2019高考数学江苏试题（理科）

绝密绝密启用前启用前 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 1本试卷共本试卷共 4 4 页，均为非选择题页，均为非选择题( (第第 1 1 题题 第第 2020 题，共题，共 2020 题题) )。本卷满分为。本卷满分为 160160 分，考试时间为分，考试时间为 120120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.50.5 毫米黑色墨水的签字笔毫米黑色墨水的签字笔 填写在试卷及答题卡的规定位置。填写在试卷及答题卡的规定位置。 3 3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本 人是否相符。人是否相符。 4 4作答试题，必须用作答试题，必须用 0.50.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作的指定位置作 答，在其他位置作答一律无效。答，在其他位置作答一律无效。 5 5如需作图，须用如需作图，须用 2B2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式：参考公式： 样本数据样本数据 12 , n x xx的方差的方差() 2 2 1 1 n i i sxx n = = ，其中，其中 1 1 n i i xx n = = 柱体的体积柱体的体积VSh=，其中，其中S是柱体的底面积，是柱体的底面积，h是柱体的高是柱体的高 锥体的体积锥体的体积 1 3 VSh=，其中，其中S是锥体的底面积，是锥体的底面积，h是锥体的高是锥体的高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分请把答案填写在分请把答案填写在答答 题卡相应位置上题卡相应位置上 1.已知集合 1,0,1,6A= ， |0,Bx xx=R，则AB =_. 1.1,6 由题知，1,6AB =. 2.已知复数(2i)(1 i)a+的实部为 0，其中i为虚数单位，则实数 a的值是_. 2.2 2 (a 2 )(1 i)222(2)iaaiiiaai+=+= +， 令20a=得2a = . 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 3.下图是一个算法流程图，则输出的 S的值是_. 3.5 执行第一次， 1 ,14 22 x SSx=+= 不成立，继续循环，12xx=+ =； 执行第二次， 3 ,24 22 x SSx=+=不成立，继续循环，13xx=+ =； 执行第三次，3,34 2 x SSx=+=不成立，继续循环，14xx=+ =； 执行第四次，5,44 2 x SSx=+=成立，输出5.S = 4.函数 2 76yxx=+ 的定义域是_. 4. 1,7 由已知得 2 760 xx+ , 即 2 670 xx 解得17x ， 故函数的定义域为 1,7. 5.已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是_. 5. 5 3 由题意，该组数据的平均数为 67889 10 8 6 + + + =， 所以该组数据的方差是 222222 15 (68)(78)(88)(88)(98)(108) 63 +=. 6.从 3 名男同学和 2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 2名同学中至少有 1 名女同学的概率是_. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 6. 7 10 从 3名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿服务，共有 2 5 10C =种情况. 若选出的 2 名学生恰有 1名女生，有 11 32 6C C =种情况， 若选出的 2 名学生都是女生，有 2 2 1C =种情况， 所以所求的概率为 6 17 1010 + = . 7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b =经过点（3，4)，则该双曲线的渐 近线方程是_. 7.2yx= 由已知得 2 2 2 4 31 b =， 解得 2b = 或 2b = ， 因为0b ，所以 2b = . 因为1a =， 所以双曲线的渐近线方程为2yx= . 8.已知数列 * () n anN是等差数列， n S是其前 n项和.若 2589 0,27a aaS+=，则 8 S的 值是_. 8.16 由题意可得： ()() () 258111 91 470 9 8 927 2 a aaadadad Sad +=+= =+= ， 解得： 1 5 2 a d = = ，则 81 8 7 84028 216 2 Sad =+= +=. 9.如图，长方体 1111 ABCDABC D的体积是 120，E 为 1 CC的中点，则三棱锥 E-BCD的体 积是_. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 9.10 因为长方体 1111 ABCDABC D的体积为 120， 所以 1 120AB BC CC=， 因为E为 1 CC的中点， 所以 1 1 2 CECC=， 由长方体的性质知 1 CC 底面ABCD， 所以CE是三棱锥EBCD的底面BCD上的高， 所以三棱锥EBCD的体积 11 32 VAB BC CE= 1 1111 12010 32212 AB BCCC=. 10.在平面直角坐标系xOy中，P 是曲线 4 (0)yxx x =+上的一个动点，则点 P到直线 x+y=0的距离的最小值是_. 10.4 当直线0 xy+=平移到与曲线 4 yx x =+相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线 0 xy+=的距离最小. 由 2 4 11y x = = ，得 2(2)x =舍，3 2y =， 即切点( 2,3 2)Q， 则切点 Q 到直线0 xy+=的距离为 22 23 2 4 11 + = + ， 故答案为：4 11.