化工数学在化学与化工中应用

第六章化工数学在化学与化工中的应用,线性代数复习总结在化学与化工中的应用实例体会学习化工数学的意义,线性代数总结,一、行列式,第一节二阶和三阶行列式第二节n阶行列式定义及性质第三节n阶行列式的计算第四节克莱姆法则,重点是计算，利用性质熟练准确的计算出行列式的值,二、矩阵,第一节高斯消元法，矩阵，矩阵的初等变换第二节矩阵的运算第三节可逆矩阵第四节矩阵的分块第五节矩阵的秩，初等矩阵,重点是：1概念（可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵）2运算（矩阵的符号运算、具体矩阵的数值运算）,意义？,书写符号不一样。,行列式是一个数值，而矩阵是一个数表。,行列式的行数和列数必须相等，而矩阵的行数和列数可以不相等。,行列式和矩阵的区别,三、向量和方程组,第一节n维向量与线性相关性第二节向量组的秩数第三节齐次线性方程组解的结构第四节非齐次线性方程组解的结构,重点是：1、线性相关（无关）的概念及几个相关定理2、向量组的极大无关组，等价向量组、向量组及矩阵的秩的概念及相互关系链接1.ppt,四、矩阵的特征值和特征向量,第一节特征值和特征向量的概念第二节特征值和特征向量的基本求法第三节特征值和特征向量的基本性质,重点是：1、会求特征值和特征向量2、注意特征值和特征向量的性质及其应用,四、矩阵的特征值和特征向量,五、线性空间和线性变换,第一节线性空间的概念第二节线性空间的基、维数和坐标第三节线性变换第四节线性变换与矩阵,重点是：1、基本概念清楚2、计算熟练,线性代数第六章在化工中应用的实例,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题6.2因次分析中的应用6.3化学反应系统中的应用6.4简单不可逆连续反应系统,研究在CO2和H2O存在下，由CO与H2合成甲醇的反应。（1）写出反应的原子矩阵形式；（2）求原子矩阵的秩（3）确定反应a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。,引例,？,？,1、用矩阵对物质进行表示。例1：由三种元素H，C和O组成的三种物质CO2，H2O和H2CO3的混合物，写出其原子矩阵形式的表示式。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,在对物质和物质间的反应进行表示时，假定给定n个原子的总和，由这些原子构成所讨论的分子。用Bj表示相应于每个原子（用j标记）的排列有序的数和，它由0和1构成，其本质即原子的符号。于是，由这些原子组成的Ai物质的分子向量可表示为：（1）其中是Ai分子中Bj原子的数目。称具有整系数的向量式（1）为分子式或分子。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,由原子组成的分子的总和可用以下方程组写出：（2）,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,若记（3）则式（21）可写成矩阵乘法的形式，即（4）,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,或写成（5）其中表示由数组成的矩阵，称其为原子矩阵。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,例1：由三种元素H，C和O组成的三种物质CO2，H2O和H2CO3的混合物，写出其原子矩阵形式的表示式。,原子矩阵为,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,研究在CO2和H2O存在下，由CO与H2合成甲醇的反应。（1）写出反应的原子矩阵形式；（2）求原子矩阵的秩（3）确定反应a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。,引例,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,2、用线性空间对物质和物质间的反应进行表示。例2：求含有物质CO2，H2O和H2CO3的子空间的维数，基底和坐标。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,解：,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,即原子矩阵中第三列可用第一列和第二列线性表示，故含有物质CO2，H2O和H2CO3的子空间的维数等于2,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,3、用矩阵对化学反应方程组进行表示。,例3：写出由四种物质CH4，CH2O，O2和H2O所组成的集合的一套化学计量系数。