2019年高考文科数学试题江苏

绝密绝密启用前启用前 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学数学 本试卷均为非选择题（第本试卷均为非选择题（第 1 1 题题 第第 2020 题，共题，共 2020 题题） ，本卷满分为） ，本卷满分为 160160 分，考试分，考试 时间为时间为 120120 分钟分钟. . 参考公式：参考公式： 样本数据样本数据 12 , n x xx的方差的方差() 2 2 1 1 n i i sxx n = = ，其中，其中 1 1 n i i xx n = = 柱体的体积柱体的体积VSh=，其中，其中S是柱体的底面积，是柱体的底面积，h是柱体的高是柱体的高 锥体的体积锥体的体积 1 3 VSh=，其中，其中S是锥体的底面积，是锥体的底面积，h是锥体的高是锥体的高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分请把答案填写在分请把答案填写在答答 题卡相应位置上题卡相应位置上 1.已知集合 1,0,1,6A= ， |0,Bx xx=R，则AB =_. 1.1,6 由题知，1,6AB =. 2.已知复数(2i)(1 i)a+的实部为 0，其中i为虚数单位，则实数 a的值是_. 2.2 2 (a 2 )(1 i)222(2)iaaiiiaai+=+= +， 令20a=得2a = . 3.下图是一个算法流程图，则输出的 S的值是_. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 3.5 执行第一次， 1 ,14 22 x SSx=+= 不成立，继续循环，12xx=+ =； 执行第二次， 3 ,24 22 x SSx=+=不成立，继续循环，13xx=+ =； 执行第三次，3,34 2 x SSx=+=不成立，继续循环，14xx=+ =； 执行第四次，5,44 2 x SSx=+=成立，输出5.S = 4.函数 2 76yxx=+ 的定义域是_. 4. 1,7 由已知得 2 760 xx+ , 即 2 670 xx 解得17x ， 故函数的定义域为 1,7. 5.已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_. 5. 5 3 由题意，该组数据的平均数为 67889 10 8 6 + + + =， 所以该组数据的方差是 222222 15 (68)(78)(88)(88)(98)(108) 63 +=. 6.从 3 名男同学和 2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 2名同学中至少有 1 名女同学的概率是_. 6. 7 10 从 3名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿服务，共有 2 5 10C =种情况. 若选出的 2 名学生恰有 1名女生，有 11 32 6C C =种情况， 若选出的 2 名学生都是女生，有 2 2 1C =种情况， 所以所求的概率为 6 17 1010 + = . 7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b =经过点（3，4)，则该双曲线的渐 近线方程是_. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 7.2yx= 由已知得 2 2 2 4 31 b =， 解得 2b = 或 2b = ， 因为0b ，所以 2b = . 因为1a =， 所以双曲线的渐近线方程为2yx= . 8.已知数列 * () n anN是等差数列， n S是其前 n项和.若 2589 0,27a aaS+=，则 8 S的 值是_. 8.16 由题意可得： ()() () 258111 91 470 9 8 927 2 a aaadadad Sad +=+= =+= ， 解得： 1 5 2 a d = = ，则 81 8 7 84028 216 2 Sad =+= +=. 9.如图，长方体 1111 ABCDABC D的体积是 120，E 为 1 CC的中点，则三棱锥 E-BCD的体 积是_. 9.10 因为长方体 1111 ABCDABC D的体积为 120， 所以 1 120AB BC CC=， 因为E为 1 CC的中点， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 所以 1 1 2 CECC=， 由长方体的性质知 1 CC 底面ABCD， 所以CE是三棱锥EBCD的底面BCD上的高， 所以三棱锥EBCD的体积 11 32 VAB BC CE= 1 1111 12010 32212 AB BCCC=. 10.在平面直角坐标系xOy中，P 是曲线 4 (0)yxx x =+上的一个动点，则点 P到直线 x+y=0的距离的最小值是_. 10.4 当直线0 xy+=平移到与曲线 4 yx x =+相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线 0 xy+=的距离最小. 由 2 4 11y x = = ，得 2(2)x =舍，3 2y =， 即切点( 2,3 2)Q， 则切点 Q 到直线0 xy+=的距离为 22 23 2 4 11 + = + ， 故答案为：4 11.在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A处的切线经过点（-e， -1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A的坐标是_. 11.(e, 1) 设点() 00 ,A xy，则 00 lnyx=.又 1 y x = ， 当 0 xx= 时， 0 1 y x = ， 点 A 在曲线lnyx=上的切线为 00 0 1 ()yyxx x = ， 即 0 0 ln1 x yx x = ， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 代入点(), 1e，得 0 0 1 ln1 e x x = ， 即 00 lnxxe=， 考查函数( )lnH xxx=，当()0,1x时，( )0H x ，当()1,x+时，( )0H x ， 且( )ln1Hxx=+，当1x 时，( )( )0,HxH x单调递增， 注意到( )H ee=，故 00 lnxxe=存在唯一的实数根 0 xe=，此时 0 1y =， 故点A的坐标为(),1A e . 