四种命题间的相互关系

1.1.四种命题间的相互关系,四种命题间的相互关系,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。,我们已经知道命题(1)与命题(2)(3)(4)之间的关系，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,互逆,互逆,互否,互否,互为逆否,互为逆否,四种命题之间的相互关系,四种命题间的相互关系,例1“若x2+y20，则x，y至少有一个不为0”是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、逆否命题并判断它们的真假。,解：命题A:若x2+y2=0，则x，y全都为0；逆命题：若x，y全都为0，则x2+y2=0；逆否命题：若x，y至少有一个不为0，则x2+y20。,否命题,逆命题,互为逆否,思考：,四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？,真,真,真,探究一,原命题：到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上.,逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等.,否命题:到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个角的平分线上.,逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等.,原命题(真)逆命题(真)否命题(真)逆否命题(真),真,真,真,真,探究二,原命题：若两个三角形全等,则它们的面积相等.,逆命题:若两个三角形的面积相等,则它们全等.,否命题:若两个三角形不全等,则它们的面积不相等.,逆否命题:若两个三角形的面积不相等,则它们不全等.,原命题(真)逆命题(假)否命题(假)逆否命题(真),真,真,假,假,探究三,原命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角,逆命题:若两个角是对顶角，则这两个角相等.,否命题:若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.,逆否命题:若两个角不是对顶角，则两个角不相等.,原命题(假)逆命题(真)否命题(真)逆否命题(假),假,假,真,真,探究四,原命题：凡是素数，都是奇数.,逆命题:凡是奇数，都是素数.,否命题:不是素数，就不是奇数.,逆否命题:不是奇数，就不是素数.,原命题(假)逆命题(假)否命题(假)逆否命题(假),假,假,假,假,一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：,四种命题的真假性之间的关系：,两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.,例2证明：若x2+y2=0，则x=y=0.,证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x0，则x20，所以x2+y20，也就是说x2+y20.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题,因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。,P8习题1.1B组求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.证明：假设AB、CD被P平分，则OP是等腰AOB,COD的底边上的中线，所以，OPAB,OPCD但AB和CD都经过点P,且与OP垂直，这是不可能的，所以假设不成立，故弦AB、CD不被P平分，命题得证。,连结OA,OB,OC,OD及OP,-,反证法,欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法。,反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确,证明命题的方法,方法一：直接法，从命题的条件p出发，经推理直接得出结论p，证明其为真命题；,方法二：等价法，证明命题（若p，则q）的等价命题逆否命题（若q，则q）为真，则原命题也为真；,方法三：反证法，证明命题的否定（若p，则q）为假命题，从而间接地证明了命题（若p，则q）为真命题。,巩固练习证明：若pq2，则p2q22.,证明一：要证“若pq2，则p2q22”只需证它的逆否命题“若p2q22，则pq2”成立。p2q2=2，则2=p2q22pqpq1（p+q）2=p2q2+2pq=2+2pq4p+q2逆否命题为真命题，故原命题也为真命题。证明二：假设p2q2=2，则2=p2q22pqpq1（p+q）2=p2q2+2pq=2+2pq4p+q2，这与命题的条件pq2相矛盾，假设不成立，即p2q22，故原命题为真命题。,（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）,一些常见的结论的否定形式,不是,不