2020年高考数学选择题试题分类汇编——立体几何

20202020 年高考数学选择题试题分类汇编年高考数学选择题试题分类汇编立体几何立体几何 （20202020 浙江理数）浙江理数） （6）设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （A）若lm，m，则l （B）若l，lm/ /，则m （C）若l/ /，m，则lm/ / （D）若l/ /，m/ /，则lm/ / 解析：选 B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其 中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题 （20202020 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （11）与正方体 1111 ABCDABC D的三条棱AB、 1 CC、 11 AD所在 直线的距离相等的点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 【答案】D 【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则 分别作 ，垂足分别为 M，N，Q，连 PM，PN，PQ，由三垂线定 理可得，PNPM；PQAB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以 ，PM=PN=PQ，即 P 到三条棱 AB、CC1、A1D1.所在直线的距 离相等所以有无穷多点满足条件，故选 D. （20202020 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （9）已知正四棱锥SABCD中，2 3SA ，那么当该棱锥的体积 最大时，它的高为 （A）1 （B）3 （C）2 （D）3 【答案】C 【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题. 【解析】设底面边长为 a，则高所以体积 ， 设，则，当 y 取最值时，解得 a=0 或 a=4 时，体积最大，此时，故选 C. （20202020 陕西文数）陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积是B （A）2（B）1 （C） 2 3 （D） 1 3 解析：本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为1221 2 1 （20202020 辽宁文数）辽宁文数） （11）已知, , ,S A B C是球O表面上的点， SAABC 平面，ABBC，1SAAB，2BC ，则球O的表面积等于 （A）4 （B）3 （C）2 （D） 解析：选 A.由已知，球O的直径为22RSC，表面积为 2 44 .R （20202020 辽宁理数）辽宁理数）(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条， 使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是 (A)（0,62） (B)（1,2 2） (C) (62,62） (D) （0,2 2） 【答案】A 【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架， 有以下两种情况：（1）地面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为 2，a，a，如图，此时 a 可以取最大值，可知 AD=3，SD= 2 1a ，则有 2 1a 2+3，即 22 84 3( 62)a ，即有 a0; 综上分析可知 a（0,62） （20202020 全国卷全国卷 2 2 文数）文数） （11）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距 离相等的点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 【解析解析】D】D：本题考查了空间想象能力：本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上， 三个圆柱面有无数个交点，三个圆柱面有无数个交点， （20202020 全国卷全国卷 2 2 文数）文数） （8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形， SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 （A） 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 【解析解析】D】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E，连结，连结 SESE，过，过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交 SESE 于于 F F，连，连 BFBF，正三角形正三角形 ABCABC， E E 为为 BCBC 中点，中点， BCAEBCAE，SABCSABC， BCBC面面 SAESAE， BCAFBCAF，AFSEAFSE， AFAF 面面 SBCSBC，ABFABF 为直线为直线 ABAB 与面与面 SBCSBC 所成角，由正三角形边长所成角，由正三角形边长 3 3， 3AE ，AS=3AS=3， SE=SE=2 3，AF=AF= 3 2， ， 3 sin 4 ABF （20202020 江西理数）江西理数）10.过正方体 1111 ABCDABC D的顶点 A 作直线 L，使 L 与棱AB,AD, 1 AA所成的角都相等，这样的直线 L 可以作 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 【答案】D A B C S E F 【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一 类：通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外 角和另 2 条棱夹角相等，有 3 条，合计 4 条。 （20202020 安徽文数）安徽文数） （9）一个几何体的三视图如图，该几 何体的表面积是 （A）372 （B）360 （C）292 （D）280 9.B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等 于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。 2(10 8 10 28 2)2(6 88 2)360S . 【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体 的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积 加上面长方体的 4 个侧面积之和。 （2020 重庆文数） （9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （A）只有 1 个 （B）恰有 3 个 （C）恰有 4 个 （D）有无穷多个 解析：放在正方体中研究,显然，线段 1 OO、EF、FG、GH、 HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等， 所以排除 A、B、C，选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等 （20202020 浙江文数）浙江文数） （8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 （A） 352 3 cm3 （B） 320 3 cm3 （C） 224 3 cm3 （D） 160 3 cm3 解析：选 B，本题主要考察了对三视图所表达示的空 间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题 （20202020 山东文数）山东文数）(4)在空间，下列命题正确的是 A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 答案：D （20202020 北京文数）北京文数） （8）如图，正方体 1111 ABCD-A B C D的棱长 为 2， 动点 E、F 在棱 11 A B上。