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,定理如果分子的原子矩阵的秩为m，则这些分子必处于m维的空间Rm中。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,向量空间Rn包括了所有可能的由原子构成的物质。例如，碳氢化合物就可看作是由两类元素氢和碳构成的,即某空间Rn中的子集合。所以，重要的问题是确定一子空间Rm,而子集合处于子空间Rm中。定理如果分子的原子矩阵的秩为m，则这些分子必处于m维的空间Rm中。,如果，则不失一般性，可设矩阵的前m列线性无关，并用它们表示其余的(n-m)列。用表示矩阵的相应列向量，依上所述，则有：,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,其中是相应的线性无关向量线性组合的系数。系数矩阵为：,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,若用表示由线性无关的列向量所组成的矩阵，不难证明(6)物质分子的矩阵形式为(7)(6)式代入(7),得(8),即(9)其中列向量的元素是式(4)中列向量B的元素的线性组合。因为通过它们表示所有的分子Ai，则它们就组成了子空间Rm的基底，其中包括所研究的分子。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,子空间的基底,对于处在子空间Rm中的物质集合，利用式(1)（4）总可以选择m个线性无关的元素，它们构成了该子空间的基底此时原子矩阵表示该基底里的物质的和，而的秩为m(m个线性无关的行和列)。现设的前m行线性无关，则m十1，m十2,，M行可用前m行的线性组合表示，得到(Mm)个方程,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,（10）,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,式(10)的形式与一般化学反应方程组是一致的，故可将方程组(10)作为物质(反应物)的集合上的化学反应方程组。显然，表示原子矩阵的行之间的线性关系的齐次方程的最小数目为(M-m)，其中M是所研究体系中反应物的数目,m是它的原子矩阵的秩。把这些方程进行相互组合，可得到该反应物集合上的任何化学反应的方程，所以，对于描写M个反应物体系中的化学反应所必须的最小反应数目为（M-m)。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,对于规则反应有：（11）其中i是参加反应物质的序号，k是反应的序号。对给定体系中的化学反应，可将化学计量系数写成向量的形式（12）所以该体系中所有反应总和的矩阵为（13）,化学计量矩阵,引入参加反应物质(分子)的列向量A（14）于是式（11）写成（15）或者对所有的反应写为（16）借助原子矩阵，使其变成原子的组合，即,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,于是在独立原子组合条件下可得到（17）（18）所以，对标以k的每个反应。都存在同样相对于的线性方程组(17)，这个方程组完全符合众所周知的化学反应方程组的一般原则，即化学反应式左边的某种原子数及电荷数等于右边的该原子数及电荷数,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,4、用化学计量矩阵对化学反应进行表示。,例3：写出由四种物质CH4，CH2O，O2和H2O所组成的集合的一套化学计量系数。解：,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,原子矩阵写为,求得，所以存在一个独立的化学反应。由式(18)，写出方程组,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,即：解该方程组得：所以对上述物质的体系，独立反应具有的形式，即,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,对于规则反应有：（6）其中i是参加反应物质的序号，k是反应的序号。对给定体系中的化学反应，可将化学计量系数写成向量的形式（7）所以该体系中所有反应总和的矩阵为（8）,化学计量矩阵,引入参加反应物质(分子)的列向量A（9）于是式（6）写成（10）或者对所有的反应写为（11）借助原子矩阵，使其变成原子的组合，即,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,于是在独立原子组合条件下可得到（12）（13）所以，对标以k的每个反应。