线面角、面面角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。,一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；,一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角。,直线和平面所成角的范围是0，90。,1、平面的斜线和平面所成的角,例如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求AD1和平面A1D1CB所成的角。,分析：找出AD1在平面A1D1CB内的射影。,求直线（或斜线）与平面所成的角关键是确定斜线在平面的射影其步骤是：一找，二证，三求。,A1,D1,C1,B1,A,B,C,D,O,平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。,从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。,1、半平面：,2、二面角：,半平面及二面角的定义,棱,半平面,半平面,2、二面角的记法：面1棱面2,（1）、以直线为棱，以为半平面的二面角记为：,（2）、以直线AB为棱，以为半平面的二面角记为：,A,B,二面角的画法与记法,角,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,定义,构成,边点边（顶点）,表示法,AOB,图形,角与二面角的比较,注意,二面角的平面角必须满足：,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,10,A,B,思考:,=,等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。,注:（1）二面角的平面角与点的位置无关，只与二面角的张角大小有关。（2）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角。（4）二面角的取值范围一般规定为（0,）。,二面角的平面角的定义、范围及作法,的大小与点O在L上的位置有关吗?为什么?,二面角的计算：,1、找到或作出二面角的平面角,2、证明此平面角就是所求的角,3、计算出此角的大小,一“作”二“证”三“计算”,16,1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.ABPB.ACPC.都不是,基础练习,2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？,p,A,B,60,二面角,O,A,B,P,C,取AB的中点为E，连PE，OE,O为AC中点，ABC=90,OEBC且OEBC,在RtPOE中，OE，PO,所求的二面角P-AB-C的正切值为,3如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。,PEO为二面角P-AB-C的平面角,OEAB，因此PEAB,解：,在RtPBE中，BE，PB=1，PE,线段MN长6，M到平面的距离是1，N到平面的距离是4，求MN与平面所成角的余弦值。,O,MOM就是MN与平面所成的角,解：,当M，N在平面同则时有,OM=2,如图，已知P是二面角-AB-棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且MPN=60BPM=BPN=45，求此二面角的度数。,C,D,解：,在PB上取不同于P的一点O，,在内过O作OCAB交PM于C，,在内作ODAB交PN于D，,连CD，可得,COD是二面角-AB-的平面角,设P