2020年高考数学 导数中的不等式问题的解题策略

导数中的不等式问题的解题策略导数的综合问题是高考数学的压轴题之一，其包含信息量大，计算繁琐，对学生的思维能力要求较高，令很多同学望而生畏，造成严重失分。而利用导数解决不等式问题更是压轴题中的压轴题，很多同学直接选择放弃，其实导数中的不等式问题并不像很多同学想象的那样，只是我们缺少对它的研究才觉得它高不可攀，下面我们通过具体的实例来分析导数中的不等式问题，解密其隐藏的规律轻松解决导数中的不等式问题。1.承上启下型在解决导数问题中的不等式时，经常会出现这样一类问题，其证明需要应用到前一问的结论。由前一问的结论得到一个不等式，再根据其与要证明的不等式的关系进行证明，这类题在证明的过程中也经常应用到一些常见的结论，如：等。例1.已知为函数图象上一点,O为坐标原点,记直线OP的斜率.(I)若函数在区间上存在极值,求实数m的取值范围;(II)当 时,不等式恒成立,求实数t的取值范围;(III)求证.分析：本题考查了函数的极值、恒成立问题及不等式的证明。(I)由极值的定义其极值点，极值点在内，从而确定m的范围。(II)分离参数t，利用导数求最值。(III)利用第(II)问的结论结合所要证明的不等式的特点进行适当的放缩求解。解:()由题意, 所以 当时,;当时,. 所以在上单调递增,在上单调递减. 故在处取得极大值 因为函数在区间(其中)上存在极值, 所以得. 即实数的取值范围是 ()由得 令 则 令 则 因为所以,故在上单调递增 所以,从而 在上单调递增, 所以实数的取值范围是 ()由() 知恒成立, 即 令则 所以, , , . 所以 所以 所以 点评：本题题目较为综合，即考查了函数的极值最值又考查到了不等式的证明及数列的相关知识。本题中不等式的证明利用到了第()的结论即恒成立。对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13），确定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关），再对自变量x赋值，令x分别等于1、2、.、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。2. x1 /x2型在证明有关导数的不等式时，若所证明的不等式含有两个未知数，可考虑构造x1 /x2这种类型解决，其作用是把两个未知数转化为一个未知数从而达到解决问题的目的。例2.已知函数图象上一点处的切线方程为.（）求的值；（）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（）令，若的图象与轴交于（其中），的中点为，求证：在处的导数分析：本题考查了导数的几何意义，函数的零点问题及导数证明不等式问题。（）直接利用导数的几何意义求解，第（）问可通过分析函数的单调性利用数形结合思想求解，第（）问的本质与0的大小比较。解：（）且解得（），令则令，得舍去).当时，是增函数；当时，是减函数；于是方程在内有两个不等实根的充要条件是：.即（）由题意假设结论成立，则有：-，得由得即，即令则在（0，1）增函数，式不成立，与假设矛盾.点评:本题中第（）出现了两个未知数,此时处理的方式是通过,把看作一个未知数,从而把两个自变量转化为一个未知量.3.两边求导型证明不等式时，如果构造出的函数不易求解时，可考虑利用两边的最值的大小进行比较，如证明只需证明，因此，可转化为利用导数求最值的问题。例3.已知函数其中为常数,设为自然对数的底数.(1)当时,求的最大值;(2)若在区间上的最大值为-3,求的值;(3)当时,证明分析：本题考查了函数的最值及不等式的证明问题。(1)根据单调性求解（2）对a进行分类讨论，分别求解。（3）分别对不等式的左右两边求解，只要左边的最小值大于右边的最大值即可。解:(1)当时, .当时,;当时,.在上是增函数,在上是减函数. (2) 若,则,从而在上是增函数,.不合题意.若,则由得;即,由,得:,即.从而在上是增函数,在上是减函数.,令,则,即.为所求. （3）由知当时,. 又令,令,得.当时,在上单调递增;当时, 在上单调递减. ,即,点评:本题中第(3)问证明不等式过程中,很容易考虑构造不等式求解,但本题构造不等式后不容易求解,故考虑两边分别求最值,利用从而求解.4.二次求导型在证明不等式经常出现构造函数，求其最值与0进行比较，此类不等式其本质是求函数的最值问题，再求其最值过程中，若一次求导后不能确定其增减性，可利用二次求导进行解决。例4