点 Q 是 CD 的中点，动点 P 在棱 AD 上，若 EF=1，DP=x， 1 AE=y(x,y 大于零)， 则三棱锥 P-EFQ 的体积： （A）与 x，y 都有关； （B）与 x，y 都无关； （C）与 x 有关，与 y 无关； （D）与 y 有关，与 x 无关； 答案：C （20202020 北京文数）北京文数）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该 集合体的俯视图为： 答案：C （20202020 北京理数）北京理数）(8)如图，正方体 ABCD- 1111 ABC D的棱长为 2，动点 E、F 在棱 11 AB上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF=1， 1 AE=x，DQ=y，D（，大于零） ，则四面 体 PE的体积 （）与，都有关 （）与有关，与，无关 B C D A N M O （）与有关，与，无关 （）与有关，与，无关 答案：D （20202020 北京理数）北京理数） （3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几 何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何 体的俯视图为 答案：C （20202020 四川理数）四川理数） （11）半径为R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B， BCDA是平面内边长为R的正三角形，线段AC、AD分别 与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 （A） 17 arccos 25 R （B） 18 arccos 25 R w_w_w.k*s 5*u.c o*m （C） 1 3 R （D） 4 15 R 解析：由已知，AB2R,BCR,故tanBAC 1 2 w_w_w.k*s 5*u.c o*m cosBAC 2 5 5 连结OM，则OAM为等腰三角形 AM2AOcosBAC 4 5 5 R，同理AN 4 5 5 R，且MNCD w_w_w.k*s 5*u.c o*m 而AC5R,CDR 故MN：CDAN:AC w_w_w.k*s 5*u.c o*m MN 4 5 R， 连结OM、ON，有OMONR 于是cosMON 222 17 225 OMONMN OM ON A 所以M、N两点间的球面距离是 17 arccos 25 R w_w_w.k*s 5*u.c o*m 答案：A （20202020 广东理数）广东理数）6.如图 1， ABC 为三角形， AA / BB / CC , CC 平面 ABC 且 3 AA = 3 2 BB = CC =AB,则多面体ABC -A B C 的正视图（也称主视图）是 6D （20202020 广东文数）广东文数） （20202020 福建文数）福建文数）3若一个底面是正三角形的三棱柱 的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ) A3 B2 C2 3 D6 A B C D A1 B1 C1 D1 O 【答案】D 【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为 3 242 3 4 ，侧面积为3 2 16 ，选 D 【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本 能力。 （20202020 全国卷全国卷 1 1 文数）文数） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则 四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3 (D) 8 3 3 12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为h,则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, 22 max 2 212 3h,故 max 4 3 3 V （20202020 全国卷全国卷 1 1 文数）文数） （9）正方体ABCD- 1111 ABC D中， 1 BB与平面 1 ACD所成角的余弦值 为 （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 6 3 9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的 具体体现. 【解析 1】因为 BB1/DD1,所以B 1 B与平面 AC 1 D所成角和DD1与平 面 AC 1 D所成角相等,设 DO平面AC 1 D，由等体积法得 11 D ACDDACD VV ,即 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD .设 DD1=a, 则 1 22 1 1133 sin60( 2 ) 2222 ACD SAC ADaa A, 2 11 22 ACD SAD CDa A. 所以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A ,记 DD1与平面 AC 1 D所成角为,则 1 3 sin 3 DO DD ,所以 6 cos 3 . 【解析 2】设上下底面的中心分别为 1, OO； 1 O O与平面AC 1 D所成角就是B 1 B与平面AC 1 D所成角， 1 11 1 36 cos1/ 32 OO OOD OD （20202020 全国卷全国卷 1 1 文数）文数）(6)直三棱柱 111 ABCA BC中，若90BAC， 1 ABACAA，则异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于 (A)30 (B)45(C)60 (D)90 6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 111 ABCA BC的性质、异面直线所成的角、异面 直线所成的角的求法. 【解析】延长 CA 到 D，使得ADAC，则 11 ADAC为平行四边形， 1 DAB就是异面直线 1 BA与 1 AC所成的角，又三角形 1 ADB为等边三角形， 0 1 60DAB （20202020 全国卷全国卷 1 1 理数）理数） （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则 四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3 (D) 8 3 3 （20202020 全国卷全国卷 1 1 理数）理数） （7）正方体 ABCD- 1111 ABC D中，B 1 B与平面AC 1 D所成角的余弦值为 （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 6 3 （20202020 四川文数）四川文数）（12）半径为R的球O的直径AB垂直于平面a，垂足为B， BCD是平面a内边长为R的正三角形，线段AC、 AD分别与球面交于点M、N，那么M、N两点间 的球面距离是高考#资*源网 （A） 17 arccos 25 R （B） 18 arccos 25 R （C） 1 3 R （D） 4 15 R 解析：由已知，AB2R,BCR,故tanBAC 1 2 cosBAC 2 5 5 w_w w. k#s5_u.c o*m 连结OM，则OAM为等腰三角形 AM2AOcosBAC 4 5 5 R，同理AN 4 5 5 R，且MNCD 而AC5R,CDR 故MN：CDAN:AC MN 4 5 R， 连结OM、ON，有OMONR 于是cosMON 222 17 225 OMONMN OM ON A 所以M、N两点间的球面距离是 17 arccos 25 R 答案：A （20202020 湖北文数）湖北文数）4.用a、b、c表示三条不同的直线，y表示