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文档简介

4.1数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,1.引例某人向目标靶射击十枪，命中靶子的情况分别为：,现求平均成绩,解：平均成绩为,2.定义设离散型随机变量X的分布列为,如果级数绝对收敛，即收敛，则和为随机变量X的数学期望或均值，记为，即,通过前面的例子可以看到，随机变量的均值反映了变量取值的平均水平，是一个数。,如果级数不绝对收敛，即不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。,下面我们举例来说明。,例1对服从（01）分布的随机变X，其分布列为：,求X的数学期望。,由数学期望定义,解,例2设，求。,已知二项分布的分布列为,解,则X的数学期望为,例3设X服从参数为的泊松分布，求。,已知泊松分布列为：,解,从而,二、连续型随机变量的数学期望,1.定义设X为连续型随机变量，概率密度,为，如果积分绝对收敛，即收敛，则称积分的值为连续型随机变量X的数学期望或均值，记为。即,反之，如果积分发散，则称随机变量X的数学期望不存在。,例4设X服从(a,b)区间上的均匀分布，求X的数学期望。,已知X的概率密度为,从而,正好是区间的中点。,解,例5设X服从参数为的指数分布，求X的数学期望。,已知X的概率密度为,从而所求数学期望为,解,例6对服从正态分布的随机变量X，求其数学期望。,已知X的概率密度为,则所求数学期望为,解,作变换，得到,即正态分布的第一个参数就是随机变量X的均值。,例7求下面已知概率密度的随机变量X的数学期望。,三、随机变量函数的数学期望,定理设Y是随机变量X的函数：,若级数收敛，则,(1)X是离散型随机变量，它的分布律为,例1设离散型随机变量X的分布列为,试计算：和。,由数学期望的定义可得,解,已知X的分布律为：,例2设X服从参数为的泊松分布，试计算的数学期望。,从而,解,(2)X是连续型随机变量，它的概率密度为,若,收敛，则有,已知X的概率密度为,例3已知X服从上的均匀分布，计算的数学期望。,解,则所求的数学期望为：,例4已知X的概率密度如下，求,如果是二维随机变量，是关于X和Y的二元函数，则同样可定义随机变量Z的数学期望如下：,四.二维随机变量函数的数学期望,则的数学期望为,则的数学期望为,例5已知,解：,例6设随机变量的联合概率密度为,试计算和。,由定义，,解,例7设随机变量的联合概率密度为,试计算和。,由定义，,解,五、数学期望的性质,如果X、Y是两个随机变量，C为任意常数，且都存在，则数学期望有以下四条常见的性质。,如果X与Y
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