2020高考数学冲刺 圆锥曲线

圆锥曲线方程知识点总结精华考试内容：数学探索版权所有椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质椭圆的参数方程数学探索版权所有双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质数学探索版权所有抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质数学探索版权所有考试要求：数学探索版权所有（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程数学探索版权所有（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质数学探索版权所有（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质数学探索版权所有（4）了解圆锥曲线的初步应用圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：. ii. 中心在原点，焦点在轴上：. 一般方程：.椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于）.顶点：或.轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长.焦点：或.焦距：.准线：或.离心率：.焦点半径：i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：双曲线标准方程：. 一般方程：.i. 焦点在x轴上： 顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. 离心率. 准线距（两准线的距离）；通径. 参数关系. 焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： 构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） 等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得.直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为mn. 简证： = .常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.3. 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 （0，0）离心率焦点注：顶点.则焦点半径;则焦点半径为.通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.（或）的参数方程为（或）（为参数）.四、圆锥曲线的统一定义.4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为圆（，当时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形方程标准方程(0)(a0,b0)y2=2px参数方程(t为参数)范围axa，byb|x| a，yRx0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)焦距2c （c=）2c （c=）离心率e=1准线x=x=渐近线y=x焦半径通径2p焦参数P1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.2. 等轴双曲线3. 共轭双曲线5. 方程y2=ax与x2=ay的焦点坐标及准线方程.6.共渐近线的双曲线系方程.试题精粹江苏省2020年高考数学联考试题5（江苏省2020届苏北四市第一次联考）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 或9（江苏省2020届苏北四市第一次联考）已知圆： 与轴交于点和，在线段上取一点，作与圆的一个交点为，若线段、可作为一个锐角三角形的三边长，则的取值范围为 12（姜堰二中学情调查（三）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是，则的最大值为 68（江苏省南通市2020届高三第一次调研测试）双曲线上一点M到它的右焦点的距离是3，则点M的横坐标是 3、（南通市六所省重点高中联考试卷）方程 的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是 9、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知椭圆的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为 12、（宿迁市高三12月联考）椭圆的左焦点为F，其左准线与轴的交点为，若在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 ；，1）1 （无锡市1月期末调研）设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 或10（徐州市12月高三调研）已知分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线与椭圆的右准线交于点，若直线轴，则该椭圆的离心率= . 12（盐城市第一次调研）在中,则以为焦点且过点的椭圆的离心率为 . 10. （苏北四市2020届高三第二次调研）双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是 18（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2020届高三调研考试）（本小题满分16分）M如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，圆是以为直径的圆当圆的面积为，求所在的直线方程；当圆与直线相切时，求圆的方程；求证：圆总与某个定圆相切 解 易得，设，则， 2又圆的面积为，解得， 或，所在的直线方程为或；4直线的方程为，且到直线的距离为， 化简得，6联立方程组，解得或 8当时，可得， 圆的方程为；9当时，可得， 圆的方程为；10圆始终与以原点为圆心，半径（长半轴）的圆（记作圆O）相切证明：， 14又圆的半径，圆总与圆O内切 1624（江苏天一中学、海门中学、盐城中学2020届高三调研考试） 已知抛物线L的方程为，直线截抛物线L所得弦求p的值；抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由答案：解：由解得， 4由得假设抛物线L上存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线令圆的圆心为，则由得得 6抛物线L在点C处的切线斜率又该切线与垂直， 8，故存在点C且坐标为（-2,1） 1017（江苏省2020届苏北四市第一次联考）(本小题满分14分)已知椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，直线与椭圆相交于M，N两点，经过三点A，M，N的圆与经过三点B，M，N的圆分别记为圆C1与圆C2xNMOyABl:x=t(1)求证：无论t如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；(2)当t变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值17、解：（1）易得的坐标,的坐标，的坐标，的坐标，线段的中点，直线的斜率 3分又, 直线的斜率直线的方程，的坐标为 同理的坐标为 7分 ,即无论t如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值. 9分 （2）圆的半径为，圆的半径为，则 （）显然时，最小，. 