人教版物理选修3-4第十一章机械振动 第二节

2简谐运动的描述学习目标1.知道什么是振动的振幅、周期、频率及相位.2.理解周期和频率的关系.3.知道简谐运动的数学表达式，知道其中各物理量的意义一、描述简谐运动的物理量导学探究如图1所示为理想弹簧振子，O为它的平衡位置，将振子拉到A点由静止释放，观察振子的振动；然后将振子拉到B点释放，再观察振子的振动(1)两次振动有什么差别？用什么物理量来描述这种差别？(2)用秒表分别记录完成50次往复运动所用的时间，两种情况下是否相同？每完成一次往复运动所用时间是否相同？这个时间有什么物理意义？图1答案(1)第二次振动的幅度比第一次振动的幅度大，用振幅来描述振动幅度的大小(2)两种情况下所用的时间是相等的每完成一次往复运动所用的时间是相同的这个时间表示振动的快慢知识梳理描述简谐运动的物理量1振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离2全振动：振动物体往返一次(以后完全重复原来的运动)的运动叫做一次全振动判断是否为全振动的方法：(1)如果物体的位移和速度都回到原值(大小、方向两方面)，即物体从同一个方向回到出发点，则是一次全振动；(2)看物体通过的路程是否等于振幅的四倍3周期和频率(1)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间频率：单位时间内完成全振动的次数T和f的关系为T.(2)周期和频率由振动系统本身的性质决定，与振幅无关(填“有关”或“无关”)即学即用判断下列说法的正误(1)在机械振动的过程中，振幅是不断变化的()(2)在弹簧振子振动一个周期的过程中，振子经过的路程等于振幅的4倍()(3)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量()(4)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间()二、简谐运动的表达式导学探究图2是弹簧振子做简谐运动的xt图象，它是一条正弦曲线，请根据数学知识用图中符号写出此图象的函数表达式，并说明各量的物理意义图2答案表达式xAsin (t)，式中A表示振幅，T表示周期，表示初相位知识梳理简谐运动的表达式xAsin (t)反映了质点的位移随时间的变化关系，各量意义如下：(1)x表示振动物体相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间(2)A表示振动物体偏离平衡位置的最大距离，即振幅(3)称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期T及频率f的关系：2f.(4)t代表简谐运动的相位；其中是t0时的相位，称为初相位或初相相位是一个角度，单位是弧度或度(5)相位差若两个简谐运动的表达式为x1A1sin (t1)，x2A2sin (t2)，则相位差为(t2)(t1)21.当0时，两振动物体的振动步调一致当时，两振动物体的振动步调完全相反即学即用判断下列说法的正误(1)有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时(t0)具有正的最大位移，则它的振动方程是x8103sin (4t) m()(2)弹簧振子从平衡位置运动到最远点的一半距离所需时间为T.()(3)弹簧振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为T.()(4)按x5sin (8t) cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为 s()(5)按x5sin (8t) cm的规律振动的弹簧振子的振幅为5 cm.()一、描述简谐运动的物理量及其关系1振幅和位移的区别(1)振幅等于最大位移的数值(2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的(3)位移是矢量，振幅是标量2做简谐运动的物体在四分之一周期内所通过的路程不一定为振幅，有可能等于振幅，有可能大于振幅，也有可能小于振幅3简谐运动的周期和频率与振幅无关例1(多选)如图3所示，弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20 cm，振子由A运动到B的时间是2 s，则()图3A从OBO振子做了一次全振动B振动周期为4 s，振幅是10 cmC从B开始经过6 s，振子通过的路程是60 cmD从O开始经过3 s，振子处在平衡位置答案BC解析振子从OBO只完成半个全振动，A选项错误；从AB振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是 2 s，所以振动周期是4 s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A10 cm，B选项正确；t6 s1T，所以振子经过的路程为4A2A6A60 cm，C选项正确；从O开始经过3 s，振子处在位置A或B，D选项错误二、对简谐运动表达式的理解1从表达式xAsin (t)体会简谐运动的周期性当(t2)(t1)2n时，tnT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动2从表达式xAsin (t)体会特殊点的值当(t)等于2n时，sin (t)1，即xA；当(t)等于2n时，sin (t)1，即xA；当(t)等于n时，sin (t)0，即x0.例2一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x15sin(8t) cm的规律振动(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相；(2)另一简谐运动表达式为x25sin(8t) cm，求它们的相位差答案(1) s4 Hz5 cm(2)解析(1)已知8 rad/s，由得T s，f4 Hz.