基于MATLAB优化工具箱优化计算

第9章基于MATLAB优化工具箱的优化计算,9.1MATLAB优化工具箱,一、常用的优化功能函数求解线性规划问题的主要函数是linprog。求解二次规划问题的主要函数是quadprog。求解无约束非线性规划问题的主要函数是fminbnd、fminunc和fminsearch。求解约束非线性规划问题的主要函数是fgoalattain和fminimax。,1、线性规划数学模型,数学模型形式：minfTXs.t.AXb（线性不等式约束条件）AeqX=beq（线性等式约束条件）lbXub（边界约束条件）常用的简化模型：minfTXs.t.AXb（线性不等式约束条件）,数学模型形式：s.t.AXb（线性不等式约束条件）AeqX=beq（线性等式约束条件）lbXub（边界约束条件）,2、二次规划问题数学模型,二次函数,目标函数,1.数学模型形式：minf（X）s.t.AXb（线性不等式约束）AeqX=beq（线性等式约束）C(X)0（非线性不等式约束条件）Ceq(X)=0（非线性等式约束）LbXUb（边界约束条件）,约束条件,3、无约束非线性规划数学模型形式：minf（X）,例1：求解二维无约束优化问题f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2+6)的极小值。,例2：求解二维无约束优化问题min,例13求在0x8中的最小值与最大值,数学模型形式：minf（X）（函数为f(x)非线性函数）s.t.AXb（线性不等式约束）AeqX=beq（线性等式约束）C(X)0（非线性不等式约束条件）Ceq(X)=0（非线性等式约束）LbXUb（边界约束条件）,约束条件,4.约束线性规划,3.1matlab优化函数,二、一般步骤,建立目标函数文件,针对具体工程问题建立优化设计的数学模型,不等式约束条件表示成g(X)0的形式,建立调用优化工具函数的命令文件,文件内容：必须的输入参数、描述标函数表达式等存储：以自定义的目标函数文件名存储在文件夹中,建立约束函数文件,文件内容：必须的输入参数、约束函数表达式等存储：以自定义的约束函数文件名存储在文件夹中,将优化设计的命令文件复制到MATLAB命令窗口中进行运算求解。,分析优化设计的数学模型，选择适用的优化工具函数文件内容：初始点，设计变量的边界约束条件，运算结果输出等内容存储：以自定义的命令文件名存储于文件夹中。,小例：求解二维无约束优化问题min,解：首先编制目标函数functionf=li3mubiao_fminunc(x)a=64516;hd=pi/180;f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x(2)*hd);注意：保存时，要使保存的文件名与函数名一致再编制主函数x0=25;45;x,fminunc=fminunc(li3mubiao_fminunc,x0)保存后运行得到优化结果：x=192.995860.0005fminunc=668.5656,9.2线性规划问题,一、线性规划数学模型,1.主要应用对象：（1）在有限的资源条件下完成最多的任务；（2）如何统筹任务以使用最少资源。2.数学模型形式：minfTXs.t.AXb（线性不等式约束条件）AeqX=beq（线性等式约束条件）lbXub（边界约束条件）,约束条件,决策变量,目标函数,非负数,线性,3.MATLAB中函数调用格式xopt,fopt=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options),最优解,最优值,目标函数各维变量系数向量,初始点,可选项,二、例题,生产规划问题：某厂利用a,b,c三种原料生产A,B,C三种产品，已知生产每种产品在消耗原料方面的各项指标和单位产品的利润，以及可利用的数量，试制定适当的生产规划使得该工厂的总利润最大。,x1,x2,x3,2x1,4x2,3x3,3x1,4x2,2x3,2x1,x1,x2,3x2,2x3,2x3,+,+,+,+,+,+,+,+,3.确定约束条件：,X=x1,x2,x3T,4.编制线性规划计算的M文件f=2,4,3A=3,4,2;2,1,2;1,3,2;b=600;400;800;Aeq=;beq=;lb=zeros(3,1);xopt,fopt=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb),二、例题,解：1.确定决策变量：,max2x1+4x2+3x3,3x1+4x2+2x3600,2x1+x2+2x3400,x1+3x2+2x3800,设生产A、B、C三种产品的数量分别是x1,x2,x3，决策变量：,根据三种单位产品的利润情况，按照实现总的利润最大化，建立关于决策变量的函数：,2.建立目标函数：,根据三种资料数量限制，建立三个线性不等式约束条件,5.M文件运行结果：Optimizationterminatedsuccessfully.xopt=0.000066.6667166.6667fopt=-766.6667,x1,x2,x30,xopt,fopt=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options),-,-,-,Linprog函数使用的拓展,求解线性规划,线性规划是一种优化方法，Matlab优化工具箱中有现成函数linprog对如下式描述的LP问题求解：,解:编写M文件小xxgh1.m如下：c=-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6;A=0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08;b=850;700;100;900;Aeq=;beq=;vlb=0;0;0;0;0;0;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub),解:编写M文件xxgh2.m如下：c=634;A=010;b=50;Aeq=111;beq=120;vlb=30,0,20;vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub),9.3二次规划问题,1.