《极限的性质与运算》PPT课件

2020年5月16日星期六,1,2.2极限的性质与运算法则,一、性质,性质1(唯一性),若极限limf(x)存在，则极限唯一。,注,此定理对数列也成立。,性质2(局部有界性),注,1、其他类型的极限对应的邻域由定义中x的变化范,围确定。,2、此处只说有一个空心邻域，至于空心邻域有多大由,具体函数确定。,2020年5月16日星期六,2,性质3(局部保号性),性质4,注,性质5,2020年5月16日星期六,3,二、四则运算法则,根据极限的定义,只能验证某个常数A是否为某个函数(x)的极限,而不能求出函数(x)的极限.为了解决极限的计算问题,下面介绍极限的运算法则;并利用这些法则和一些已知结果来求函数极限。,定理,2020年5月16日星期六,4,证,2020年5月16日星期六,5,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,推论3,推论4,推论5,2020年5月16日星期六,6,注,应用时必须注意条件，如极限存在、分母不为,零、偶次根号下非负等；,定理和推论中C、n、a都是与自变量无关的常量。,如,(3)参加求极限的函数应为有限个。,2020年5月16日星期六,7,例,例,2020年5月16日星期六,8,况)时可直接代入(其理论根据是初等函数的连续性，我们在这一章的最后一节学习)。,例,利用极限的运算性质和一些简单的极限结果，可以计算一些复杂的函数极限。下面总结一下求函数极限的基本方法。1、代入法,答案,注意代入时把所有x都换成x0，不能只代入一部分。,2020年5月16日星期六,9,例1,解,2020年5月16日星期六,10,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,2020年5月16日星期六,11,2、消零法,若分子分母都是多项式且都趋于零时，可将其分解因式，,再消去公因式，直至可直接代入。,例,计算过程,2020年5月16日星期六,12,解,例3,2020年5月16日星期六,13,3、消最大公因子法,例,练习,答案0,同样都是多项式，若分子、分母都趋于无穷大，则分子、,分母除以最高次数的项。,计算过程,很容易可以看出，这一类的极限只和分子、分母的次数以及(次数相等时)最高次项的系数有关。,2020年5月16日星期六,14,例5,解,例4,解,2020年5月16日星期六,15,例6,解,先变形再求极限.,2020年5月16日星期六,16,实际上是我们下一节将要学到的,备忘,消极大公因子法对分子、分母含指数形式也适用。,例,计算过程,注,2020年5月16日星期六,17,4、有理化法,若分子或分母有根号(特别是有根号相减)时，可将之有理,化。,例,计算过程,练习,答案,当x-时结果为-(a+b)，故x时极限不存在,2020年5月16日星期六,18,例7,解,2020年5月16日星期六,19,5、通分法,例,答案,练习,答案-1,2020年5月16日星期六,20,6、变量代换法,例,方便时可考虑变量代换以简化计算(注意变化趋势也随之,改变)。,练习,答案不存在。,计算过程,提示,取t满足xt=1，则x0-时t-；x0+时t+。,2020年5月16日星期六,21,7、其他,必要时会用到以前所学的公式或其他计算技巧。,例,答案1,练习,答案1,2020年5月16日星期六,22,计算极限,思考题,2020年5月16日星期六,x3-x2-16x-20=x3+2x2-3x2-6x-10 x-20=x2(x+2)-3x(x+2)-10(x+2)=(x+2)(x2-3x-10)=(x+2)(x+2)(x-5)注意从高次幂到低次幂依次配项,2020年5月16日星期六,分子、分母同除以最高次幂,2020年5月16日星期六,2020年5月16日星期六,平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b),立方差公式a3-b3=(a2+ab+b2)(a-b),2020年5月16日星期六,为把两个根号同时去掉,做变量代换,当x1时t1，因