由x15 sin (8t) cm知A5 cm，1(2)由(t2)(t1)21得.三、简谐运动的周期性和对称性简谐运动的周期性和对称性(如图4所示)图4(1)时间的对称物体来回通过相同的两点间的时间相等，即tDBtBD.物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tOBtBOtOAtAO，tODtDOtOCtCO.(2)速度的对称物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反(3)位移的对称物体经过同一点(如C点)时，位移相等物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等，方向相反例3(多选)一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则()A振子的位移为x和x的两个时刻，振子的速度一定大小相等，方向相反B振子的速度为v和v的两个时刻，振子的位移一定大小相等，方向可能相同C若tT，则在t时刻和(tt)时刻振子振动的速度一定相等D若t，则在t时刻和(tt)时刻弹簧的长度一定相等答案BC解析振子的位移为x和x的两个时刻，振子的速度一定大小相等，方向可能相同，如图中a、d两点，故A错误；振子的速度为v和v的两个时刻，它们位移可能是相同的，如图中的d、e两点，故B选项正确；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，速度也相同，选项C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，选项D错误针对训练如图5所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab1 s，过b点后再经t1 s质点第一次反向通过b点若在这两秒内质点所通过的路程是8 cm，该质点的振动周期为_，振幅为_图5答案4 s4 cm解析简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，所以a、b连线的中点O必是振动的平衡位置根据简谐运动的对称性可知，质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tbatab1 s，质点从a点经左方极端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经右方极端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tadatbcbt1 s.综上所述，质点的振动周期为Ttabtbcbtbatada4 s.由题图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s2222(2)28 cm16 cm，所以质点的振幅为A4 cm.1(多选)下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是()A振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处B周期和频率的乘积是一个常数C振幅增加，周期必然增加，而频率减小D做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关答案BD解析振幅是标量，选项A错误；周期与频率互为倒数，即Tf1，选项B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短由系统本身决定，这就是固有周期，所以选项C错误，D正确2.(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图象如图6所示，由图可知()图6A质点振动的频率是4 HzB质点振动的振幅是2 cmCt3 s时，质点的速度最大Dt3 s时，质点的振幅为零答案BC解析由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，选项A错误，B正确t3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正确振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移的大小，与质点的位移有着本质的区别，t3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以选项D错误3(多选)质点沿直线以O点为平衡位置做简谐运动，A、B两点分别为正向最大位移处和负向最大位移处的点，A、B相距10cm，质点从A到B的时间为0.1 s，从质点经过O点时开始计时，经0.5 s，则下述说法正确的是()A振幅为5 cmB振幅为10 cmC质点通过的路程为50 cmD质点位移为50 cm答案AC解析A、B相距10 cm，则振幅为5 cm.由A到B历时0.1 s，则周期T0.2 s，从平衡位置开始经过0.5 s，即为2.5个周期，通过的路程为s2.545 cm50 cm，位移为0.故正确答案为A、C.4(多选)物体A做简谐运动的表达式为xA3cos (100t) m，物体B做简谐运动的表达式为xB5cos (100t) m比较A、B的运动()A振幅是标量，A的振幅是3 m，B的振幅是5 mB周期是标量，A、B周期相等为100 sCA振动的频率fA等于B振动的频率fBDA振动的频率fA大于B振动的频率fB答案AC解析振幅是标量，由表达式可知A、B的振幅分别是3 m、5 m，选项A正确周期是标量，A、B的周期T s6.28102 