2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷含答案）(1)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含答案）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，若，则a的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C2.复数A. B. C. D. 【答案】A3.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是A. B. C. D. 【答案】B4.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为A. B. C. D. 【答案】D5.如图，AD、AE、BC分别与圆O切于点D、E、F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：； .其中正确的结论的序号是( )A B C D【答案】A.CBGAODEF 6.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是A. 75，25B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16【答案】D7.某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是A. B. C. D. 【答案】C8. 设A（0，0），B（4，0），C（，4），D（t，4）（），记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为A 9，10，11 B 9，10，12 C 9，11，12 D 10，11，12 【答案】CD(t+4,4)C(t,4)B(4,0)A(0,0)图2 t=2时情况点分布（11点）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.在中，若，则_，_.【答案】 10.已知向量，若与共线，则_.【答案】11.在等比数列中，若，则公比_；_.【答案】 12.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)【答案】13.已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_.【答案】（0,1）14.曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则的面积不大于.其中，所有正确结论的序号是_.【答案】三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值。16. （共14分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，.（1）求证：平面PAC；（2）若，求PB与AC所成角的余弦值；（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为，的平均数）18.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求的取值范围。【解析】：（），令，当时，的情况如下：+00+0所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：0+00所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是。（）当时，因为，所以不会有当时，由（）知在上的最大值是所以等价于， 解得故当时，的取值范围是，0。19.已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值。【解析】：（）由已知得 所以所以椭圆的焦点坐标为 ，离心率为 （）（）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以由于当时，所以.因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为220.若数列：，满足（，2，），则称为E数列。记.（1）写出一个满足，且的E数列；（2）若，证明：E数列是递增数列的充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。【解析】：（）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）（）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（20001）1=2020.充分性，由于a2000a1000