14分18. （常州市2020届高三数学调研）（15） 已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点M，圆与x轴交于两点（如图）（1）过M点的直线交圆于两点，且圆孤恰为圆周的，求直线的方程；（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；ABOMPQyxll1（3）过M点的圆的切线交（II）中的一个椭圆于两点，其中两点在x轴上方，求线段CD的长 18、解：（1I）为圆周的 点到直线的距离为设的方程为的方程为（2）设椭圆方程为，半焦距为c，则椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则或当时，所求椭圆方程为；当时， 所求椭圆方程为（3）设切点为N，则由题意得，椭圆方程为在中，则，的方程为，代入椭圆中，整理得设，则18（姜堰二中学情调查（三）（本小题共16分）已知椭圆和圆：，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为 （1）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率； 若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心 率的取值范围；（2）设直线与轴、轴分别交于点，求证： 为定值18解：（）（） 圆过椭圆的焦点，圆：， ， ， ， 5分 （）由及圆的性质，可得， 10分 （）设，则整理得 方程为：，方程为：，,直线方程为 ，即 令，得，令，得，为定值，定值是16分19（姜堰二中学情调查（三）（本小题共16分）已知M（p, q）为直线x+y-m=0与曲线y=-的交点，且pq，若f（x）=，、为正实数。求证：|f（）-f（）|0），因为AM=MN，所以M（4，）由M在椭圆上，得t=6故所求的点M的坐标为M（4，3）4分所以，7分（用余弦定理也可求得）（2）设圆的方程为，将A，F，N三点坐标代入，得 圆方程为，令，得11分设，则由线段PQ的中点坐标为（0，9），得，此时所求圆的方程为15分 （本题用韦达定理也可解）（2）（法二）由圆过点A、F得圆心横坐标为1，由圆与y轴交点的纵坐标为（0，9），得圆心的纵坐标为9，故圆心坐标为（1，9） 11分易求得圆的半径为，13分所以，所求圆的方程为 15分18. （苏北四市2020届高三第一次调研考试）（本小题满分16分）已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.（1）求圆C的方程；（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.讲评建议：对于第二问题当初是仿照2020年江苏高考题命制，用，考查两解情况，后改为，但综合全题还是有一线教师认为运算量较大，后改为现在情况，改成中点后，命题思想完全发生了变化，改成中点，学生用中点坐标公式，是代数方法，而原来思维是方程思想，这一点引起各位注意，对于第三问，也是教材的习题，逆向思维，同时是对两个参量求最值，学生一般接触较少，当然此题也可转化成一个参数，即对平方法，两次用圆方程消元，达到目的，建议教师讲解。同时注意到，此圆是以椭圆的左准线的与x轴的交点为圆心，两个定点恰是椭圆的左右焦点，三问题之间非常和谐，融为一体。18（1）由椭圆E：，得：，又圆C过原点，所以圆C的方程为4分（2）由题意，得，代入，得，所以的斜率为，的方程为， 8分（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为故直线被圆C截得弦长为710分（3）设，则由，得，整理得，12分又在圆C：上，所以，代入得， 14分又由为圆C 上任意一点可知，解得所以在平面上存在一点P，其坐标为 16分18、（宿迁市高三12月联考）（本题满分16分）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点 在椭圆的准线上。（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。18、解：（1）由，得 1分又由点M在准线上，得 2分故， 从而 4分所以椭圆方程为 5分（2）以OM为直径的圆的方程为即 其圆心为,半径 7分因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2所以圆心到直线的距离 9分所以，解得所求圆的方程为 10分（3）方法一：由平几知：直线OM：，直线FN： 12分由得所以线段ON的长为定值。 16分方法二、设，则又所以，为定值。18（无锡市1月期末调研）(本小题满分16分) 已知椭圆 的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点（1） 当直线AM的斜率为时，求点M的坐标；（2） 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由18（1）直线AM的斜率为时，直线AM：， 1分代入椭圆方程并化简得：， 2分解之得， 4分（2）设直线AM的斜率为，则AM：，则化简得：6分此方程有一根为， 7分同理可得8分由（1）知若存在定点，则此点必为9分，11分同理可计算得13分直线MN过轴上的一定点 16分19（徐州市12月高三调研）(本小题满分16分)P第19题xyAF1F2MO已知椭圆：的左、右焦点分别为，下顶点为，点是椭圆上任一点，是以为直径的圆.（）当的面积为时，求所在直线的方程；（）当与直线相切时，求的方程；（）求证：总与某个定圆相切.19解：（）易得，设点P，则，所以3分又的面积为，解得，所在直线方程为或5分（）因为直线的方程为，且到直线的距离为7分化简，得，联立方程组，解得或10分当时，可得，的方程为；当时，可得，的方程为12分（）始终和以原点为圆心，半径为（长半轴）的圆（记作）相切13分证明：因为，又的半径，和相内切16分17（盐城市第一次调研）(本小题满分16分)已知抛物线的准线为,焦点为.M的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切过原点作倾斜角为的直线,交于点, 交M于另一点,且.OlxyABFM第17题（）求M和抛物线的方程；（）若为抛物线上的动点,求的最小值；（）过上的动点向M作切线,切点为,求证：直线恒过一个定点,并求该定点的坐标.17解：（）因为,即,所以抛物线C的方程为 2分设M的半径为,则,所以的方程为 5分 （）设,则=8分所以当时, 有最小值为2 10分 （）以点Q这圆心,QS为半径作Q,则线段ST即为Q与M的公共弦 11分设点,则,所以Q的方程为13分从而直线QS的方程为(*)14分 因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为16分18. （苏北四市2020届高三第二次调研）（本小题满分16分）OMNF2F1yx（第18题）如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值；（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论18.