圆的几何综合题-(27题)

圆的几何综合题圆的几何综合题 成都市龙泉驿区第九中学 陈礼勇 一、历年圆的几何综合题回顾一、历年圆的几何综合题回顾 1、 一般分成三个问题，三个问题由易到难，由一般到特殊或由特殊到一般层层递进的方式设置问题； 2、 一般三个问题涉及到圆的切线的证明，线段相等、角相等、线段与角的计算、图形面积的计算、几何 变量之间的函数关系探究、线段关系式的证明、角的关系式的证明等； 3、常见的知识点有：垂径定理及其推论、圆心角定理及其推论、圆周角定理及其推论、切线的性质与判 定、等腰三角形的性质与判定、解直角三角形、全等三角形与相似三角形的性质与判定、锐角三角函数 定义，特殊角的三角函数值等； 4、 常见的数学思想方法有：方程思想、函数思想、由特殊到一般或由一般到特殊的探究思想等； 二、命题规律：二、命题规律： 1、圆中的如下定理出现的频率很高：垂径定理及其推论，圆心角定理及其推论，圆周角定理及其推论， 切线的性质及其判定定理； 2、常与等腰三角形(两半径加弦)，直角三角形（直径、半圆） ，相似三角形，全等三角形和锐角三角函数 的概念结合考查； 3、相似三角形基本图形的分解是关健，如：正 A 字形（A1 形） 、斜 A 字形（A2 形） 、正八字形（X1 形） 、 斜八字形（X2 形或蝴蝶形） 、射影定理图、共角共边相似（A3 形）图等出现的频率很高. 4、结合重要的几何定理（及其逆定理）的基本图形命题，如弦切角定理的逆定理，切线长定理的逆定理， 相交弦定理，切割线定理，割线定理等（具体见后面的例题） 三、常见的几何模板及辅助线回顾三、常见的几何模板及辅助线回顾 1、三角形：三角形：图中若有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平 行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试看；线段垂直平分线，常向两端把线连；要证 线段倍与半，延长缩短可试验；三角形中两中点，连接则成中位线；三角形中有中线，延长中线等中线. 2 2、四边形：、四边形：平行四边形出现，对称中心等分点；梯形里面作高线，平移一腰试试看；平行移动对角 线，补成三角形常见；证相似，比线段，添线平行成习惯；等积式子比例换，寻找线段很关键；直接证 明有困难，等量代换少麻烦；斜边上面作高线，比例中项一大片. 3 3、圆：、圆：半径与弦长计算，弦心距来中间站；圆上若有一切线，切点圆心半径连；切线长度的计算， 勾股定理最方便；要想证明是切线，半径垂线仔细辨；是直径，成半圆，想成直角径连弦；弧有中点圆 心连，垂径定理要记全；圆周角边两条弦，直径和弦端点连；弦切角边切线弦，同弧对角等找完；如果 遇到相交圆，不要忘作公共弦；内外相切的两圆，经过切点公切线；若是添上连心线，切点肯定在上面； 要作等角添个圆，证明题目少困难. 四、四、27 题解题程序题解题程序 1、画：、画：生长性画图，边画图边解决三个小问； 2、标：、标：将题中的已知条件标在图中； 3、标：、标：将未知问题、猜想的结论标在图中； 4、联：、联：联系知识点、联想常见的几何模块、不同知识进行联结，联系前面证明的结论； 5、写：、写：写出解题过程. 五、常见定理及基本图形分析五、常见定理及基本图形分析 1、垂直于弦的直径，径连弦得射影定理；如 2007 成都、2010 成都、2011 成都. 2、角平分线加“相似三角形的斜八字形”会出现“共边共角相似”：如 2009 成都、2010 成都. 3、以切线长定理的基本图形，关于切线的性质与判定的证明，出现两公共底边的两等腰三角形：如 2007 成都、2012 辽宁朝阳、2012 北京. 4、直径与切线（性质或判定）相结合命题：如 2007 成都、2012 成都、2012 湖北天门、2012 辽宁朝 阳、2012 北京、2012 福建甫田、2012 辽宁锦州. （1）圆中常见的二级图 G F E O D C B A 垂径定理图 垂径定理与射影定理 点 C 为弧 AF 中点 AB 垂 相交弦定理图 直于 CD，有 AE=CE E D C BA 点 C 为弧 BD 中点，有 切割线定理图 割线定理图 切线长定理图 BECABC (2） 部分中考题图形选 2007 成都 2008 成都 2009 成都 2010 成都 2011 成都 2012 成都 2012 湖北天门 2012 辽宁朝阳 2012 北京中考 2012 福建甫田 2012 辽宁锦州 六、中考真题分析六、中考真题分析 1、 （成都中考 2007，10 分）如图，是以为直径的上一点，于点，过点作OABCOAADBCDB 的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长CAEG，ADCGBEF 与的延长线相交于点AFCBP （1）求证：；BFEF （2）求证：是O 的切线；PA （3）若，且O 的半径长为，求和FGBF3 2BDFG 的长度 2、（成都中考 2008，共 10 分）如图，已知O 的半径为 2，以O 的弦 AB 为直径作M，点 C 是O 优弧上的一个动点（不与点 A，点 B 重合）.连结 AC，BC，分别与M 相交于点 D，点 E，连结 DE.