都存在同样相对于的线性方程组(12)，这个方程组完全符合众所周知的化学反应方程组的一般原则，即化学反应式左边的某种原子数及电荷数等于右边的该原子数及电荷数,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,Gibbs化学计量规则,按照Gibbs规则，可以确定体系中最大可能的独立反应的数目。当然它不涉及诸如体系中全部可能的独立反应是否发生？若它们不是都能发生，那么它们应在什么条件下才能发生等问题。但是，Gibbs规则非常深刻的描写了化学计量式的特性。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,原子矩阵的秩决定了反应混合物的独立组分数，而独立组分数在研究化学平衡问题时是很重要的。化学计量矩阵的最大秩数Q决定了该体系中能够进行反应的独立反应数。一般地，总是可以在给定体系中选择Q种物质，这些物质完全决定体系的反应；它们还可以作为描述体系动力学方程的独立变量。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,本节要点：1、理解原子矩阵的概念，能够写出物质分子的矩阵形式2、掌握物质线性空间的维数、基底和坐标的概念及其性质。3、理解化学计量矩阵的概念，能够写出化学反应方程组的向量形式（线性方程组），并正确求解。4、在此基础上，进一步加深对线性代数的全面理解。本节重点：1、原子矩阵及其计算2、化学计量矩阵及其计算本章难点：对物质向量空间及其线性变换的深入理解,小结:化学计量矩阵和化学平衡问题,课后习题：乙烷脱氢反应在高温下至少应考虑五个反应：试确定独立反应数，并确定一组完整的独立反应组。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.1,6.1化学计量矩阵与化学平衡问题,在过程比较复杂且无法从机理确定方程模型，或者所确定的数学模型无法求解时，我们往往用试验结果表示过程的试验现象。但是，这样得到的经常是物理意义不明的单纯的试验方程。而当某过程或系统的变量很多时，建立单纯的试验方法也很困难。因次分析方法是处理这类问题的一种方法。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,一个合乎逻辑的物理问题一般都可用数学方程描述。若方程的解可写成无因次数群的形式，则无因次数群数目比系统中变量和参数的数目要少得多。这意味着对某个特定系统的辛烯，可以通过另一个或许更为简单方便的系统的无因次数群关系的研究中获得。所以，重要问题是如何从标明的变量和参数中求得无因次数群的最少个数。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,例如，在非稳态棒热传导问题中，棒长、初始温度、单位体积热容量、热导、时间、棒端温度和棒中的位置是相关的。可以假定变量和参数都在最后的无因次数群公式出现。我们希望知道无因次数群的最少个数。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,假设问题中有关的物理量是P1,P2,Pn(具体可以是粘度、表面张力、直径、热导、热容等)，基本量是m1,m2,mn(质量、长度、时间、温度等)。物理量Pj的因次表达式为其中aij是正或负的小整数或零，它是Pj中基本量mi的数目。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,因次矩阵可写为,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,作为一向量空间考虑，线性独立向量数为r，剩下n-r个向量都可表示为r个线性独立向量的线性组合，所以（j=r+1,r+2,n）其中wij是常数。这是由因次向量表示的向量方程。,若由物理量本身表示，则为换言之是一无因次群。因为每一式都包含一个在其它式中不出现的物理量。所以无因次数群之间是独立的，无因次数群的最少独立数为n=r，实际上，这里也给出了求无因次数群的一种方法。并且存在许多这样的无因次数群，为获得无因次数群的经验关系以拟合试验数据，可选择最为方便的来使用。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,例4试确定初始温度为Ti，终端温度为T0，非稳态棒热传导问题中的无因次数群数目。解有关变量及其因次为L棒长L=lx位置x=l时间=tCp热容T0Ti端温T0Ti=TTi时间位置x的温度TTi=k热导,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,其中使用的基本量为质量（m），长度（l），时间（t）和温度（）。因次矩阵是矩阵的秩为4,所以无因次数群数目743。这种情况的无因次数群通过观察因次矩阵确定，可用的三个无因次数群是,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,关于化学与化工中使用因次分析：(1)因次分析的数学方法并不复杂。