s，选项B错误因为AB，故fAfB，选项C正确，选项D错误一、选择题1. (多选)如图1所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间振动，则()图1A从BOCOB为一次全振动B从OBOCB为一次全振动C从COBOC为一次全振动DOB的大小不一定等于OC答案AC解析O为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起始经O、C、O、B路程为振幅的4倍，A对；若从O起始经B、O、C、B路程为振幅的5倍，超过一次全振动，B错；若从C起始经O、B、O、C路程为振幅的4倍，C对；因弹簧振子系统不考虑摩擦，所以振幅一定，D错2(多选)振动周期指的是振动物体()A从任意一个位置出发又回到这个位置所用的时间B从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间C从某一位置出发又沿同一运动方向回到这个位置所用的最短时间D经历了四个振幅的时间答案CD解析振动周期是指振动物体完成一次全振动所用的时间，也就是物体经过4个振幅所用的时间3(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x14sin (100t) cm，x25sin (100t) cm，下列说法正确的是()A它们的振幅相同 B它们的周期相同C它们的相位差恒定 D它们的振动步调一致答案BC解析它们的振幅分别是4 cm、5 cm，故不同，选项A错误；都是100 rad/s，所以周期(T)都是 s，选项B正确；由(100t)(100t)知相位差(为)恒定，选项C正确；0，即振动步调不一致，选项D错误4.(多选)如图2所示为质点的振动图象，下列判断中正确的是()图2A质点振动周期是8 sB振幅是2 cmC4 s末质点的速度为负，加速度为零D10 s末质点的加速度为正，速度为零答案AC解析由题图可知，T8 s，A2 cm，A正确，B错误；4 s末质点在平衡位置，速度沿x方向，加速度为零，C正确；10 s末同2 s末，质点处在正向最大位移处，其速度为零，加速度为负，D错误5. (多选)如图3所示，弹簧振子的小球在B、C之间做简谐运动，O为BC的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法中正确的是() 图3A小球的最大位移是10 cmB只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是零C无论小球在哪一位置，它的振幅都是5 cmD从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20 cm答案CD解析小球的最大位移是5 cm，故A错误；振幅是小球离开平衡位置的最大距离，即小球在任何位置时振幅都是5 cm，故B错误，C正确；从任意时刻起，小球在一周期内经过的路程都为4A45 cm20 cm，故D正确6(多选)一弹簧振子做简谐运动，周期为T，则下列说法正确的是()A若t，则在t时间内振子经过的路程为一个振幅B若t，则在t时间内振子经过的路程为两个振幅C若t，则在t时刻和(tt)时刻振子的位移一定相同D若tT，则在t时刻和(tt)时刻振子的速度一定相同答案BD解析若t，t时间内振子经过的路程不一定等于振幅，故A错误；若t，则在t时刻和(tt)时刻振子的位置关于平衡位置对称，在t时间内振子经过的路程为两个振幅，B正确；若t，则在t时刻和(tt)时刻振子的位置关于平衡位置对称，振子的位移大小相等，方向相反，C错误；若tT，则在t时刻和(tt)时刻振子的位置相同，所以这两时刻速度一定相等，故D正确7. (多选)如图4，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为y0.1sin (2.5t) mt0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度取重力加速度的大小为g10 m/s2.以下判断正确的是()图4Ah1.7 mB简谐运动的周期是0.8 sC0.6 s内物块运动的路程是0.2 mDt0.4 s时，物块与小球运动方向相反答案AB解析由小物块的运动方程可知2.5 rad/s，则T0.8 s，故B正确.0.6 s内物块运动了个周期，故路程应为0.3 m，C错误t0.4 s时物块运动了半个周期，正向下运动，与小球运动方向相同，故D错t0.6 s时，物块的位移y0.1 m，小球下落距离Hgt21.8 m，由题图可知，hHy1.7 m，故A正确8. (多选)一个质点做简谐运动的图象如图5所示，下列叙述中正确的是()图5A质点的振动频率为4 HzB在10 s内质点经过的路程为20 cmC在5 s末，质点做简谐运动的相位为Dt1.5 s和t4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm答案BD解析由振动图象可直接得到周期T4 s，频率f0.25 Hz，故选项A错误一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A8 cm.10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B正确，由图象知位移与时间的关系为xAsin (t0)0.02sin (t) m当t5 s时，其相位为t05，故C错误在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，x2sin (1.5) cm cm，故D正确9(多选)一个弹簧振子的振幅是A，若在t时间内物体运动的路程是s，则下列关系中可能正确的是(包括一定正确的)()At2T，s8A Bt，s2ACt，s2A Dt，sA答案ABD二、非选择题10如图6所示是物体做简谐运动的振动图象，请根据图象回答下列问题：图6(1)在图中t1时刻和t2时刻，物体的位移各是多少？(2)这个物体的振幅是多大？(3)这个振动的周期是多少？频率是多大？(4)判断t1、t2时刻物体运动的方向答案见解析解析(1)从图中直接读出t1时刻的位移为3 cm，t2时刻的位移为2 cm.(2)振幅指振动物体偏离平衡位置的最大距离，从图中读出位移最大值为5 cm，因此振幅为5 cm.(3)图中a至b表示物体完成了一次全振动又回到原来的状态，经历的时间即周期可见，这个振动的周期为2 s，频率为0.5 Hz.(4)由图象可以看出，t1时