第4讲数列学生版

数 列知识点概述（一）数列基础等差数列：定义： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示通项公式：；前项和公式：等差数列的性质（其中公差为）：，；若，则有；若，则有（，）；在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，为等差数列，公差为；等差数列的项和也构成一个等差数列，即，为等差数列，公差为；若等差数列的项数为，则有，；若等差数列的项数为奇数，则，且中间项，；为等差数列，为前项和，则；为等差数列，为前项和，；有等比数列：定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示等比数列中的项不为通项公式：；前项和公式：等比数列的性质（其中公比为）：，；若，则有；若，则有；等距离取出若干项也构成一个等比数列，即，为等比数列，公比为等比数列的项和也构成一个等比数列，即，为等比数列，公比为（二）常见递推公式（其中），则；（其中），则；（其中，是关于的多项式函数），可设，其中为与的次数相等的多项式函数，各项的系数都待定，通过比较与的各项系数可以确定待定系数；，其中，若，则；若，则可以设；也可两边同时除以：；也可两边同时除以：（三）常见的求和方法1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）2公式法： 3错位相减法：比如4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式： ； 5分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6合并求和法：如求的和。7倒序相加法：8其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等例题精讲板块一：高考基础数列题目【例1】 （2007全国）已知数列中，求的通项公式；已知数列满足，则_（2008全国）在数列中，求数列的通项公式【例2】 （2010上海卷高考）在行列矩阵中，记位于第行第列的数为当时， 【例3】 （2010课标全国卷高考）设数列满足， 求数列的通项公式：令，求数列的前项和.【例4】 （2010陕西卷高考）已知是公差不为零的等差数列，且，成等比数列求数列的通项；求数列的前项和【例5】 （2010上海卷高考）已知数列的前项和为，且， 证明：是等比数列； 求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由（）【例6】 （2010四川卷高考）已知数列满足，且对任意，都有求，；设证明：是等差数列；设，求数列的前项和板块二：数列中的不等式证明问题 【例7】 （2010江苏高考）设各项均为正数的数列的前项和为，已知，数列是公差为的等差数列 求数列的通项公式（用，表示） 设为实数，对满足且的任意正整数，不等式都成立求证：的最大值为 【例8】 (2010重庆高考)在数列中，其中实数求的通项公式；若对一切有，求的取值范围【例9】 （2010全国卷高考）已知数列中，设，求数列的通项公式；求使不等式成立的的取值范围【例10】 （2009山东理）等比数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数（ 且，均为常数）的图象上求的值；当时，记，证明：对任意的，不等式成立【例11】 （2009广东卷理）. 已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列与的通项公式；（2）证明：.板块三：数列中的等差等比数列证明问题【例12】 (2010安徽)设数列，中的每一项都不为证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有 【例13】 （2010湖北高考）已知数列满足：， ，；数列满足：求数列，的通项公式；证明：数列中的任意三项不可能成等差数列 【例14】 （2009江西22）各项均为正数的数列，且对满足的正整数，都有当，时，求；在的条件下，将用表示出来（其中）在的条件下证明为等比数列，并求通项证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有【例15】 （2010江西高考）证明以下命题： 对任一正整数，都存在正整数，使得，成等差数列；存在无穷多个互不相似的三角形，其边长，为正整数，且，成等差数列 家庭作业习题1. 已知数列是等差数列，且，（2003北京-文-16）求数列的通项公式；令，求数列前项和的公式习题2. （2006安徽文21）在等差数列中，前项和满足条件， 求数列的通项公式；记，求数列的前项和。习题3. （2007全国1文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，求，的通项公式；求数列的前项和习题4. 设是由正数组成的等比数列，是前项和证