12.如图，在ABC中，D是 BC的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE交于点O .若 6AB ACAO EC= ，则 AB AC 的值是_. 12.3 如图，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 中点，知 BF=FE=EA,AO=OD. ()() () 3 63 2 AO ECADACAEABACACAE=+ () 2231311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC =+=+ 22223 2113 2 3322 AB ACABACAB ACABACAB AC =+=+= ， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 得 2213 , 22 ABAC=即3,ABAC=故3 AB AC = . 13.已知 tan2 3 tan 4 = + ，则 sin 2 4 + 的值是_. 13. 2 10 由 ()tan1 tantantan2 tan1 tan13 tan 1 tan4 = + + + ， 得 2 3tan5tan20= ， 解得tan2=，或 1 tan 3 = . sin 2sin2 coscos2 sin 444 +=+ () 22 22 222sincoscossin sin2cos2= 22sincos + =+ + 2 2 22tan1 tan = 2tan1 + + ， 当tan2=时，上式 2 2 22 2 1 22 = 22110 + + ； 当 1 tan 3 = 时，上式= 2 2 11 21 2233 = 210 1 1 3 + + . 综上， 2 sin 2. 410 += 14.设( ), ( )f x g x是定义在R上的两个周期函数，( )f x 的周期为4，( )g x的周期为2， 且 ( )f x 是奇函数.当2(0,x时， 2 ( )1 (1)f xx=， (2),01 ( ) 1 ,12 2 k xx g x x + = ，其中0k . 若在区间(0 9，上，关于x的方程( )( )f xg x=有 8个不同的实数根，则k 的取值范围是 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 _. 14. 12 , 34 当(0,2x时， () 2 ( )11 ,f xx= 即() 2 2 11,0.xyy+= 又 ( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数( )f x与( )g x的图象， 要使( )( )f xg x=在(0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可. 当 1 g( ) 2 x = 时，函数( )f x与( )g x的图象有2个交点； 当g( )(2)xk x=+时，( )g x的图象为恒过点()2,0的直线，只需函数 ( )f x与( )g x的图象 有6个交点.当 ( )f x与( )g x图象相切时，圆心()1,0到直线20kxyk+= 的距离为1，即 2 2 1 1 kk k + = + ，得 2 4 k = ，函数 ( )f x与( )g x的图象有3个交点；当g( )(2)xk x=+ 过点 1,1（ ）时，函数 ( )f x与( )g x的图象有6个交点，此时1 3k=，得 1 3 k =. 综上可知，满足( )( )f xg x=在(0,9上有8个实根的k的取值范围为 12 34 ，. 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 a=3c，b= 2，cosB= 2 3 ，求 c 的值； 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 （2）若 sincos 2 AB ab =，求sin() 2 B +的值 15.（1）因为 2 3 ,2,cos 3 ac bB=， 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac + =，得 222 2(3 )( 2) 32 3 cc c c + = ，即 2 1 3 c =. 所以 3 3 c = . （2）因为 sincos 2 AB ab =， 由正弦定理 sinsin ab AB =，得 cossin 2 BB bb =，所以cos2sinBB=. 从而 22 cos(2sin )BB=，即() 22 cos4 1 cosBB= ，故 2 4 cos 5 B =. 因为sin0B ，所以cos2sin0BB=，从而 2 5 cos 5 B = . 因此 2 5 sincos 25 BB += . 16.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证： （1）A1B1平面 DEC1； （2）BEC1E 16.（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 所以 EDAB. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABA1B1， 所以 A1B1ED. 又因为 ED平面 DEC1，A1B1平面 DEC1， 所以 A1B1平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC的中点，所以 BEAC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC1平面 ABC. 又因为 BE平面 ABC，所以 CC1BE. 因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C， 所以 BE平面 A1ACC1. 因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E. 17.