2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷解析版）

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷，解析版）【名师简评】2020年数学考试大纲强调，数学命题要重视基础知识和综合能力的相互结合，在平稳中求创新，重点强调对数学基础知识的考查从今年考试的试卷情况看，可以说高考数学试题符合考纲的这一要求，值得一提的是，今年高考中对能力考查的力度进一步加大相对来说今年高考文科数学试题比去年的要简单一些首先是虽然总体的难度变化不大，但“送分题”明显增加，思维量、运算量也有所增加其次是尽管难题不多，但由于中档题所占比重加大，除少数题外，几乎每个题目对考生的思维能力、运算能力都提出了一定的要求，更重要的是考题要求考生能够熟练运用基础知识，迅速解决问题再次是新题型多，推陈出新是高考题的一大特点，尽管客观题、主观题中有很多是常见的题型，但是新题型还是占有一定的比例再有很多大题都能在教材中找到它的“影子”，如：第17题、19题、20题总之，回归课本是必须，夯实基础是前提，熟记题型是关键，灵活应变是过程，取得较高分数是结果本试题卷共4页，三大题21题。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合M=1,2,4,8，N= 是2的倍数，刚=A.2,4 B.1,2.4 C.2,4,8 D.1,2,4,82.函数 =，的最小正周期为A. B. C. D. 【答案】D【命题意图】本小题主要考查了正弦型函数的周期【解析】由正弦型函数的周期公式：，得3.已知函数（x）=则 =A.4 B. C. D.【答案】B【命题意图】本小题主要考查了分段函数的有关概念以及指数函数的运算和对数函数的运算【解析】，4.用表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若则;若则；若,则;若,则.其中真命题的序号是A. B. C. D. 5.函数的定义域为A. B. C. D. 6.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A. B. C. D. 【答案】A【命题意图】本小题主要考查了乘法原理以及运用所学知识分析问题、解决实际应用问题的能力【解析】6名同学中的每一名同学都可以从5个课外知识讲座中任选一种，由乘法原理可知3不同的选法总数是7.已知等比数列中，各项都是正数，且、2成等差数列，则= A1+ B1- C3+2 D3-28已知和点M满足+= 0.若存在实数 使得+=成立，则 A2 B3 C4 D5【答案】B【命题意图】本小题主要考查了平面向量的线性运算，同时把平面向量与三角形紧密结合起来，体现了在知识交汇点处命题的思路【解析】因为，所以M为的重心如图所示，在中，点G是BC的中9.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是A. B. C. D. 10.记实数中的最大数为,最小数为.已知三边的边长为 (),定义它的倾斜度为则“”是“为等边三角形”的A. 充分而不必要的条件 B. 必要而不充分的条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件【答案】B二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。答案错位，书写不清，模棱两可均不得分.11. 在（1x2）10 的展开式种，x4 的系数为 .【答案】45【命题意图】本题考查了利用通项公式求解二项展开式中的指定项系数问题【解析】设项是第项，则，令，则，所以项的系数为12. 已知，式中变量满足约束条件 则的最大值为 .13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 （用数字作答）.【答案】0.9477【命题意图】本题考查了互斥事件的概率加法公式和n次独立重复试验问题，并考查了运用所学知识分析问题、解决实际问题的能力【解析】设服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的事件为A，设4个人中有3个人被治愈为事件A1，4个人都被治愈为事件A2且，事件A1和A2是互斥事件所以所求事件的概率14.圆柱形容器内盛有高度为的水，若放入三个相同的球，（球的半径和圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 . 【答案】4【命题意图】本小题主要考查了求解圆柱和球的体积问题以及空间想象能力与运算求解能力【解析】设球的半径为R，则由题意可知，解得15.已知椭圆的两焦点为,点满足，则的取值范围为 ，直线与椭圆的公共点个数为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16、（本小题满分12分）已知函数，.（）函数的图像可由函数的图像经过怎样的变化得到？（）求函数的最小值，并求使取得最小值的的集合。17、（本小题满分12分）为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）.（1）在答题卡上的表格中填写相应的频率；（2）估计数据落在1.15，1.30 ）中的概率为多少；（3）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中的鱼的总条数.【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图、频数、概率等基本概念和总体分布的估计等统计方法.【参考答案】解：（）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表 分组频率1.00，1.050.051.05，1.100.201.10，1.150.281.15，1.200.301.20，1.250.151.25，1.300.02（）所以数据落在中的概率约为0.47.（）所以水库中鱼的总条数约为2000条.【点评】本题背景源于教材，用样本估计总体，许多模拟题也出现过类似的题型，考生做起来还是比较顺手的。18（本小题满分12分）如图。在四面体中，且. ()设为的中点，在上且.证明:；()球二面角的平面角的余弦值。 （）连结PN，PO.由 又 （）记平面ABC的法向量得 故可取又平面OAC的法向量为的平面角是锐角，记为，则19. (本小题满分12分)已知某地今年初拥有居民住房的总面积为（单位：），其中有部分旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为（单位：）的旧住房.（）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；() 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年 拆除的旧住房面积是多少？（计算时取1.15=1.6）【点评】本题源于教材中的一道习题，稍加改编，给考生“似曾相识”的感觉，高考命题源于课本，复习时应回归课本，必须注重基础。20.（本小题满分13分）已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是1.（1） 求曲线的方程：（2） 是否存在正数，对于过点且与曲线有两个焦点的任一直线，都有?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。 由式，不等式等价于 对任意实数t，4的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围是【点评】本题源于教材中的一道例题，利用直接法求曲线的方程，可见高考题源于教材，而不拘泥于教材，回归课本，夯实基础是必须的。21.（本小题满分14分）设函数其中.曲线在点处的切线方程为.（1） 确定的值；（2） 设曲线在点处的切线都过点（0,2）.证明：当时，；（3） 若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求的取值范围. 【命题意图】本小题主要考查函数的单调性、极值、导数等基本知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力.由（3）得（III）由（II）知，过点（0，2）可作的三条切线，等价于方程要是利用导数的几何意义，设出切点，求出切线的斜率，也就是函数切点的导数，进而由点斜式求出切线方程，最后一问化为方程解的个数，列出极值来，根据曲线的图像的草图，由数形结合法可求解。 取得最小值时，对应的x的集合为Z.17本小题主要考查频率分布直方图、频数、概率等基本概念和总体分布的估计等统计方法.（满分12分） 解：（）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表 分组频率1.00，1.050.051.05，1.100.201.10，1.150.281.15，1.200.301.20，1.250.151.25，1.300.02（）所以数据落在中的概率约为0.47.（）所以水库中鱼的总条数约为2000条.18本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）解法一： （）在平面OAB内作，在，在CN.由CN，知 （）连结PN，PO.由 又解法二：得 故可取又平面OAC的法向量为的平面角是锐角，记为，则19本小题主要考查阅读材料、提取信息、建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力。（满分12分）解：（）第1年末的住房面积 第2年末的住房面积（）第3年末的住房面积 第4年末的住房面积， 第5年末的住房面积依题意可知，解得所以每年拆除的旧房面积为20本小题主要考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基础知识、同时考查推理运算的能力。（满分13分）解：（）设是曲线C上任意一点，那么点满足： （II）设过点M（m，0）（m0）的直线l与曲线C的交点为设l的方程为于是 又，于是不等式等价于 由式，不等式等价于 对任意实数t，4的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于由此可