【精品解析】东北三省四市2020届高三数学第三次调研测试试题解析 理 （教师版）

精品解析：东北三省四市2020届高三第三次调研测试数学（理）试题解析（教师版）体现新课标特点，对新增内容灵活设计，如4、7、9、14等题；试卷从考生熟悉的基础知识入手，全面考查中学数学的相关知识，同时突出了对函数、三角、不等式、数列、统计与概率、立体几何、解析几何等主干知识的考查；试卷中每种题型的起点题都属于基础题，基础题占了较大的比例，如1、2、4、5、8、13、15、17、18、19、22、23、24等题；解答题入口较宽，注重通性通法的考查，如18、19、20、21、24等题；杜绝了偏题、怪题，给中学数学教学以“立足基础，关注能力，突出主干知识”的复习导向。本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第卷22题24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.若集合，则集合 A.B.C. D.答案：D 解析：本题主要考查了函数值域，考查了交集的运算，是一道基础题集合，则，即.故选D.2. 若，则 A. B. C. D.答案：C解析：本题考查复数的乘法运算法则和多项式的乘法法则相同；复数的除法只需将分子、分母同时乘以分母的共轭复数即可，属于基础题由于. 故选C.3.直线：与圆M：相切，则的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或 答案：B解析：本题考察了直线与圆的位置关系，圆的标准方程及点到直线的距离公式，解题时注意几何条件在解题中的重要作用。由题意可知，圆：的圆心到直线：的距离为圆的半径，由点到直线的距离公式可知或. 故选B.解析：本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知，故选A.5.各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则 A.B.C.D.答案：D解析：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质考查了学生综合分析的能力和对基础知识的理解学生在求出q值后应根据等比数列的各项都为正数，舍去不合题意的公比q的值由题意，即，可得，或，又已知，即，.故选D.6.函数的零点个数为A.2 B.3 C.4 D.5答案：B解析：本题考查函数的零点的定义及其个数的判断，解题的关键是理解函数的零点定义，依据定义将求零点个数的问题转化为两个函数交点个数的问题。在同一坐标系内画出函数和的图像，可得交点个数为3. 故选B7.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是A.4C.5答案：C的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列可知，函数的周期为，可知，即函数，可将化为，可知只需将向左平移个单位即可获得. 故选A.9.给出下列说法：命题“若，则”的否命题是假命题；命题p：,使，则：；“”是“函数为偶函数”的充要条件；命题：“，使”， 命题：“在ABC中，若,则”.那么命题（）为真命题.其中正确的个数是A. 4B. 3C. 2D. 1答案：B，即，使”为假命题，而命题中，若，则”为真命题，可知命题（）为真命题，因此正确.一共有3个正确. 故选B.10.双曲线的右是焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为A.B. C. 2D. 答案：C解析：本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质考查了学生综合分析问题和基本的运算能力解答关键是利用性质列出方程组双曲线的右焦点是抛物线的焦点可知，又可知到抛物线的准线的距离为5，可设，根据两点间距离公式可得到，将双曲线方程化为，代入点的坐标并求解关于的一元二次方程，可求得或. 又，可将舍去，可知，即，（或根据双曲线定义得2a=|PF2|PF1|=2），综上可知双曲线的离心率为. 故选C.11.四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于A.B.C.D.答案：B解析：本题考查分步计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，看清思路，把几个步骤中数字相乘得到结果首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法为，而后再将获得同一道题目的2位老师选出，选法为，最后将3道题目，分配给3组老师，分配方式为，即满足题意的情况共有种. 故选B.第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.二项式的展开式中的系数是_.答案：3解析：利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有和，求和后可得 ，即的系数为3.14. 长度为的体对角线在正视图中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为_.答案：解析：本题考查有三视图求几何体的表面积，解题时要注意看清各个位置的长度，不要在数字运算上出错由体对角线长，正视图的对角线长，侧视图的对角线长，可得长方体的长宽高分别为，2，1，因此其全面积为.15.等比数列的首项为，公比为，其前项和为，则数列为递增数列的充分必要条件是_.答案：且.解析：此题考查了等比数列的性质，通项公式，以及充要条件的证明，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键由得，当时，；当时，即，.综合可得数列单调递增的充要条件是:且.16。如果直线和函数的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是_.答案： 解析：本题主要考查指数函数的定点问题和基本不等式的运用考查基础知识的综合运用根据指数函数的性质，可知函数恒过定点，将点代入，可以得. 对作如下变形：.由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以. 由，解得或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是，从而的取值范围是，进一步可以推得的取值范围是.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17、（本小题满分12分）在中，向量，向量，且满足.求角的大小；求的取值范围.答案：（）（）. (9分)因为，所以，即，即所以，即的取值范围是. (12分)18.（本小题满分12分） 2020年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）；从本周内该银行所借贷客户中任意选取两位，求他们贷款年限相同的概率；假设该银行此星期的贷款业绩一共持续10个星期不变，在这段时间里，每星期都从借贷客户中选出一人，记表示其中贷款年限不超过20年得人数，求.答案：（）22（）解析：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用以及几何体体积的求法.由四边形是正方形，所以.又平面，所以，而，所以平面，.又，所以平面，从而. (4分)以为坐标原点，,为坐标轴建立空间直角坐标系，则易得，设平面的法向量为，则由，求得；设平面的法向量为， 则由，求得，则根据,于是可得. (9分)(3) 设所给四棱柱的体积为V,则，又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，记为，而三棱锥的体积又等于三棱锥的体积，记为.则由于，所以所求四面体的体积为20.（本小题满分12分）已知分别为椭圆的左右焦点， 分别为其左右顶 点，过的直线与椭圆相交于两点. 当直线与轴垂直时，四边形的面积等于2，且满足.求此椭圆的方程；当直线绕，.从而有. (6分)因为直线过椭圆的焦点，所以可以设直线的方程为，则由消去并整理，得，所以，. (8分)进而，可得. (10分)令，则. 从而有，而，所以可以求得的取值范围是.(12分)21.（本小题满分12分）已知函数.讨论函数的单调性；对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.答案：（）函数在上单调递减，在上单调递增.（）() 最小正常数存在解析：本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.令,得.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增. (3分)由于，所以.构造函数，则令，得.当时，；当时，.所以函数在点处取得最小值，即.因此所求的的取值范围是. (7分)结论：这样的最小正常数存在. 解释如下：.构造函数，则问题就是要求恒成立. (9分)对于求导得 .令，则，显然是减函数.又，所以函数在上是增函数，在上是减函数，而， ，. 所以函数在区间和上各有一个零点，令为和，并且有: 在区间和上，即；在区间上，即. 从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增. ，当时，；当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值.题目要找的，理由是： 当时，对于任意非零正数，而在上单调递减，所以一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明； 当时，取，显然且，题目所要求的不等式不恒成立，说明不能比小. 综合可知，题目所要寻求的最小正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立(12分)( 注意：对于和的存在性也可以如下处理：令，即. 作出基本函数和 的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程有两个正实数根和，且，（实际上），可知函数在区间和上关知识内容.因为为圆的切线，所以.又为中点，所以.因为，所以与相似.（5分）由中与相似，可得.在中，由，得. (10分)23.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）.若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；当时，求曲线上的点与曲