2020学年高中数学 第1章 数列2等差数列同步教学案 北师大版必修5

2.1等差数列(一)课时目标1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式1如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做_数列，这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母d表示2若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的_，并且A_.3若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an_.4等差数列an中，若公差d0，则数列an为_数列；若公差d0，则数列an为_数列一、选择题1已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差d为()A2 B3 C2 D32ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于()A30 B60 C90 D1203在数列an中，a12,2an12an1(nN)，则a101的值为()A49 B50 C51 D524一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于()A. B.C. D.5设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是()A1 B2 C4 D66等差数列an的公差d1，nN时，有，设bn，nN.(1)求证：数列bn为等差数列(2)试问a1a2是否是数列an中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由1判断一个数列an是否是等差数列，关键是看an1an是否是一个与n无关的常数2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量3三个数成等差数列可设为：ad，a，ad或a，ad，a2d；四个数成等差数列可设为：a3d，ad，ad，a3d或a，ad，a2d，a3d.2等差数列21等差数列(一)答案知识梳理1等差公差2等差中项3.a1(n1)d 4递增递减作业设计1C2.B3.D4Ca，bx. .5B设前三项分别为ad，a，ad，则adaad12且a(ad)(ad)48，解得a4且d2，又an递增，d0，即d2，a12.6D由所以ana1(n1)d，即an8(n1)(2)，得an2n10.7.8ann1解析a(3a)2(2a1)，a.这个等差数列的前三项依次为，.d，an(n1)1.9.解析nm3d1，d1(nm)又nm4d2，d2(nm).10.d3解析设an24(n1)d，由解得：1，nN时，224bnbn14，且b15.bn是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解由(1)知bnb1(n1)d54(n1)4n1.an，nN.a1，a2，a1a2.令an，n11.即a1a2a11，a1a2是数列an中的项，是第11项2.1等差数列(二)课时目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式.2.熟练运用等差数列的常用性质1等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是关于n的常函数；当d0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以_为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点2已知在公差为d的等差数列an中的第m项am和第n项an(mn)，则_.3对于任意的正整数m、n、p、q，若mnpq.则在等差数列an中，aman与apaq之间的关系为_一、选择题1在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为()A4 B6C8 D102已知数列an为等差数列且a1a7a134，则tan(a2a12)的值为()A. BC D3已知等差数列an的公差为d(d0)，且a3a6a10a1332，若am8，则m为()A12 B8C6 D44如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2a7等于()A14 B21C28 D355设公差为2的等差数列an，如果a1a4a7a9750，那么a3a6a9a99等于()A182 B78C148 D826若数列an为等差数列，apq，aqp(pq)，则apq为()Apq B0C(pq) D.二、填空题7若an是等差数列，a158，a6020，则a75_.8已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，则a20_.9已知是等差数列，且a46，a64，则a10_.10已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|mn|_.三、解答题11等差数列an的公差d0，试比较a4a9与a6a7的大小12已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式能力提升13在3与27之间插入7个数，使这9个数成等差数列，则插入这7个数中的第4个数值为()A18 B9C12 D1514已知两个等差数列an：5,8,11，bn：3,7,11，都有100项，试问它们有多少个共同的项？1在等差数列an中，当mn时，d为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d.2等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列3等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN)，特别地，若mn2p，则anam2ap.21等差数列(二)答案知识梳理1d2.d3.amanapaq作业设计1C由a2a4a6a8a105a680，a616，a7a8(2a7a8)(a6a8a8)a68.2D由等差数列的性质得a1a7a133a74，a7.tan(a2a12)tan(2a7)tantan.3B由等差数列性质a3a6a10a13(a3a13)(a6a10)2a82a84a832，a88，又d0，m8.4Ca3a4a53a412，a44.a1a2a3a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a47a428.5Da3a6a9a99(a12d)(a42d)(a72d)(a972d)(a1a4a97)2d33502(2)3382.6Bd1，apqapqdqq(1)0.724解析a60a1545d，d，a75a6015d20424.81解析a1a3a5105，3a3105，a335.a2a4a63a499.a433，da4a32.a20a416d3316(2)1.9.解析2d，即d.所以4d，所以a10.10.解析由题意设这4个根为，d，2d，3d.则2，d，这4个根依次为，n，m或n，m，|mn|.11解设ana1(n1)d，则a4a9a6a7(a13d)(a18d)(a15d)(a16d)(a11a1d24d2)(a11a1d30d2)6d20，所以a4a9a6a7.12解a1a72a4，a1a4a73a415，a45.又a2a4a645，a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.13D设这7个数分别为a1，a2，a7，公差为d，则2738d，d3.故a434315.14解在数列an中，a15，公差d1853.ana1(n1)d13n2.在数列bn中，b13，公差d2734，bnb1(n1)d24n1.