几种求定积分的方法

新课程 下旬 2012 年 1 月 28 日治学之法 一、 用牛顿莱布尼兹公式求定积分 牛顿-莱布尼兹定理： 函数 f （x ） 在闭区间 a， b 上连续， F （x ） 是 f （x ） 的任一个原函数， 则有 b a 乙f （x ） dx=F （b ） -F （a ） 。 上式叫做牛顿莱布尼兹公式， 也叫做微积分基本公式。该 式可叙述为： 定积分的值等于其原函数在上、 下限处的差。 为计算方便， 上述公式常采用这样的格式 b a 乙f （x ） dx=F （x ） a b= F （x ） a b。 由上式可知， 想求定积分， 先要求不定积分， 然后再代值作 差。那么不定积分的求法有哪些呢？总结起来大致有以下三种： （一 ） 直接积分法 直接积分法， 就是根据积分公式和法则直接对被积函数进行 积分； 或者对被积函数进行简单整理， 适当变形， 将其化为可以用 积分公式和法则来解决的形式， 再进行积分。常用的整理方法有 分式拆项法、 三角恒等变换等。 例 1.求乙 1+x+x2 x+ （1+x2）dx 解： 该式不是基本积分表中的形式， 应该先整理成积分表中 的形式再积分。该式应用的整理方法是分式拆项法。 乙 1+x+x2 x+ （1+x2）dx= 乙x+ （1+x 2） x （1+x2） dx=乙（ 1 1+x2 + 1 x ） dx 然后再用基 本积分表解决。 （二 ） 换元积分法 有些函数无论怎么整理化简都无法变成基本积分表中的形式， 因而无法用直接积分法来求解， 那么可以用换元积分法来求解。而 换元积分法又分为第一类换元积分法和第二类换元积分法。 1.第一类换元积分法 第一类换元积分法也叫凑微分， 就是根据被积函数， 利用微 分形式不变性， 凑成一个在基本积分公式中的函数， 求出不定积 分。一般题型可分为乘积形式和复合函数形式两种。 （1 ） 乘积形式： 一般来说两个函数相乘的形式， 求不定积分 时， 可以先把其中比较简单的一个积分积到 d 后面， 然后把 d 后 面的式子进行换元， 就可以转化成直接积分法进行运算了。 例 2.求乙lnx x dx （x0 ） 解： 该式中 1 x 的积分比较简单， 所以把它积分积到 d 后面。 乙lnx x dx=乙lnxxd （ln-x ） =乙udu= 1 2 u2+C= 1 2 ln2x+C （2 ） 复合函数形式： 对于简单的复合函数求积分， 可以把 d 后 面的尽量配成复合函数的自变量形式， 然后把 d 后面的式子进行 换元， 就可以转化成直接积分法进行运算了。 例 3.求乙cos5xdx 解： 该式应该把 d 后面的 x 配成 5x， 这样就和前面复合函数 的自变量位置相同了。 乙cos5xdx= 1 5 乙cos5xdx （5x ）= 1 5 乙cosudu= 1 5 sinu+C= 1 5 sin5x+C 2.第二类换元积分法 第二类换元积分法主要适用于被积函数中带根号的积分。去 根号的方法有直接设根号为 t， 或用三角代换法。 例 4.求乙 x姨 1+x 3 姨 dx 解： 该被积函数中带有根号， 首先应该用换元法去掉根号， 然 后再用上面介绍过的直接积分法进行求解。 令x 6 姨=t， 则 x=t6（t0 ） ， dx=6t5dt， 于是 乙 x姨 1+x 3 姨 d=乙 t3 1+t2 6t5dt=6乙 t8 1+t2 dt=6乙（t6-t4+t2-1+ 1 1+t2 ） dt 整理到上面的形式后， 再用直接积分法即可解决。 如果被积函数中含有根式a2-x2姨或x2a2姨（a0 ） 时， 可将 被积式作如下变换： （1 ） 当含有a2-x2姨时， 可令 x=asint （2 ） 当含有x2+a2姨时， 可令 x=atant （3 ） 当含有x2-a2姨时， 可令 x=asect 以上三种变换叫做三角代换。 几 种 求 定 积 分 的 方 法 文/项慧慧 摘要： 微积分是高等数学的一个重要分支， 它是数学的一个基础学科。 特别对于高职院校来说， 微积分是高职高等数学的主要内 容。