高中数学选修内容知识点归纳

选修之1常用逻辑用语一、命题及其关系1.命题（1）用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题（2）对于“若p，则q”形式的例题，p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.2.四种命题原命题：若p，则q .逆命题：若q，则p .（2）如果q成立时，p一定成立，即qp，则称p是q的必要条件；（3）如果既有pq，又有qp，则p是q的充分必要条件，简称充要条件.三、简单的逻辑联结词1.联结词及记号逻辑联结词记号意义且pqp且q或pqp或q非非p（2）全称命题“对M中任意一个x，有p (x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p (x)成立”.2.存在量词（1）短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示含有存在量词的命题，叫做特称命题注：常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等.（2）特称命题“存在M中的一个x，使p (x)成立”可用符号简记为，读作“存在一个x属于M，使p (x)成立”.3.含有一个量词的命题的否定（1）全称命题 否定（2）特称命题 否定选修之2圆锥曲线一、椭圆1.定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2.标准方程（1）焦点在x轴上：.二、双曲线1.定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2.标准方程（1）焦点在x轴上：.（2）焦点在y轴上：.说明：注意双曲线中c为a，b，c中的最大数，c2=a2+b2.3.双曲线的简单几何性质性质焦点在x轴焦点在y轴范围xa或xaya或ya对称性关于x轴、y轴成轴对称，关于原点成中心对称.顶点A1(a , 0)，A2(a , 0)A1(0 , B)，A2(0 , b)渐近线离心率（3）开口向上：x2=2py.（4）开口向下：x2=2py.3.抛物线的简单几何性质性质开口向左开口向右开口向上开口向下范围x0x0y0y0对称性x轴x轴y轴y轴顶点O(0 , 0)O(0 , 0)O(0 , 0)O(0 , 0)离心率e=1e=1e=1e=1焦点准线方程四、直线与圆锥曲线的位置关系1.交点（1）将直线与圆锥曲线的方程联立得到方程组，则方程组的解就是交点的坐标.（2）消掉一个未知数后可得关于另一个未知数的一元二次方程，设此方程的判别式为，则有相交方程有两不同解0；相切方程有两相同解0；相离方程无实数解0.2.弦长公式PM | p (M)；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f (x , y)=0；（4）化方程f (x , y)=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上注：化简前后方程的解集一般是相同的，步骤（5）可省略不写. 如果有的点其坐标满足求出的方程，但该点不在方程的曲线上，一定要注意排除步骤（2）有时也可省略.3.求轨迹方程的常用方法（1）标准方程法：如圆、椭圆、抛物线等都有标准方程，如能知道轨迹是何种曲线则可套用标准方程.（2）待定系数法：有时标准方程中的参数不易直接计算求得，则可用待定系数法，即列方程（组）求之.（3）代入法：若一个动点P与一条已知曲线f (x , y)=0上的点Q有联系，则可先找出P (x , y)，Q(x1 , y1)的坐标之间的关系然后代入f (x1 , y1)=0即可求出P的轨迹方程f (1(x,y) , 2(x,y)=0.选修之3推理与证明一、推 理1.合情推理(1)由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳)(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)类比推理是由特殊到特征的推理.要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.2.分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法.3.反证法假没原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.4.数学归纳法(理科)证明一个与正整数n有关的例题，可按下面步骤进行：1(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立；2(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.选修之4复数1.复数的概念 （1）虚数单位：i2=1.（2）形如a+bi的数叫复数，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部（3）复数a+bi当且仅当b=0为实数，当且仅当b0时为虚数，当且仅当a=0，b0时为纯虚数，当且仅当a=b=0时为02.复数相等的条件a+bi=c+dia=c，且b=d .复数一般不能比较大小，当且仅当两个复数都是实数时才能比较大小.3.复数的模及共扼复数数加法、乘法满足实数运算的所有运算律.实数的整数指数幂的运算性质在复数集中仍然成立注：在复数集中，分数指数幂的运算性质不再成立；中学阶段不研究复数的开方；一般地，|a|2a2.选修之5统计案例一、回归分析1.线性回归分析（1）函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法（2）线性回归分析：方法是画散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率R2越接近于1，表示回归的效果越好如果对某组数据可能采取几种不同的回归方程进行回归分析，也可以通过比较几个R2，选择R2大的模型作为这组数据的模型说明：r只能用于线性模型，R2则可用于任一种模型. 对线性回归模型来说，. 二、独立性检验1.基本概念（1）对于性别变量，其取值为男和女两种这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量（2）假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为和其样本频数列联表称为22列联表：y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd（3）构造随机变量利用K2的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，这种方法称为如：如果k7.879，就有99.5的把握认为“X与Y有关系”.选修之6导数及其应用一、变化率与导数1.变化率式子叫做函数f (x)从x1到x2的平均变化率. 