（1），且过点， 解得 椭圆方程为.4分设点 则， 又， 的最小值为10分圆心的坐标为，半径.圆的方程为， 整理得：. 16分， 令，得，. 圆过定点.16分21. （苏北四市2020届高三第二次调研）（本小题满分10分）已知动圆过点且与直线相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.OFxyP第22题21.（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为4分证明：设， ， ， 的斜率分别OFxyP第22题为，故的方程为，的方程为 7分即，两式相减，得，又， 的横坐标相等，于是10分18. （苏州市2020届高三调研测试）（本小题满分16分）如图，椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作直线的垂线分别交椭圆、轴于两点.若,求实数的值；设点为的外接圆上的任意一点，当的面积最大时，求点的坐标.18.【解析】（1）由条件得因为所以令得所以点的坐标为.由得解得（舍）所以点的坐标为.因为，所以且（2）因为是直角三角形，所以的外接圆的圆心为，半径为所以圆的方程为.因为为定值，所以当的面积最大时点到直线的距离最大.过作直线的垂线，则点为直线与圆的交点 .直线与联立得（舍）或所以点的坐标为.试题精粹江苏省2020年高考数学联考试题一、填空题:12（江苏省南通市2020年高三二模）A、B是双曲线C的两个顶点，直线l与实轴垂直，与双曲线C 交于P、Q两点，若，则双曲线C的离心率e 解析：设双曲线方程为，双曲线上点P(x,y)，则,(x,y).由得从而,又因点P在双曲线上,满足,另从题中知点P为任意可由两式比较得,则双曲线C的离心率e.法二:由知为垂心,即PQ运动中始终要B点垂心;从而可假设三角形PAQ为等边三角形来处理.7（江苏省无锡市2020年普通高中高三质量调研）已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点（2，）与（，0），则双曲线的焦点坐标为 。解析：由题意知设双曲线的方程为且,又过点（2，）得,则双曲线的焦点坐标为.13（江苏省无锡市部分学校2020年4月联考试卷）已知是椭圆的半焦距，则的取值范围是 。解：2(江苏通州市2020年3月高三素质检测)如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 5（江苏省泰州市2020届高三联考试题）已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，则双曲线的焦点坐标是_解析：由双曲线的实轴长为2，离心率为2，知，则，故双曲线的焦点坐标是。4 （2020年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线：垂直，则实数 29（江苏省盐城市2020年高三第二次调研考试）中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 . w ww.ks 5u.c om8、（江苏省连云港市2020届高三二模试题）已知双曲线（为锐角）的右焦为F，P是右支上任意一点，以P为圆心，PF长为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|，则的值为 . （2，1）4Oyxy10、（江苏省连云港市2020届高三二模试题）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 9（江苏省苏南六校2020年高三年级联合调研考试）直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，若原点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_13. （2020年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此椭圆的离心率是 . xyOFBQP第13题11、（江苏省南京市2020年3月高三第二次模拟）.以椭圆 （ab0）的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准线交与A，B两点，已知OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 。3（江苏省洪泽中学2020年4月高三年级第三次月考试卷）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为 。812（江苏省洪泽中学2020年4月高三年级第三次月考试卷已知椭圆，是左右焦点，是右准线，若椭圆上存在点，使是到直线的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是_ 二、解答题18（江苏省南通市2020年高三二模）（本小题满分15分）平面直角坐标系xOy中，已知M经过点F1（0，c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c0（1）求M的标准方程（用含的式子表示）；（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧求椭圆离心率的取值范围；若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF1与直线DF2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由 17（2020年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）（本小题满分14分）M A P FOx y （第17题图） 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：（）的左焦点为，右顶点为A，动点M 为右准线上一点（异于右准线与轴的交点），设线段交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为（1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线PA的斜率为，直线MA的斜率为，求的取值范围17解：（1）由已知，得 2分18（江苏省无锡市2020年普通高中高三质量调研）（本题满分16分）设椭圆的左，右两个焦点分别为，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且为正方形。 （1）求椭圆的离心率； （2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在轴上的一个截距为，求此椭圆方程。2（江苏省无锡市2020年普通高中高三质量调研）（本题满分8分）已知动抛物线的准线为轴，且经过点（0，2），求抛物线的顶点轨迹方程。（本题满分8分）设抛物线的顶点坐标为， 3分由题意得， 6分即顶点的轨迹方程为 8分18（江苏省无锡市部分学校2020年4月联考试卷）（15分）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点。（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，且分别为椭圆的上顶点和右顶点，点是线段上的动点，求的取值范围。（3）试问在圆上，是否存在一点，使的面积（其中为椭圆的半长轴长，为椭圆的半短轴长，为椭圆的两个焦点），若存在，求的值，若不存在，请说明理由。