令anbm，则3n24m1，n1.m、nN，m3k(kN)，又，解得0m75.03k75，0k25，k1,2,3，25两个数列共有25个公共项2.2等差数列的前n项和(一)课时目标1.掌握等差数列前n项和公式及其性质.2.掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn之间的关系1把a1a2an叫数列an的前n项和，记做_例如a1a2a16可以记作_；a1a2a3an1_ (n2)2若an是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn_；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn_.3等差数列前n项和的性质(1)若数列an是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为_(2)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列(3)设两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，则.一、选择题1设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()A13 B35C49 D632等差数列an中，S104S5，则等于()A. B2C. D43已知等差数列an中，aa2a3a89，且an0，则S10为()A9 B11 C13 D154设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636.则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D275在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A765 B665 C763 D6636一个等差数列的项数为2n，若a1a3a2n190，a2a4a2n72，且a1a2n33，则该数列的公差是()A3 B3 C2 D1二、填空题7设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_.8两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，则的值是_9在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为_10等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则数列an的前3m项的和S3m的值是_三、解答题11在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.12设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.能力提升13现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A9 B10C19 D2914已知两个等差数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2 B3C4 D51等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn较好，若已知首项a1及公差d，用公式Snna1d较好2等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用22等差数列的前n项和(一)答案知识梳理1SnS16Sn12.na1n(n1)d3(1)作业设计1CS749.2A由题意得：10a1109d4(5a154d)，10a145d20a140d，10a15d，.3D由aa2a3a89得(a3a8)29，an0，a3a83，S1015.4B数列an为等差数列，则S3，S6S3，S9S6为等差数列，即2(S6S3)S3(S9S6)，S39，S6S327，则S9S645.a7a8a9S9S645.5B因a12，d7,2(n1)7100，n200.n19时，剩余钢管根数最少，为10根14D7，n1,2,3,5,11.2.2等差数列的前n项和(二)课时目标1.熟练掌握等差数列前n项和的性质，并能灵活运用.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.1前n项和Sn与an之间的关系对任意数列an，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an2等差数列前n项和公式Sn_.3等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中当a10，d0时，Sn有_值，使Sn取到最值的n可由不等式组_ 确定；当a10时，Sn有_值，使Sn取到最值的n可由不等式组_确定(2)因为Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有_值；当d0时，Sn有_值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值一个有用的结论：若Snan2bn，则数列an是等差数列反之亦然一、选择题1已知数列an的前n项和Snn2，则an等于()An Bn2C2n1 D2n12数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值是()A2 B1 C0 D13已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5ak8，则k为()A9 B8 C7 D64设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A. B. C. D.5设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A1 B1C2 D.6设an是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是()AdS5DS6与S7均为Sn的最大值二、填空题7数列an的前n项和为Sn，且Snn2n，(nN)，则通项an_.8在等差数列an中，a125，S9S17，则前n项和Sn的最大值是_9在等差数列an中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n_.10等差数列an中，a1na1nan BSnnanna1Cna1Snnan DnanSnna114设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，且S120，S130，d0，时，Sn取得最大值；当a10，时，Sn取得最小值3求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点22等差数列的前n项和(二)答案知识梳理1S1SnSn12.na1d3(1)最大最小(2)最小最大作业设计1D2B等差数列前n项和Sn的形式为：Snan2bn，1.3B由an，an2n10.由52k108，得7.5k9，k8.4A方法一a12d，.方法二由，得S63S3.S3，S6S3，S9S6，S12S9仍然是等差数列，公差为(S6S3)S3S3，从而S9S6S32S33S3S96S3，S12S9S33S34S3S1210S3，所以.5A由等差数列的性质，1.6C由S50.又S6S7a70，所以dS8a80，因此，S9S5a6a7a8a92(a7a8)0即S90，由得所以当n13时，Sn有最大值S132513(2)169.因此Sn的最大值为169.方法三由S17S9，得a10a11a170，而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140.由方法一知d20，所以a130，a140，故当n13时，Sn有最大值S132513(2)169.因此Sn的最大