一元二次方程根与系数的关系讲义

韦达,2.4一元二次方程根与系数的关系,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,温故知新,填写下表：,猜想：,如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,求证：,X1+x2=,+,=,=,-,X1x2=,=,=,=,证明：设ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2,则,一元二次方程根与系数的关系：,如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=,注：能用公式的前提条件为=b2-4ac0,在使用根与系数的关系时，应注意：不是一般式的要先化成一般式；在使用x1+x2=时，注意“”不要漏写。,一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.,特别的,那么，x1+x2=_.x1x2=_.,-p,q,如果方程的根为x1，x2,推论,说出下列各方程的两根之和与两根之积：,(1)x2-2x-1=0,(3)2x2-6x=0,(4)3x2=4,(2)2x2-3x+=0,x1+x2=2,x1x2=-1,x1+x2=,x1+x2=3,x1+x2=0,x1x2=,x1x2=0,x1x2=-,说一说：,典型题讲解：,例2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。求：,(2)x12+x22,解：,由题意可知x1+x2=-,x1x2=-3,(1),=,=,=,(2)(x1x2)2x12+x222x1x2,x12+x22(x1x2)2-2x1x2,(-)2,-2(-3)6,1.设是方程的两根,不解方程求下列式子的值,练习巩固,4,1,14,12,则：,想一想，还有没有其他的方法？,2、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,练习3：已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.,解法一：,设方程的另一个根为x2.,由根与系数的关系，得,2x2=k+1,2x2=3k,解这方程组，得,x2=3,k=2,答：方程的另一个根是3,k的值是2.,已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解法二：,设方程的另一个根为x2.,把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得k=-2,由根与系数的关系，得2x23k,即2x26,x23,答：方程的另一个根是3,k的值是2.,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,已知方程的两个实数根是且，求k的值.,解：由根与系数的关系得x1+x2=-k，x1x2=k+2又x12+x22=4即(x1+x2)2-2x1x2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0,=K2-4k-8当k=4时，=-80k=4(舍去）当k=-2时，=40k=-2,解得：k=4或k=2,探究：,（2013荆州）已知：关于x的方程kx2(3k