北京市师大附中2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）

2020学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若，下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论.详解：，故A错误；，故B错误；，故C正确；，即，故D错误.故选：C.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，属于基础题.2. 在内角，的对边分别是，已知，则的大小为（ ）A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D【解析】分析：利用正弦定理即可得出.详解：由正弦定理可得：，解得，为锐角，.故选：D.点睛：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.3. 在中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：直接利用余弦定理即可计算.详解： ，.故选：B.点睛：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.4. 等比数列中，的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.详解： ，解得，又，则等比数列的前项和.故选：B.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解5. 不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：不等式等价于解得，所以选A.考点：分式不等式的解法.视频6. 等比数列的前项和为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知， ， ，解得： ， ，求得 ，故选C.7. 已知变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：根据题意，约束条件表示的可行域为以三点为顶点的三角形区域，通过观察可知目标函数在点处取得最大值，代入可求得为，故选B考点：线性规划8. 的内角、的对边分别为、，若、成等比数列，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由、成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将代入，即可用表示出，然后利用余弦定理表示出，将表示出的和代入，整理后即可得到的值.详解：根据题意，、成等比数列，则，又，则，则.故选：B.点睛：本题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，解题的关键是求出、的关系，进而运用余弦定理求解.9. 数列是首项为，公差为的等差数列，那么使前项和最大的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由等差数列是首项为，公差为写出通项公式，由通项大于等于0求出等差数列前6项大于0，从第7项起小于0，则答案可求.详解：在等差数列是首项为，公差为得：，由，得，等差数列中，当时，前项和最大.故选：C.点睛：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题.10. 某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论.详解：设该设备第n年的营运费为万元，则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，则该设备使用n年的营运费用总和为，设第n年的盈利总额为，则，年平均盈利额，当时，年平均盈利额取得最大值4.故选：D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11. 数列的前项和为，若，则_【答案】【解析】试题分析：，所以考点：数列求和12. 已知中，则等于_【答案】【解析】分析：画出图形，利用已知条件直接求出AC的距离借口.详解：由题意，可知，三角形ABC是直角三角形，.故答案为：2.点睛：本题考查三角形形状的判断，勾股定理的应用，考查计算能力，属于基础题.13. 若，则的最小值是_【答案】【解析】试题分析：因为，所以， ，当且仅当时取等号，故答案为考点：基本不等式14. 等比数列的各项均为正数，且，则_【答案】【解析】分析：利用等比中项，对数性质可知 ，进而计算可得答案.详解： 为等比数列，又 .， .故答案为：10.点睛：本题考查等比数列的等比中项及对数的运算法则，注意解题方法的积累，属于中档题.15. 在中，若，则的形状为_【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】分析：左边利用正弦定理，右边切变弦，对原式进行化简整理进而可得A和B的关系，从而得到答案.详解：原式可化为，或解得或.故的形状为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.点睛：(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理16. 已知数列的前项的和为，满足，则_【答案】【解析】分析：由，得，即，则，说明数列是以2为公差的等差数列，求其通项公式，然后利用累加法求出的通项公式得答案.详解：由，得，即，则，数列是以为首项，以2为公差的等差数列，则，；，累加得：，则，.故答案为：.点睛：本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，把已知数列递推式变形是关键，是中档题.三、解答题：本大题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 解关于的不等式【答案】当时，为或；当时，为 或【解析】分析：对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出.详解：不等式对应方程的实数根为和；当，即时，不等式化为，不等式的解集为；当，即时，解得或，不等式的解集为或；当，即时，解得或，不等式的解集为 或综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为 或点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集18. 在中，点在上，且，（I）求； （）求，的长【答案】（I）；（），.【解析】分析：（1）由和诱导公式求出，由平方关系求出，由内角和定理、两角和的正弦公式求出；（2）在中由正弦定理求出BD、AD，在中由余弦定理求出AC的值.详解：（I），且，由得， ；（）在中，由正弦定理得，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，点睛：应熟练掌握和运用内角和定理：，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数19. 在等差数列中，其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比为，且，（I）求与；（II）设数列满足，求的前项和【答案】（I），；（）.【解析】分析：（1）根据，列方程组计算和，从而得出的公差，从而得出，的通项公式；（2）使用错位相减法求出.详解：（I）为等比数列，公比为，解得，的公差为，（II），得： 点睛：(1)错位相减法是求解由等差数列bn和等比数列cn对应项之积组成的数列an，即anbncn的前n项和的方法这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）20. 已知数列满足，且，则_【答案】【解析】分析：由已知条件得，从而得到是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出.详解：数列满足，且， ，又，是首项为2，公比为2的等比数列，故答案为：.点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用.21. 在中，则的面积等于_【答案】或【解析】分析：利用余弦定理列出关系式，将，与的值代入求出b的值，再由于b，c及的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.详解：在中，由余弦定理得：，即，解得：或，则或.故答案为：或.点睛：三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化22. 甲船在岛的正南处，甲船以每小时的速度速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_小时【答案】【解析】分析：设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案.详解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C、D，如图所示，可知，当小时时甲乙两船相距最近.故答案为：.点睛：求距离问题的注意事项(1)首先选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化成三角形问题(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形23. 正数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】试题分析：，当且仅当时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误24. 已知数列满足，给出下列命题：当时，数列为递减数列；当时，数列不一定有最大项；当时，数列为递减数列；当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.请写出正确的命题的序号_【答案】【解析】分析：由于，再根据k的条件讨论即可得出.详解：当时，当时，因此数列不是递减数列，故不正确；当时，由于因此数列一定有最大项，故不正确；当时，因此数列为递减数列，正确；当为正整数时，因此数列必有两项相等的最大项，故正确.综上可知：只有正确.故答案为：.点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.五、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤25. 已知函数（I）当时，求函数的最小值；（）若对任意，恒成立，求实数的取值范围【答案】（I）；（）.【解析】分析：（1）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，解关于a的不等式即可.详解：（I），当且仅当时“”成立，（），时，在递增，解得：，时，令，解得：，令，解得：，在递减，在递增，成立，综上点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.26. 在中，、分别为内角、的对边，且满足 （I）求角的大小；（）若，求【答案】（I）；（）.【解析】分析：（1）由条件可得，再由正弦定理得，由余弦定理求得，从而求得角的大小；（2）由 ，求得，再由正弦定理即可求得答案.详解：（I），由正弦定理得，由余弦定理得，（） ，由正