如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab +=的焦点为 F1（1、0） ， F2（1，0） 过 F2作 x轴的垂线 l，在 x轴的上方，l与圆 F2: 222 (1)4xya+=交于点 A， 与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B， 连结 BF2交椭圆 C 于点 E， 连结 DF1 已 知 DF1= 5 2 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求点 E的坐标 17.（1）设椭圆 C的焦距为 2c. 因为 F1(1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1. 又因为 DF1= 5 2 ，AF2x 轴，所以 DF2= 2222 112 53 ( )2 22 DFFF=， 因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2. 由 b2=a2-c2，得 b2=3. 因此，椭圆 C 的标准方程为 22 1 43 xy +=. （2）解法一： 由（1）知，椭圆 C： 22 1 43 xy +=，a=2， 因为 AF2x轴，所以点 A 横坐标为 1. 将 x=1代入圆 F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得 y= 4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4). 又 F1(-1，0)，所以直线 AF1：y=2x+2. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 由 () 2 2 22 116 yx xy =+ += ，得 2 56110 xx+= ， 解得1x =或 11 5 x = . 将 11 5 x = 代入22yx=+，得 12 5 y = ， 因此 1112 (,) 55 B .又 F2(1，0)，所以直线 BF2： 3 (1) 4 yx=. 由 22 3 (1) 4 1 43 yx xy = += ，得 2 76130 xx= ，解得1x =或 13 7 x =. 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以1x =. 将1x =代入 3 (1) 4 yx=，得 3 2 y = .因此 3 ( 1,) 2 E . 解法二： 由（1）知，椭圆 C： 22 1 43 xy +=.如图，连结 EF1. 因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB， 从而BF1E=B 因为 F2A=F2B，所以A=B， 所以A=BF1E，从而 EF1F2A. 因为 AF2x轴，所以 EF1x轴. 因为 F1(-1，0)，由 22 1 1 43 x xy = += ，得 3 2 y = . 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 3 2 y = . 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 因此 3 ( 1,) 2 E . 18.如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB（AB 是圆 O的直径） 规划在公路 l上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA规划要 求:线段 PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径已知点 A、B到直线 l的距 离分别为 AC 和 BD（C、D为垂足） ，测得 AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米） （1）若道路 PB与桥 AB垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路 PB和 QA 的长度均为 d（单位：百米）.求当 d最小时，P、Q 两点间的距离 18.解法一： （1）过 A 作AEBD，垂足为 E. 由已知条件得，四边形 ACDE 为矩形，6, 8DEBEACAECD=. 因为 PBAB， 所以 84 cossin 105 PBDABE=. 所以 12 15 4 cos 5 BD PB PBD = . 因此道路 PB 的长为 15（百米）. （2）若 P在 D 处，由（1）可得 E 在圆上，则线段 BE上的点（除 B，E）到点 O的距离 均小于圆 O的半径，所以 P 选在 D处不满足规划要求. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 若 Q在 D处，连结 AD，由（1）知 22 10ADAEED=+= ， 从而 222 7 cos0 225 ADABBD BAD AD AB + = ，所以BAD为锐角. 所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径. 因此，Q选在 D处也不满足规划要求. 综上，P和 Q均不能选在 D处. （3）先讨论点 P的位置. 当OBP90 时，在 1 PPB中， 1 15PBPB=. 由上可知，d15. 再讨论点 Q的位置. 由（2）知，要使得 QA15，点 Q只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时， 2222 1563 21CQQAAC= .此时，线段 QA上所有点到点 O的距离均不小于 圆 O 的半径. 综上，当 PBAB，点 Q位于点 C 右侧，且 CQ=3 21时，d最小，此时 P，Q两点间的距 离 PQ=PD+CD+CQ=17+3 21. 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为 17+3 21（百米）. 解法二： （1）如图，过 O作 OHl，垂足为 H. 以 O 为坐标原点，直线 OH为 y轴，建立平面