但是，在选定与现象有关物理量上，在认识因次分析所得到的无因次数群的物理意义上，需要对化学与化工现象有较深的学识和经验。(2)因次分析的基础是因次一致性原则：凡是根据基本的物理规律导出的方程或关系式，其中各项的因次相同，而这些方程都可化为无因次数群所表示的关系式。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,(3)定理：若因次变量和因次常数共为n个，基本因次量为r个，则无因次数群个数为nr。(4)用因次分析去研究一个化学与化工或其它问题，必须客观真实地考虑因次变量和因次常数。如果漏掉必要的量，就会得到只是在特殊条件下才适用的结果，甚至完全错误的结果；如果加进不必要的量，在计算过程中有时会自行消失，有时会一直残留到最后，使无因次数群数目增多，形式复杂。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,(5)在用因次分析法研究一个化学与化工或其它问题时，一般可以采用这样的具体方法；首先假设因次变量和因次常数存在如下关系k为无因次数群假设因次分析的结果为必须注意：这种做法只是因次分析取得无因次数群的一种手段或方法，并不表示因次变量和因次常数满足,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,的函数关系，也不表示所研究的问题满足,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,的函数关系。但是，客观上存在一种或,的关系描述着问题的数学模型。,(6)因次分析必须以试验作为补充，以确定无因次数群间确切的函数关系，这样才有实用意义。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.2因次分析中的应用,在化学物质种类很多，反应是动态标明的复杂化学反应系统中，迫切需要一个准则，以确定描述反应系统所需方程的最少数目。下面研究空管反应器，其分析基本上与间歇反应器相同如果假设流体塞式流动，扩散和传导效应都可忽略，热传递假设由壁传热系数表征，落在管轴上的游动变量是，流体中发生的反应由下式给出,线性代数第六章在化工中的应用实例6.3,6.3化学反应系统中的应用,其中aji按热力学习惯对生成物为正，对反应物为负，有n种化学物质，m个反应。问题中符号简述如下：G为总质量流动速率;T为反应混合物温度;t为环境温度;h为管壁热传导系数;a为反应器截面积;p为压力;P为反应器周长;hi为第i种物质分摩尔焓；Hj为第j个反应的反应热；Ai为第i种化学物质；Cpi为第i种物质的摩尔热容；aij为第j个反应中第i种物质的化学计量系数；fij为单位体积单位时间第j个反应中第i种物质生成的摩尔速率；为壁上的剪应力；f为摩擦系数；gi为反应混合物的物质i的单位质量摩尔数；u为沿管轴线速度；w为反应混合物的质量速度。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.2,6.3化学反应系统中的应用,线性代数第六章在化工中的应用实例6.3,6.3化学反应系统中的应用,图6.3-1,图6.3-1为推导守恒方程考虑的理想反应器物质i迁移流入量是，x代表研究的位置，迁移流出量是在第j个反应中，由化学反应生成的物质i的速率是,在所有反应中为守恒方程是当时，取得极限得（1）,线性代数第六章在化工中的应用实例6.3,6.3化学反应系统中的应用,反应速率表达式fij对一特定反应而言不是独立的，它与下式有关其中fj实际速率，与fij有关将该式代入式（1），得即（2）,线性代数第六章在化工中的应用实例6.3,6.3化学反应系统中的应用,这n个方程中每个对应一种化学物质，包括惰性组分，但显然太多因为有物质质量浓度关系式，所以，对单个反应来说，一个这种方程就足够了化学计量系数矩阵是,线性代数第六章在化工中的应用实例6.3,6.3化学反应系统中的应用,假设其秩为r，为方便起见，设左上角r阶行列式非零，则存在一组常数，使得行向量,线性代数第六章在化工中的应用实例6.3,6.3化学反应系统中的应用,是前r个行向量的线性组合，设这组常数为,所以式（2）用矩阵向量形式可写作（3）其中,线性代数第六章在化工中的应用实例6.3,6.3化学反应系统中的应用,存在一个非奇异方阵B，当它作用于A时，在最后(n-r)行产生继而左边向量的最后(nr)行是,线性代数第六章在化工中的应用实例6.3,6.3化学反应系统中的应用,对这些方程积分得到所以，nr个质量浓度可以由其它r个表示，由质量守恒微分方程描述的系统仅含有r个组分，这也是A的秩。,线性代数第六章在化工中的应用实例6.3,6.3化学反应系统中的应用,有些化学反应的速度常数很小，所以示意反应机理可以用另一种方式近似，例如，三角系统就是的一般概括。其中三角系统中的k3和ki被