而微积分中定积分的运算对于高职其他学科所涉及的数学运算和很多实际问题的解决有重要作用。 关键词： 定积分； 不定积分； 牛顿莱布尼兹公式； 数形结合思想 108 2012 年 1 月 28 日 新课程 下旬治学之法 （三 ） 分部积分法 分部积分法应用的题型是被积函数是两个不同类型的函数的 乘积。另外， 对于被积函数只是一个函数式， 但不是基本积分表中 的形式， 也可以用分部积分法。 分部积分公式：乙udv=uv-乙vdu。它的作用在于： 把比较难求 的乙udv 化为比较容易求的乙vdu 来计算， 可化难为易。 分部积分的解题步骤： 1.找到式子中的 u,把 u 留下， 把另一个式子积分积到 d 后面 （找到 u 的规律：“指三幂对反， 谁在后面谁为 u” ） 。 2.利用公式求解 例 5.求乙xcosxdx 解： 被积函数是两个式子相乘， 但是无论把哪个式子积分积到 d 后面， 对于另一个式子的积分都没有帮助， 所以用第一类换元积 分法不能解此问题。 乙xcosxdx=乙xd （sinx ） =xsinx-乙sinxdx=xsinx+cosx+C 掌握以上三种不定积分的求法，通过牛顿莱布尼兹公式就 可以求任意函数的定积分了。具体步骤是： 先求出函数的不定积 分， 再代值作差。 二、 定积分的换元积分法 例 6.求 4 0 乙 dx 1+x姨 解： 该题目可以用牛顿莱布尼兹公式， 先求出不定积分， 再 代值求定积分。但是这种方法的解题步骤不如直接用定积分的换 元积分法来求解。下面我们比较一下这两种方法。 方法一： 牛顿莱布尼兹公式 乙 dx 1+x姨 =乙2t 1+t dt=2乙（1- 1 1+t ） dt=2（t-ln 1+t ） +c=2 （x姨-1n1+ x姨 ） +c 于是 4 0 乙 dx 1+x姨 =2 x姨-ln1+ x姨 4 0=4-2ln3 方法二： 定积分的换元积分法 设x姨=t， 则 x=t2（t0 ） 。且当 x=0 时， t=0； 当 x=4 时， t=2。 于是 4 0 乙 dx 1+x姨 = 2 0 乙 2t 1+t dt=2 2 0 乙（1+ 1 1+t ） dt=2 t-ln 1+t 2 0 =2 （2-ln3 ） 方法二要比方法一简单一些， 它省略了变量回代这一步， 但由 于引入了新的积分变量， 必须相应地改变积分限。 三、 巧用数形结合思想求定积分 定积分还可以用数形结合思想来求解。其实这根据的是定积 分的几何意义。 例 7.求 a 0 乙 a2-x2姨dx （a0 ） 分析： 一般教材上都会推荐使用第二类换元积分法的三角代 换来求解此题， 但此类问题若使用数形结合来求解， 则思路上会更 为简捷清晰。下面我们来看一下这两种解法的比较。 方法一： 传统解法 （第二类换元积分法 ） 解： 设 x=asint， dx=acostdt。当 x=0 时， t=0； 当 x=a 时， t= 2 。于 是 a 0 乙 a2-x2姨dx= 2 0 乙 a2-a2sin2姨tgacostdt= 2 0 乙a 2cos2tdt=a2 2 0 乙 1+cos2t 2 dt 然后再用积分法则和第一类换元法来解决。 方法二： 数形结合思想解题 解： 由定积分的定义及几何意义可知， a 0 乙 a2-x2姨dx （a0 ） 表 示由 x 轴， x=0， x=a 和曲线 y=a2-x2姨所围成的曲边梯形的面积。 而曲线 y=a2-x2姨就是圆 x2+y2=a2位于 x 轴上方的部分。 所以这四 条曲线所围成的曲边梯形的面积正是以原点为圆心，以 a 为半径 的圆的面积的 1 4 ， 即 a2 4 。因而 a 0 乙 a2-x2姨dx （a0 ） =a 2 4 。 这两种解法和思路相比较， 显而易见， 数形结合的方法简单容 易得多。 四、 总结 定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除了上面介绍的几 种， 还有很多， 值得我们不断去探索和钻研。我们把这些方法和