在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A处的切线经过点（-e， 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 -1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A的坐标是_. 11.(e, 1) 设点() 00 ,A xy，则 00 lnyx=.又 1 y x = ， 当 0 xx=时， 0 1 y x = ， 点 A 在曲线lnyx=上的切线为 00 0 1 ()yyxx x = ， 即 0 0 ln1 x yx x = ， 代入点(), 1e，得 0 0 1 ln1 e x x = ， 即 00 lnxxe=， 考查函数( )lnH xxx=，当()0,1x时，( )0H x ，当()1,x+时，( )0H x ， 且( )ln1Hxx=+，当1x 时，( )( )0,HxH x单调递增， 注意到( )H ee=，故 00 lnxxe=存在唯一的实数根 0 xe=，此时 0 1y =， 故点A的坐标为(),1A e . 12.如图，在ABC中，D是 BC的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE交于点O .若 6AB ACAO EC= ，则 AB AC 的值是_. 12.3 如图，过点 D 作 DF/CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 中点，知 BF=FE=EA,AO=OD. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 ()() () 3 63 2 AO ECADACAEABACACAE=+ () 2231311 23233 ABACACABAB ACABACAB AC =+=+ 22223 2113 2 3322 AB ACABACAB ACABACAB AC =+=+= ， 得 2213 , 22 ABAC=即3,ABAC=故3 AB AC = . 13.已知 tan2 3 tan 4 = + ，则 sin 2 4 + 的值是_. 13. 2 10 由 ()tan1 tantantan2 tan1 tan13 tan 1 tan4 = + + + ， 得 2 3tan5tan20= ， 解得tan2=，或 1 tan 3 = . sin 2sin2 coscos2 sin 444 +=+ () 22 22 222sincoscossin sin2cos2= 22sincos + =+ + 2 2 22tan1 tan = 2tan1 + + ， 当tan2=时，上式 2 2 22 2 1 22 = 22110 + + ； 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 当 1 tan 3 = 时，上式= 2 2 11 21 2233 = 210 1 1 3 + + . 综上， 2 sin 2. 410 += 14.设( ), ( )f x g x是定义在R上的两个周期函数，( )f x 的周期为4，( )g x的周期为2， 且 ( )f x 是奇函数.当2(0,x时， 2 ( )1 (1)f xx=， (2),01 ( ) 1 ,12 2 k xx g x x + = ，其中0k . 若在区间(0 9，上，关于x的方程( )( )f xg x=有 8个不同的实数根，则k 的取值范围是 _. 14. 12 , 34 当(0,2x时， () 2 ( )11 ,f xx= 即() 2 2 11,0.xyy+= 又 ( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数( )f x与( )g x的图象， 要使( )( )f xg x=在(0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可. 当 1 g( ) 2 x = 时，函数( )f x与( )g x的图象有2个交点； 当g( )(2)xk x=+时，( )g x的图象为恒过点()2,0的直线，只需函数 ( )f x与( )g x的图象 有6个交点.当 ( )f x与( )g x图象相切时，圆心()1,0到直线20kxyk+= 的距离为1，即 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 2 2 1 1 kk k + = + ，得 2 4 k = ，函数 ( )f x与( )g x的图象有3个交点；当g( )(2)xk x=+ 过点 1,1（ ）时，函数 ( )f x与( )g x的图象有6个交点，此时1 3k=，得 1 3 k =. 综上可知，满足( )( )f xg x=在(0,9上有8个实根的k的取值范围为 12 34 ，. 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小小题，共计题，共计 9090 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 a=3c，b= 2，cosB= 2 3 ，求 c 的值； （2）若 sincos 2 AB ab =，求sin() 2 B +的值 15.（1）因为 2 3 ,2,cos 3 ac bB=， 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac + =，得 222 2(3 )( 2) 32 3 cc c c + = ，即 2 1 3 c =. 所以 3 3 c = . （2）因为 sincos 2 AB ab =， 由正弦定理 sinsin ab AB =，得 cossin 2 BB bb =，所以cos2sinBB=. 从而 22 cos(2sin )BB=，即() 22 cos4 1 cosBB= ，故 2 4 cos 5 B =. 因为sin0B ，所以cos2sin0BB=，从而 2 5 cos 5 B = . 因此 2 5 sincos 25 BB += . 