《无穷小的比较》PPT课件

17无穷小的比较,一般,无穷小量的商有下列几种情形.,定义1.设lim(x)=0,lim(x)=0.,则称(x)是比(x)高阶的无穷小量,记作,(x)=o(x),或称(x)是比(x)低阶的无穷小量,则称(x)是比(x)低阶的无穷小量.,则称(x)和(x)是同阶无穷小量,记作,(x)=O(x),则称(x)是(x)的k阶无穷小量.,则称(x)和(x)是等价无穷小量,记作,(x)(x),显然,若(x)(x),则(x)和(x)是同阶无穷小量,但反之不对.,比如,(i),(ii),(iii),n,100.10.010.20.105,1000.010.00010.020.01005,10000.0010.0000010.0020.0010005,定理1.设(x),(x),(x),(x)是某极限过程中的无穷小量.f(x)是另一变量,且,(x)(x),(x)(x),则,只须右端极限存在或为无穷大.,证:(1)因为(x)(x),(x)(x),所以,类似可证(2),(3).,例1.,解:,由于当x0,tgxx,从而tg2x2x.,当x0,sinxx,从而sin5x5x.,故,例2.,解:,=1,例3.,解:,=0,或,=01=0,例4.,解:,=1,事实上,若作代换,有,显然,这个结果是错误的.,例5.当x0时,tgxsinx是x的几阶无穷小量?,解:首先注意结论:若当x0时,f(x)=O(x),g(x)=O(x),则f(x)g(x)=O(x+),其中,均大于0.,由于tgxsinx=tgx(1cosx),因tgxx,而1cosx=O(x2).,故tgxsinx=tgx(1cosx)=O(x3).,常用的等价无穷小.,当x0时,sinxx,tgxx,arctgxx,arcsinxx,ex1x,ln(1+x)x,事实上,当y0时,y=elny.,从而,=1,注1.用符号“”表示无穷小量比无穷小量的极限问题.,用符号“”表示无穷大量比无穷大量的极限问题.,用符号“0”表示无穷小量乘以无穷大量的极限问题.,三种类型可以互化.,比如,注2.若当x0时,f(x)=O(x),g(x)=O(x),0.,则f(x)g(x)=O(x),18函数的连续性与间断点,一、函数的连续性,例.火箭升空时,质量变化情形如图.,m0,t0,一般,当f(x)连续变化时,其图形是一条连续曲线.,反之,若f(x)图形是一条连续曲线,f(x)则是连续变化的.,x,x,y,y,x,y,x,y,x0,f(x0),A,B,xx0,xx0,从图上可看出,(x)在x0间断.但f(x)在x0连续.,(x)在x0的极限不存在,而,y,y,x0,y=(x),y=f(x),定义1.设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.,且,则称f(x)在x0连续,x0称为f(x)的连续点.,否则称f(x)在x0间断,x0称为f(x)的间断点,或称为不连续点.,由于当f(x)为多项式时,有,所以,多项式及正,余弦函数在任何点x0处连续.,连续定义也可用语言给出。,若对0,0,使得当|xx0|时,对应的函数值f(x)满足|f(x)f(x0)|,则称f(x)在x0处连续.,注:与极限定义比较,将a换成f(x0),将0|xx0|0,0,当|xx0|0,当|uu0|0,当|xx0|时,有|uu0|=|(x)(u0)|0,有f(x)gx=eg(x)lnf(x),即,因此,当f(x),g(x)均连续时,f(x)g(x)也连续.,则,例7.,若limf(x)=A0.limg(x)=B,存在.,例8.,=21=2,例9.,例10.,若limf(x)=1,limg(x)=,称limf(x)g(x)为“1”型极限问题.,若limf(x)=0,limg(x)=0,称limf(x)g(x)为“00”型极限问题.,“1”,“00”和“0”型都不一定