研究意义：（1）最简单的非线性规划问题；（2）求解方法比较成熟。2.数学模型形式：s.t.AXb（线性不等式约束条件）AeqX=beq（线性等式约束条件）lbXub（边界约束条件）,一、二次规划问题数学模型,约束条件,决策变量,目标函数,二次函数,3.MATLAB中函数调用格式xopt,fopt=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options),最优解,最优值,目标函数的海赛矩阵,初始点,可选项,目标函数的一次项系数向量,结果xopt=2.571,1.143,0.000fopt=-16.4898,二、例题,求解约束优化问题,s.t.,解：(1)将目标函数写成二次函数的形式,，其中：,xopt,fopt=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options),(2)编写求解二次规划的M文件：H=4,-2,0;-2,4,0;0,0,2;C=0,0,1;A=1,3,2;b=6;,Aeq=2,-1,1;beq=4;lb=zeros(3,1);,xopt,fopt=quadprig(H,C,A,b,Aeq,beq,lb),例2minf(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1*x2+2*x22s.t.x1+x22-x1+2x22x10,x201、写成标准形式：,s.t,2、输入命令：H=2-2;-24;c=-2;-6;A=11;-12;b=2;2;Aeq=;beq=;VLB=0;0;VUB=;x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、运算结果为：x=0.66671.3333z=-8.2222,程序：编写M文件mainG.m如下：H=1-1;-12;f=-2;-6;A=11;-12;b=2;2;Aeq=;beq=;lb=0;0;ub=;X,fval,exitflag=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)结果：X=0.66671.3333fval=-8.2222exitflag=1,程序：编写M文件mainG.m如下：H=2-2;-24;f=-4;-12;A=11;-12;21;b=2;2;3;lb=zeros(2,1);x,fval,exitflag=quadprog(H,f,A,b,lb)结果：x=0.66671.3333fval=-16.4444exitflag=1,9.4无约束非线性规划问题,无约束非线性规划问题的MATLAB函数有,fminbnd,要求目标函数为连续函数,只求解单变量问题,fminunc,可求解单变量和多变量问题,适用于简单优化问题,可求解复杂优化问题,fminsearch,三个函数：fminbnd,fminunc,fminsearch.三个都是解无约束非线性规划问题三者有相同点与不同点：（1）Fminbnd是解单变量无约束非线性规划问题Fminunc和fminsearch可用于求解单变量或多变量的无约束非线性规划问题（2）fminbnd和fminunc要求目标函数为连续函数（3）fminbnd和fminsearch的优化算法比较简单，适用于比较简单无约束非线性规划问题，函数fminunc的优化算法较复杂，适用于求解比较复杂的优化问题（4）这三个函数只能输出局部最优解,1.使用格式：xopt,fopt=fminbnd(fun,x1,x2,options),9.4.1函数fminbnd,设置优化选项参数,迭代搜索区间,目标函数,返回目标函数的最优值,返回目标函数的最优解,2.例题：求解一维无约束优化问题f(x)=(x3+cosx+xlogx/ex)在区间0,1中的极小值。解：(1)编制求解优化问题的M文件。%求解一维优化问题fun=inline(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x),x);%目标函数x1=0;x2=1;%搜索区间xopt,fopt=fminbnd(fun,x1,x2)(2)编制一维函数图形的M文件。ezplot(fun,0,10)title(x3+cosx+xlogx)/ex)gridon,9.4.1函数fminbnd,运行结果：xopt=0.5223fopt=0.3974,3.2简单实例例1、函数fminbnd实例：求解一维无约束优化问题f(x)=(x+1)(x-2)2在区间0，1中的极小值。解：编制求解的M文件fun=inline(x+1)*(x-2)2,x)x1=0;x2=1;xopt,fopt=fminbnd(fun,x1,x2)优化的结果：xopt=0.9999fopt=2.0002,1.使用格式：xopt,fopt=fminsearch(fun,x0,options),9.4.2函数fminsearch,设置优化选项参数,初始点,目标函数,返回目标函数的最优值,返回目标函数的最优解,2.例题：求解二维无约束优化问题f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2+6)的极小值。解：(1)编制求解二维无约束优化问题的M文件。%求解二维优化问题fun=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6;x0=0,0;%初始点xopt,fopt=fminsearch(fun,x0)(2)讨论。