若 A AB AB=2.3 (1)求C 的度数； (2)（2）求 DE 的长； (3)（3）如果记 tanABC=y，=x（0x3） ，那么在点 C 的运动过程中，试用含 x 的代数式表示 y. AD DC 3、 （成都中考 2009，共 10 分） 如图，RtABC 内接于O，AC=BC，BAC 的平分线 AD 与0 交于点 D， 与 BC 交于点 E，延长 BD，与 AC 的延长线交于点 F，连结 CD，G 是 CD 的中点，连结 0G (1)判断 0G 与 CD 的位置关系，写出你的结论并证明； (2)求证：AE=BF； （3）若，求O 的面积.3(22)OG DE 4、 （成都中考 2010，共 10 分） 已知：如图，ABC内接于O，AB为直径，弦CEAB于F， C是AAD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE，BC于点P，Q （1）求证：是的外心；PACQ （2）若,求的长； 3 tan,8 4 ABCCFCQ （3）求证： 2 ()FPPQFP FGA 5、 （成都中考 2011，共 10 分）已知：如图，以矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点为圆心，以 OA 长为半径 作O，O 经过 B，D 两点过点 B 作 BKAC，垂足为 K过点 D 作 DHKB，DH 分别与 AC，AB，O 及 CB 的延长线相交于点 E，F，G，H （1）求证：AE=CK； （2）如果 AB=a，AD=为大于零的常数） ，求 BK 的长；aa( 3 1 （3）若 F 是 EG 的中点，且 DE=6，求O 的半径. 6、 （成都中考 2012，共 10 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作 O 的切线交 AB 的延长线于 F切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K （1）求证：KE=GE； （2）若 2 KG=KDGE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若 sinE= 3 5 ，AK=2 3，求 FG 的长 7、 （2013 年成都）如图，的半径，四边形内接圆，于点，为O25r ABCDOACBDHP 延长线上的一点，且.CAPDAABD （1）试判断与的位置关系，并说明理由：PDO （2）若，求的长； 3 tan 4 ADB 4 33 3 PAAH BD （3）在（2）的条件下，求四边形的面积.ABCD 8、 （2014 年成都）如图，在的内接ABC 中，ACB=90，AC=2BC，过 C 作 AB 的垂O 线 交O 于另一点 D，垂足为 E.设 P 是上异于 A,C 的一个动点，射线 AP 交 于点 F，连接l AC l PC 与 PD，PD 交 AB 于点 G. （1）求证：PACPDF； （2）若 AB=5，=，求 PD 的长； AP BP （3）在点 P 运动过程中，设，x BG AG yAFD tan 求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）yxx 9、 （2013 年北京)如图，AB 是O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点 A，C，PC 交 AB 的延长线于 点 D，DEPO 交 PO 的延长线于点 E （1）求证：EPD=EDO （2）若 PC=6，tanPDA= 4 3 ，求 OE 的长*#网 10、 （2014北京）如图，AB 是O 的直径，C 是的中点，O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 D，E 是 OB 的中点，CE 的延长线交切线 BD 于点 F，AF 交O 于点 H，连接 BH （1）求证：AC=CD； （2）若 OB=2，求 BH 的长 11、 （2014南昌）如图 1，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AB=4，BC=2，P 是O 上半部 分的一个动点，连接 OP，CP （1）求OPC 的最大面积； （2）求OCP 的最大度数； （3）如图 2，延长 PO 交O 于点 D，连接 DB，当 CP=DB 时，求证：CP 是O 的切线 12、 （2014 辽宁盘锦）如图，ABC 中，C=90，点 G 是线段 AC 上的一动点（点 G 不与 A、C 重合） ， 以 AG 为直径的O 交 AB 于点 D，直线 EF 垂直平分 BD，垂足为 F，EF 交 BC 于点 E，连结 DE. (1)求证：DE 是O 的切线； (2)若 cosA=,AB=，AG=，求 BE 的长； 1 2 8 32 3 (3)若 cosA=,AB=，直接写出线段 BE 的取值范围. 1 2 8 3 G F E D O C B A 13、 （2013 泸州)如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且.CDACBD （1）求证：； 2 CDCA CB （2）求证：是O 的切线；CD （3）过点 B 作O 的切线交 CD 的延长线于点 E，若 BC=12, ，求 BE 的长. 2 tan 3 CDA 14、 （2012 上海）如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB=90，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A，B 重合）ODBC，OEAC，垂足分别为 D，E （1）当 BC=1 时，求线段 OD 的长； （2）在DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设 BD=x，DOE 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域 E 15、 （2014德阳）如图，O 中，FG、AC 是直径，AB 