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文档简介

第一章函数极限连续,第三节极限运算,一、无穷小量及其运算,二、极限的运算法则,三、两个重要极限,一、无穷小量及其运算,若函数a=a(x)在x的某种趋向下以零为极限，,则称函数a=a(x)为x的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小.,例如，函数a(x)=x-x0，,当xx0时，a(x)0，,所以a(x)=x-x0是当xx0时的无穷小量.,它是当x时的无穷小量.,是当x+时的无穷小量.,定理1若函数y=f(x)在xx0(或x)时的极限为A，则f(x)=Aa(x)(简记y=Aa)，,定理2有限个无穷小(当xx0或x时)的代数和仍然是无穷小量.,反之若,则A为f(x)的极限，,定理3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量.,证设函数f(x)有界.,|f(x)|M.,又a(x)是无穷小量，即|a(x)|0)时，,有,则,O,x,R,A,B,C,证AOB面积0时)，,满足u(x)v(x)或u(x)M,M0时)，f(x)0(或0)，,limf(x)0(或0).,则,则,2.第二个重要极限,定理8单调有界数列必有极限.,证因为由,例,由此可知，un+1的前n项不小于un的相应项，,而且un+1比un的展开式,所以un+1un.因此un是单调递增数列.,此外，由un的展开式可得,所以un是有界数列.,综上所述，un是单调有界数列，因此极限存在.,我们还可以证明，,都有极限，且,人们记这个极限为数e，于是有,数e是一个无理数，,它的近似值可由,展开式中取前若干项计算，,以e为底的指数函数y=ex的反函数y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为y=lnx.,它的前八位数是e=2.7182818,解因为,所以，有,例14,例15,解方法一令u=-x，因为x0时u0，,所以,方法二掌握熟练后可不设新变量,例19,解,例18,解因为,所以令u=x-3，当x时u，,因此,例16,解,则当x0时，ue，,所以原
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