18、（江苏省连云港市2020届高三二模试题）（16分）如图，已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为。圆D：。（1）若圆D过两点，求椭圆C的方程；（2）若直线上不存在点Q，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。（3）在（）的条件下，若直线与轴的交点为，将直线绕顺时针旋转得直线，动点P在直线上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值。18、解：（1）圆与轴交点坐标为，故， 2分所以，椭圆方程是： 5分 18. （2020年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。，可解得因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.16分 18（江苏省泰州市2020届高三联考试题）（本小题满分16分）已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为；（1）求椭圆的离心率；（2）己知a=7，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由AF2F1yBxO解：（1）由，得直线的倾斜角为，则点到直线的距离，故直线被圆截得的弦长为，直线被圆截得的弦长为，（3分）据题意有：，即，（5分）化简得：，解得：或，又椭圆的离心率；故椭圆的离心率为（7分）17（江苏省洪泽中学2020年4月高三年级第三次月考试卷如图，已知椭圆的左顶点、右焦点分别为、，右准线为，为上一点，且在轴上方，与椭圆交于点。若，求证：；设过三点的圆与轴交于两点，求的最小值。第14讲 解析几何问题的题型与方法一、知识整合1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4掌握圆的标准方程：（r0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a、b、c、p、e之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二、近几年高考试题知识点分析2020年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占181；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及1选择、填空题11 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主（1）对直线、圆的基本概念及性质的考查例1 以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_（2）对圆锥曲线的定义、性质的考查例2已知点、，动点P满足. 当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是（A）（B）（C）（D）212 部分小题体现一定的能力要求能力，注意到对学生解题方法的考查例3若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（A） （B）（C） （D）2解答题解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相对比较简单例4已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). （）求椭圆的方程； （）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线与y轴交于点M. 若，求直线l的斜率本题第一问求椭圆的方程，是比较容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进行分类讨论，则有一定的难度，得分率不高解：（I）设所求椭圆方程是由已知，得 所以.故所求的椭圆方程是（II）设Q（），直线当由定比分点坐标公式，得.于是 故直线l的斜率是0，.例5设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组 有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 双曲线的离心率（II）设由于x1，x2都是方程的根，且1a20，例6给定抛物线C：F是C的焦点，过点F的直线与C相交于A、B两点.（）设的斜率为1，求夹角的大小；（）设，求在轴上截距的变化范围.解：（）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为将代入方程，并整理得 设则有 所以夹角的大小为（）由题设 得 即由得， 联立、解得，依题意有又F（1，0），得直线l方程为 当时，l在方程y轴上的截距为由 可知在4，9上是递减的， 直线l在y轴上截距的变化范围为从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考查的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以江苏为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程（椭圆），04年考的是椭圆三、热点分析1重视与向量的综合例7平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（1，3），若点C满足，其中a、bR，且ab=1，则点C的轨迹方程为（A）（x1）2（y2）2=5（B）3x2y11=0（C）2xy=0（D）x2y5=0例8已知点、，动点，则点P的轨迹是（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线 2考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高3与数列相综合例9如图，OBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P2为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), （）求及;（）证明（）若记证明是等比数列.解：()因为，所以，又由题意可知，= 为常数列.()将等式两边除以2，得又，（） 又是公比为的等比数列.4与导数相综合近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如03年的天津文科试题、04年的湖南文理科试题，都分别与向量综合例10如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。（I）设点P分有向线段所成的比为，证明: （II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.解：（）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而. 所以 （）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（4，4）.由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为设圆C的方程是则解之得 所以圆C的方程是 即 5重视应用例11某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向