记 x =x2x1， y=f (x2)f (x1)，则平均变化率可表示为yx.2.导数定义函数y= f (x)在x=x0处的瞬时变化率 称为函数y= f (x)在x = x0处的导数，记作f (x0)或y|x = x0，即（3）(sin x)=cos x（4）(cos x)=sin x（5）(ax)=axlna（6）(ex)=ex（7）（8）2.求导法则（1）f(x)g(x)=f(x)g(x)（2）f(x)g(x) =f(x)g(x)+f(x)g(x)（3）f(x)g(x)=f(x)g(x)f(x)g(x) g(x) 2（4）Cf(x) =Cf(x)（C为常数）3.复合函数的导数（理科）（1）复合函数：对于两个函数y= f (u)和u= g (x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y f (u)和u = g (x)的复合函数，记作y = f (g(x)（2）复合函数求导法则：即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积三、导数的应用1.单调性与导数（1）在某个区间(a , b)内，如果f (x)0，且f (x)=0仅在一些孤立点上成立，那么函数y=f (x)在(a , b)内单调递增；如果f (x)0，且f (x)=0仅在一些孤立点上成立，那么函数y=f (x)在(a , b)内单调递减.（2）用导数单调区间：求f (x)；解不等式f (x)0，可得f (x)的单调递增区间，解不等式f (x)0，可得f (x)的单调递减区间（注意定义域）.注意：上述定理的逆命题不成立.（3）求函数的极值的方法求函数y= f (x)在区间a , b上的最值的步骤如下：解方程f (x)=0；当f (x0)=0时，如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f (x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f (x)0，那么f (x0)是极小值（4）求函数的最值的方法求函数y= f (x)在(a , b)内的极值；将函数y= f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值四、定积分（理科）1.定积分的概念函数f (x)在区间a , b上连续，用分点a=x0x1xi1xixn=b将区间a , b等分成n个小区间，在每个小区间xi1 , xi上任取一点i(i=1，2，n)，作和式当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x)在区间a , b上的定积分，记作，即这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a , b叫做积分区间，函数f (x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式由y= f (x)，x=a，x=b和x轴围成的曲边梯形的面积为注：对于稍复杂些的图形的面积，可通过向x轴作垂线，转化为求几个曲边梯形的面积的和或差.（2）求变速直线运动的路程位移：路程：，其中v(t)表示速率.（3）变力作功，其中F (x)表示变力.选修之7空间向量与立体几何（理科）一、空间向量及其运算空间向量的有关概念及运算与平面向量形式上完全相同，只是由平面拓展到空间.下面仅列举空间向量特有的内容.（1）平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.（2）向量共面的条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x , y)，使p=xa+yb.二、立体几何中的向量方法1.用向量解决立体几何问题的一般步骤（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义2.用向量解决的几类立体几何问题（1）证明平行或垂直线线平行：证明直线的方向向量平行.线线垂直：证明直线的方向向量垂直.线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行.面面平行：证明两平面的法向量平行.面面垂直：证明两平面的法向量垂直.（2）计算距离点到平面的距离：设v是平面的法向量，P为外一点，A为内任一点，P到平二面角：求两平面法向量的平角，二面角的大小可能是，也可能是180，可结合图形或其他条件确定.选修之8排列组合与二项式定理（理科）一、计数原理1.加法原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2.乘法原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，（3）排列数的计算. 0!12.组合（1）从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（2）从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示（3）组合数的计算. （4）组合数的性质.注：排列与的区别：排列有顺序，组合无顺序. 一种简便的判定方法是，任取一种情况，交换其中两个元素，如果变成了另一种情况，则是排列，如果仍是同一种情况或变成了一种不可能的情况，则是组合.两项的二项式系数相等，且同时取得最大值（3）各二项式系数的和.注：二项式系数指的是，而某一项的系数包含其他常数，要注意二者的区别.选修之9随机变量及其分布（理科）一、离散型随机变量及其分布1.基本概念（1）随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.（2）所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.2.分布列（1）若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，,xn，X取每一个值xi (i=1，2，n)的概率P (X=xi)=pi，以表格的形式表示如下：（1）定义：设A，B为两个事件，如果P (AB) = P (A) P (B)，则称事件A与事件B相互独立（2）性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立.3.独立重复试验与二项分布（1）在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.（2）在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为n.此时称随机变量X服从二项分布，记作XB (n , p)，并称p为成功概率三、离散型随机变量的均值与方差1.均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则称EX = x1 p1x2 p2xi pixn pn为