将目标函数写成函数文件的形式：%目标函数文件search.mfunctionf=search(x)f=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6;则命令文件变为：%命令文件名称为eg9_4.mx0=0,0;%初始点xopt,fopt=fminsearch(search,x0),9.4.2函数fminsearch,运行结果：xopt=1.00002.0000fopt=4.0000,fun=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6x0=0,0;xopt,fopt=fminsearch(fun,x0)优化结果xopt=1.00002.0000fopt=4.0000,讨论：目标文件的表达方式：f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2+6),（1）字符串表示fun=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6调用:xopt,fopt=fminsearch(fun,x0);（2）内联函数表示fun=inline(x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6,x)调用:xopt,fopt=fminsearch(fun,x0);（3）函数句柄表示fun=(x)x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6调用:xopt,fopt=fminsearch(fun,x0);（4）M文件表示（目标函数比较复杂时需要用M文件进行表示）functionf=fun(x)f=x(1)4+3*x(1)2+x(2)2-2*x(2)-2*x(1)2*x(2)+6调用:xopt,fopt=fminsearch(fun,x0);或xopt,fopt=fminsearch(fun,x0);,1.使用格式：x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc(fun,x0,options,P1,P2),9.4.3函数fminunc,设置优化选项参数,初始点,调用目标函数的函数文件名,目标函数在最优解的海色矩阵,返回目标函数在最优解的梯度,优化算法信息的一个数据结构,返回算法的终止标志,返回目标函数的最优值,返回目标函数的最优解,附加参数,matlab解多元函数无约束优化问题,fminsearch是用单纯形法寻优.fminunc的算法见以下几点说明：,使用fminunc和fminsearch可能会得到局部最优解.,3fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法，由options中参数LineSearchType控制：LineSearchType=quadcubic(缺省值)，混合的二次和三次多项式插值；LineSearchType=cubicpoly，三次多项式插值,说明:,1fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。由options中的参数LargeScale控制：LargeScale=on(默认值),使用大型算法LargeScale=off(默认值),使用中型算法,2fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了3种算法，由options中的参数HessUpdate控制：HessUpdate=bfgs（默认值），拟牛顿法的BFGS公式；HessUpdate=dfp，拟牛顿法的DFP公式；HessUpdate=steepdesc，最速下降法,例1minf(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*ex1,1、编写M-文件fun.m:functionf=fun(x)f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);2、输入M文件wliti.m如下:x0=-1,1;x=fminunc(fun,x0);y=fun(x),3、运行结果:x=0.5000-1.0000y=1.3029e-10,用fminsearch函数求解,输入命令:f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2;x,fval,exitflag,output=fminsearch(f,-1.22),运行结果:x=1.00001.0000fval=1.9151e-010exitflag=1output=iterations:108funcCount:202algorithm:Nelder-Meadsimplexdirectsearch,4.用fminunc函数,(1)建立M-文件fun2.mfunctionf=fun2(x)f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2,(2)简单计算,x,fval,exitflag,output=fminunc(fun2,-1.22),(3)比较各种算法主程序compare.m,基本假设,1价格与销量成线性关系,2成本与产量成负指数关系,模型建立,若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,1=0.015,c1=20,r2=100,2=0.02,c2=30,则问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使总利润z最大.,为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:z1=(b1-a11x1)x1+(b2-a22x2)x2的极值.显然其解为x1=b1/2a11=50,x2=b2/2a22=70,我们把它作为原问题的初始值.,总利润为：z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2,模型求解,1.