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 16.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证： （1）A1B1平面 DEC1； （2）BEC1E 16.（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点， 所以 EDAB. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABA1B1， 所以 A1B1ED. 又因为 ED平面 DEC1，A1B1平面 DEC1， 所以 A1B1平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC的中点，所以 BEAC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC1平面 ABC. 又因为 BE平面 ABC，所以 CC1BE. 因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C， 所以 BE平面 A1ACC1. 因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 17.如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab +=的焦点为 F1（1、0） ， F2（1，0） 过 F2作 x轴的垂线 l，在 x轴的上方，l与圆 F2: 222 (1)4xya+=交于点 A， 与椭圆 C 交于点 D.连结 AF1并延长交圆 F2于点 B， 连结 BF2交椭圆 C 于点 E， 连结 DF1 已 知 DF1= 5 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求点 E的坐标 17.（1）设椭圆 C的焦距为 2c. 因为 F1(1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1. 又因为 DF1= 5 2 ，AF2x 轴，所以 DF2= 2222 112 53 ( )2 22 DFFF=， 因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2. 由 b2=a2-c2，得 b2=3. 因此，椭圆 C 的标准方程为 22 1 43 xy +=. （2）解法一： 由（1）知，椭圆 C： 22 1 43 xy +=，a=2， 因为 AF2x轴，所以点 A 横坐标为 1. 将 x=1代入圆 F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得 y= 4. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(1，4). 又 F1(-1，0)，所以直线 AF1：y=2x+2. 由 () 2 2 22 116 yx xy =+ += ，得 2 56110 xx+= ， 解得1x =或 11 5 x = . 将 11 5 x = 代入22yx=+，得 12 5 y = ， 因此 1112 (,) 55 B .又 F2(1，0)，所以直线 BF2： 3 (1) 4 yx=. 由 22 3 (1) 4 1 43 yx xy = += ，得 2 76130 xx= ，解得1x =或 13 7 x =. 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以1x =. 将1x =代入 3 (1) 4 yx=，得 3 2 y = .因此 3 ( 1,) 2 E . 解法二： 由（1）知，椭圆 C： 22 1 43 xy +=.如图，连结 EF1. 因为 BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB， 从而BF1E=B 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 因为 F2A=F2B，所以A=B， 所以A=BF1E，从而 EF1F2A. 因为 AF2x轴，所以 EF1x轴. 因为 F1(-1，0)，由 22 1 1 43 x xy = += ，得 3 2 y = . 又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 3 2 y = . 因此 3 ( 1,) 2 E . 18.如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB（AB 是圆 O的直径） 规划在公路 l上选两个点 P、Q，并修建两段直线型道路 PB、QA规划要 求:线段 PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径已知点 A、B到直线 l的距 离分别为 AC 和 BD（C、D为垂足） ，测得 AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米） （1）若道路 PB与桥 AB垂直，求道路 PB 的长； （2）在规划要求下，P 和 Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路 PB和 QA 的长度均为 d（单位：百米）.求当 d最小时，P、Q 两点间的距离 18.解法一： （1）过 A 作AEBD，垂足为 E. 由已知条件得，四边形 ACDE 为矩形，6, 8DEBEACAECD=. 因为 PBAB， 所以 84 cossin 105 PBDABE=. 所以 12 15 4 cos 5 BD PB PBD = . 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 因此道路 PB 的长为 15（百米）. （2）若 P在 D 处，由（1）可得 E 在圆上，则线段 BE上的点（除 B，E）到点 O的距离 均小于圆 O的半径，所以 P 选在 D处不满足规划要求. 