是弦，FGAB，垂足为点 P，过点 C 的直线交 AB 的延长线于点 D，交 GF 的延长线于点 E，已知 AB=4，O 的半径为 （1）分别求出线段 AP、CB 的长； （2）如果 OE=5，求证：DE 是O 的切线； （3）如果 tanE= ，求 DE 的长 图 24图 图 C E O B A D 16、 （2014甘孜州）如图，在ABC 中，ABC=90，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AC 于 点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE，OE （1）判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=2CDOE； （3）若 cosBAD= ，BE=，求 OE 的长 17、 （2012 湖北天门 8 分）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，CDACBD （1）求证：CD是O的切线； （2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若 2 6tan 3 BCCDA，求BE的长 E O D BC A 18、 （2012 北京中考）已知：如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，于点 D，过点 C 作ODBC O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连结 BE （1）求证：BE 与O 相切； （2）连结 AD 并延长交 BE 于点 F，若，求 BF 的长9OB 2 sin 3 ABC E D C B O A 19、(2012 辽宁朝阳)如图已知 P 为O 外一点PA 为O 的切线，B 为O 上一点，且 PA=PB，C 为 优弧上任意一点（不与 A，B 重合） ，连接 OP，AB，AB 与 OP 相交于点 D，连接 AC，BC A AB （1）求证：PB 为O 的切线； （2）若，O 的半径为，求弦 AB 的长 2 tan BCA 3 13 O PD C B A 20、 （2012 辽宁锦州）如图：在ABC 中，AB=BC，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，过 D 做直线 DE 垂直 BC 于 F，且交 BA 的延长线于点 E. （1）求证：直线 DE 是O 的切线； （2）若 cosBAC=，O 的半径为 6，求线段 CD 的长. 3 1 O B F C D E A 21、(福建甫田 2012，本小题满分 10 分)如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆 O 上，延长 BC 到点 D，使得 CDBC，过点 D 作 DEAB 于点 E，交 AC 于点 F，点 G 为 DF 的中点，连接 CG，OF，FB (1)(5 分)求证：CG 是O 的切线； O F E D C B A (2)(5 分)若AFB 的面积是DCG 的面积的 2 倍，求证：OFBC E F G D C B O A 22、 （福建厦门 2012，本题满分 9 分）已知：如图 8，O 是ABC 的外 接圆，AB 为O 的直径，弦 CD 交 AB 于 E，BCDBAC . （1）求证：ACAD； （2）过点 C 作直线 CF，交 AB 的延长线于点 F，若BCF30,则 结论“CF 一定是O 的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请 举反例. 图 8 F B C E D O A 23、 （肇庆 2012，本小题满分 10 分）如图 7，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 E， 交 BC 于点 D，连结 BE，AD 交于点 P. 求证： （1）D 是 BC 的中点； （2）BEC ADC； （3）AB CE=2DPAD 24、如图，已知 AB 为O 的直径，过O 上的点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E ，ADEC 于点 D 且交O 于点 F ，连接 BC ，CF ，AC （1）求证：BC=CF； （2）若 AD=6 ，DE=8 ，求 BE 的长； （3）求证：AF + 2DF = AB A B C E D P O 25、 （湖北十堰 2012）如图 1，O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，ODAC，且CBD=BAC，OD 交O 于点 E （1）求证：BD 是O 的切线； （2）若点 E 为线段 OD 的中点，证明：以 O，A，C，E 为顶点的四边形是菱形； （3）作 CFAB 于点 F，连接 AD 交 CF 于点 G（如图 2） ，求 FG ：FC 的值 E D C B O A 26、 （2012 年湖北襄阳市）如图，PB 为O 的切线，B 为切点，直线 PO 交于点 E，F，过点 B 作 PO 的垂线 BA，垂足为点 D，交O 于点 A，延长 AO 与O 交于点 C，连接 BC，AF （1）求证：直线 PA为O 的切线； （2）试探究线段 EF，OD，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若 BC=6， 1 tan 2 F，求 cosACB 的值和线段 PE 的长 C F EDO