建立M-文件fun.m:functionf=fun(x)y1=(100-x(1)-0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1);y2=(280-0.2*x(1)-2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2);f=-y1-y2;,2.输入命令:x0=50,70;x=fminunc(fun,x0),z=fun(x),3.计算结果:x=23.9025,62.4977,z=6.4135e+003即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.,9.5约束非线性规划问题,1.数学模型形式：minf（X）s.t.AXb（线性不等式约束）AeqX=beq（线性等式约束）C(X)0（非线性不等式约束条件）Ceq(X)=0（非线性等式约束）LbXUb（边界约束条件）,约束条件,2.使用格式：x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2),设置优化选项参数,初始点,调用目标函数的函数文件名,目标函数在最优解的海色矩阵,返回目标函数在最优解的梯度,优化算法信息的一个数据结构,返回算法的终止标志,返回目标函数的最优值,返回目标函数的最优解,附加参数,非线性约束条件的函数名,设计变量的下界和上界,线性等式约束的常数向量,线性等式约束的系数矩阵,线性不等式约束的常数向量,线性不等式约束的系数矩阵,无定义时以空矩阵符号“”代替,说明：fmincon求多变量有约束非线性函数的最小值。该函数常用于有约束非线性优化问题。x=fmincon(fun,x0,A,b)给定初值x0，求解fun函数的最小值点x。fun函数的约束条件为A*x=b，x0可以是标量、向量或矩阵。x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)最小化fun函数，约束条件为A*x=b和Aeq*x=beq。若没有不等式存在，则设置A=，b=。x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)定义设计变量x的下界lb和上界ub，使得lb=x=ub。若无等式存在，则令Aeq=，beq=。x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)在上面的基础上，在nonlcon参数中提供非线性不等式c(x)或等式ceq(x)。fmincon函数要求c(x)x0=10;10;10;A=-1-2-2;122;b=0;72;x,fval=fmincon(-x(1)*x(2)*x(3),x0,A,b)x=24.000012.000012.0000fval=-3456线性不等式约束条件的值A*x-bans=-720,x=5.00005.00005.0000fval=-125.0000exitflag=1output=iterations:7funcCount:38stepsize:1algorithm:medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-searchfirstorderopt:cgiterations:问题的解为x(1)=x(2)=x(3)=5.0000m，最大体积为125.0000m3。exitflag=1，表示过程成功收敛于解x处。output输出变量显示了收敛过程中的迭代次数、目标函数计算次数、步长、算法等信息。,x=0.65890.8682fval=-6.6131问题的解为x(1)=0.6589，x(2)=0.8682，最小值为-6.6131。,解：约束条件是线性约束。在Matlab中实现：x0=0;A=-1;b=-2;x,fval=fmincon(1/3*(x-1)3,x0,A,b)x=2fval=0.3333,9.6多目标优化问题,9.6.1函数fgoalattain,minvs.t.fi(X)-wivgoalii=1,2,tAXb（线性不等式约束）AeqX=beq（线性等式约束）C(X)0（非线性不等式约束条件）Ceq(X)=0（非线性等式约束）LbXUb（边界约束条件）,一、多目标优化问题数学模型,标量变量,各分目标函数,分目标函数的权重,各分目标函数的目标值,二、优化函数使用格式x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fgoalattain(fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,Nlc,options,P1,P2),设置优化选项参数,各分目标权重,各分目标期望值,目标函数在最优解的海色矩阵,返回目标函数在最优解的梯度,优化算法信息的一个数据结构,返回算法的终止标志,返回目标函数的最优值,返回目标函数的最优解,附加参数,非线性约束条件的函数名,设计变量的下界和上界,线性等式约束的常数向量,线性等式约束的系数矩阵,线性不等式约束的常数向量,线性不等式约束的系数矩阵,无定义时以空矩阵符号“”代替,9.6.1函数fgoalattain,初始点,目标函数文件名,格式：x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,.),x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon),说明：fgoalattain求解多目标达到问题。x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight)试图通过变化x来使目标函数fun达到goal指定的目标。初值为x0，weight参数指定权重。x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)求