其切向加速度大小是总加速度大小的1/2?,解：,练习,2-4运动的相对性、伽利略变换,一质点在空间运动，在两个相互作匀速运动（）的参照系K、K中观察，其运动方程、速度、加速度、分别为：,：K相对K的牵连坐标,伽利略变换,空间两点的距离在不同坐标系中测量的长度相同-空间绝对性,同一运动经历的时间在不同坐标系中均相同-时间绝对性,对时空认识而言，伽利略认定：,对于两个相互作匀速运动的参考系，,实际上，伽利略变换存在着难以克服的困难，经典时空观是需要修正的。,-经典时空观（绝对时空观）,它是经典力学的理论基础之一,：K系中测得质点速度-绝对速度,：K系中测得质点速度-相对速度,：K系相对K系的速度-牵连速度,速度合成公式：,加速度合成公式：,两坐标系相对运动为