若 Q在 D处，连结 AD，由（1）知 22 10ADAEED=+= ， 从而 222 7 cos0 225 ADABBD BAD AD AB + = ，所以BAD为锐角. 所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径. 因此，Q选在 D处也不满足规划要求. 综上，P和 Q均不能选在 D处. （3）先讨论点 P的位置. 当OBP90 时，在 1 PPB中， 1 15PBPB=. 由上可知，d15. 再讨论点 Q的位置. 由（2）知，要使得 QA15，点 Q只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15 时， 2222 1563 21CQQAAC= .此时，线段 QA上所有点到点 O的距离均不小于 圆 O 的半径. 综上，当 PBAB，点 Q位于点 C 右侧，且 CQ=3 21时，d最小，此时 P，Q两点间的距 离 PQ=PD+CD+CQ=17+3 21. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为 17+3 21（百米）. 解法二： （1）如图，过 O作 OHl，垂足为 H. 以 O 为坐标原点，直线 OH为 y轴，建立平面直角坐标系. 因为 BD=12，AC=6，所以 OH=9，直线 l的方程为 y=9，点 A，B 的纵坐标分别为 3，3. 因为 AB 为圆 O 的直径，AB=10，所以圆 O的方程为 x2+y2=25. 从而 A（4，3） ，B（4，3） ，直线 AB 的斜率为 3 4 . 因为 PBAB，所以直线 PB 的斜率为 4 3 ， 直线 PB 的方程为 425 33 yx= . 所以 P（13，9） ， 22 ( 134)(93)15PB =+= . 因此道路 PB 的长为 15（百米）. （2）若 P在 D处，取线段 BD 上一点 E（4，0） ，则 EO=40. 因为 ckbkck+1，所以 1kk qkq ，其中 k=1，2，3，m. 当 k=1时，有 q1； 当 k=2，3，m 时，有 lnln ln 1 kk q kk 设 f（x）= ln (1) x x x ，则 2 1 ln ( ) x f x x = 令( )0f x =，得 x=e.列表如下： 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 x (1,e) e (e，+) ( )f x + 0 f（x） 极大值 因为 ln2ln8ln9ln3 2663 =，所以 max ln3 ( )(3) 3 f kf= 取 3 3q =，当 k=1，2，3，4，5时， ln ln k q k ，即 k kq， 经检验知 1k qk 也成立 因此所求 m的最大值不小于 5 若 m6，分别取 k=3，6，得 3q3，且 q56，从而 q15243，且 q15216， 所以 q 不存在.因此所求 m的最大值小于 6. 综上，所求 m 的最大值为 5 数学数学(附加题附加题) ) 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 2121、2222、2323 三小题，三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题请选定其中两小题，并在相应的答题 区域内作答区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤 21.已知矩阵 31 22 = A （1）求 A2； （2）求矩阵 A的特征值. 21.（1）因为 31 22 = A ， 所以 2 3131 2222 = A = 3 3 1 23 1 1 2 2 32 22 12 2 + + + + = 115 106 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 （2）矩阵 A 的特征多项式为 2 31 ( )54 22 f =+ . 令 ( )0f= ，解得 A 的特征值 12 1,4=. 22.在极坐标系中，已知两点3,2, 42 AB ，直线 l的方程为sin3 4 += . （1）求 A，B 两点间的距离； （2）求点 B到直线 l的距离. 22.（1）设极点为 O.在OAB中，A（3， 4 ） ，B（ 2， 2 ） ， 由余弦定理，得 AB= 22 3( 2)2 32cos()5 24 + =. （2）因为直线 l的方程为sin()3 4 +=， 则直线 l过点(3 2,) 2 ，倾斜角为 3 4 又( 2,) 2 B ，所以点 B 到直线 l的距离为 3 (3 22) sin()2 42 =. 23.设xR，解不等式| |+|2 1|2xx. 23.当 x2，解得 x1. 综上，原不等式的解集为 1 |1 3 x xx 或. 更多免费资源，请关注微信公众号【学未已】微信号:Xu e We i Yi 2021 【必做题】第【必做题】第 2424 题、第题、第 2525 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分请在分请在答题卡指定区答题卡指定区 域域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24.设 2* 012 (1),4, nn n xaa xa xa xnn+=+N.已知 2 324 2aa a=. （1）求 n 的值； （2）设(13)3 n ab+=+，其中 * , a bN，求 22 3ab的值. 24.（1）因为 0122 (1)CCCC4 nnn nnnn xxxxn+=+， 所以 23 23 (1)(1)(2) C,C 26 nn n nn nn aa =， 4 4 (1)(2)(3) C 24 n n nnn a = 因为 2 324 2aa a=， 所以 2 (1)(2)(1)(1)(2)(3) 2 6224 n nnn nn nnn =， 解得5n = （2）由（1）知，5n = 5 (13)(13) n +=+ 0122334455 555555 CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3)=+ 3ab=+ 解法一：解法一： 因为 * ,