2020年高考数学复习：分类与整合

分类与整合1.分类与整合思想概念： 分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度2.分类的原则是： (1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论3.分类讨论的类型：1由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等2由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等3由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等4由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等5由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法6由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用4.引起分类的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列an的前n项和公式等(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等题型一：由数学概念、运算引起的分类讨论：esp1: 函数f(x)若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为()A1 B1，C D1，审题破题由于f(x)为分段函数，故求f(a)时要分1a0，a0两种情形讨论解析f(1)e01，即f(1)1.当a0时，f(a)1ea1，a1.当1a0时，f(a)sin(a2)1，a22k(kZ)a22k(kZ)，k只取0，此时a2.1/21a|PF2|知，只需分PF2F1和F1PF2分别为直角两种情况即可解若PF2F190，则|PF1|2|PF2|2|F2F1|2，又|PF1|PF2|6 |F1F2|25解得|PF1|14/3，|PF2|4/3，|PF1/PF2|7/2若F1PF290，则|F1F2|2|PF12PF22，PF12(6PF1)220，又|PF1|PF2|，PF14，PF22，|PF1/PF2|2.综上知，|PF1/PF2|7/2或2.小结：(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论题型三由参数引起的分类讨论：esp4: 是否存在非零实数a，使函数f(x)ax2(a2)x1在2,3上的最大值为？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由解若f(2)，则a，此时，抛物线的开口向下，对称轴方程为x2,3，显然f(2)不可能是最大值，因此a17/8.若f(a22a)3/4，即a(a22a)2(a2)(a22a)13/4，则a25a40，解得a1或a4.当a1时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x2,3，此时f是最小值而不是最大值，因此a1；当a4时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x2,3，此时f是最小值而不是最大值，因此a4.若f(3)3/4，则a23/48，抛物线的开口向上，且对称轴为直线x2,3，此时，在2,3内f(2)是最大值，因此a23/48.综上可知满足条件的a不存在小结：一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏esp5: 设函数f(x) . 若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是() A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)解析若a0，则log2a a，即2log2a0，所以a1；若alog2(a)，即2(a)0，所以0a1，1a1或1a0，即a(1,0)(1，)答案Cesp6: 函数f(x)的图象如图所示，f(x)为奇函数，其定义域为(，0)(0，)，则不等式xf(x)f(x)0的解集为A(3,0)(0,3)B(，3)(0,3)C(，3)(3，)D(3,0)(3，)解析由xf(x)f(x)0得，2xf(x)0.当x0，由图象知3x0时，则f(x)0，由图象知0x3.答案Aesp7: 已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a61，则m所有可能的取值为解析根据题意可知，当an为奇数时，an1为偶数，由a61为奇数可以判定a