天津市滨海新区2020届高三数学毕业班质量监测试题 文（含解析）

天津市滨海新区2020届高三数学毕业班质量监测试题 文（含解析）参考公式：圆柱体的体积公式.锥体的体积公式.其中表示柱（锥）体的底面积，表示柱（锥）体的高.球的表面积、体积公式：，其中为球的半径.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据交集的概念，求得两个集合的交集.【详解】依题意，故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念和运算，属于基础题.2.若满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A. B. 1C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出可行域，向上平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值为.故选C.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.3.设，则“”是“” 的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式求得取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项.【详解】由，得，解得，是的子集，故“”是“”的充分而不必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运行程序进行计算，退出循环后计算出输出的的值.【详解】输入，判断是，判断是，判断是，依次类推，判断否，输出.故选B.【点睛】本小题主要考查程序框图计算输出结果，考查裂项求和法，属于基础题.5.已知函数，且，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数为偶函数化简，比较自变量的大小，然后根据函数的单调性判断出的大小关系.【详解】由于函数为偶函数，故.而，而当时，函数为增函数，故.所以本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查指数式和对数式比较大小，属于中档题.6.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令，代入双曲线方程可得，由三角形的面积公式，可得的关系，由离心率公式计算可得所求值【详解】右焦点设，其坐标为令，代入双曲线方程可得的面积为 可得本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题7.已知函数，其中.若函数的最小正周期为，且当时，取最大值，是（ ）A. 在区间上是减函数B. 在区间上是增函数C. 在区间上是减函数D. 在区间上是增函数【答案】B【解析】【分析】先根据题目所给已知条件求得的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项.【详解】由于函数的最小正周期为，故，即，.所以.由，解得，故函数的递增区间是，令，则递增区间为，故B选项正确.所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.8.已知函数，若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出函数与的图像，根据两个函数图像有两个不同的交点，求得实数的取值范围.【详解】画出函数与的图像如下图所示，其中,由图可知，当时，两个函数图像有两个不同的交点.，故.注意到，即时，两个函数图像只有一个交点，不符合题意，由此排除B,C,D三个选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题.9.已知复数在复平面内对应点是，为虚数单位，则_.【答案】【解析】【分析】写出对应的复数，利用复数的除法运算化简所求表达式，由此得出正确结论.【详解】依题意，故原式.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应的点的坐标，属于基础题.10.已函数，则在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】先求得切点坐标，然后求得函数导数，由此求得切线的斜率，根据点斜式求得切线方程.【详解】依题意，故切点为，所以.由点斜式得.【点睛】本小题主要考查在某点处切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线点斜式方程，属于基础题.11.已知直线与圆相交于两点（为圆心），且为等腰直角三角形，则实数值为_.【答案】【解析】【分析】根据三角形为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离等于半径的，由此列方程，解方程求得 的值.【详解】由于三角形为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的.直线的一般方程为，圆的方程为，圆心为，半径为.故，解得.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.12.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱与底面边长均为2，则该三棱柱的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】先找到球心的位置，然后计算出球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】画出图像如下图所示，设是底面的外心，则球心在其正上方，也即中点的位置.故外接球的半径，故外接球的表面积为.【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.13.已知为正实数，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】化简题目所求表达式，然后利用基本不的等式求得最小值.【详解】原式，令，则上式变为，当且仅当时等号成立，故最小值为.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14.如图，在梯形，且，则的值为_.【答案】【解析】【分析】将转化为用来表示，解方程求得的值.【详解】依题意,，解得.【点睛】本小题主要考查向量的加法和减法运算，考查向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.为了调查居民对城市共享单车的满意度，随机选取了100人进行问卷调查，并将问卷中的100人根据其满意度评分值按照分为5组，得到号如图所示的频率分布直方图.（）求满意度分值不低于70分的人数.（）已知满意度分值在内的男性与女性的比为3：4，为提高共享单车的满意度，现从满意度分值在的人中随机抽取2人进行座谈，求这2人中只有一位男性的概率.【答案】（）73人（）【解析】【分析】（I）计算出分以上的频率，然后乘以得到所求的人数.（II）先求得内的人数为人，其中男性人，女性人，利用列举法和古典概型概率计算公式计算出所求的概率.【详解】解：（）由频率分布直方图可知满意度分值不低于70分的人数为：（人），满意度分值不低于70分的人数为73人.（）的样本内共有居民人，3名男性，4名女性，设三名男性分别表示为，四名女性分别表示为则从7名居民随机抽取2名的所有可能结果为：，共21种.设事件为“抽取2人中只有一位男性”，则中所含的结果为：共12种事件发生的概率为.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图计算频率和频数，考查列举法求解古典概型问题，属于中档题.16.在中，内角的对边分别为，.（）求角的大小；（）若，求的值.【答案】（）（）【解析】【分析】（I）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得的大小.（II）根据余弦定理求得，利用正弦定理求得，利用同角三角函数关系式求得，由二倍角公式求得的值，再由两角差的正弦公式求得的值.【详解】解：（）由已知及正弦定理得，（）因为，由余弦定理得，由，因为为锐角，所以，【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式以及两角差的正弦公式，属于中档题.17.如图，四棱锥的底面是矩形，点为的中点，与交于点.（）求异面直线与所成角的余弦值；（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）（）见证明；（）【解析】【分析】（I）根据判断出是异面直线成角，判断三角形是直角三角形后，直接计算出线线角的余弦值.（II）先证得,然后证得，由此证得平面，从而证得平面平面.（III）过点作与的延长线交于点，证得直线与平面所成角，在中，求得线面角的正弦值.【详解】解：（）是矩形，是异面直线成角在中， 在中，异面直线成角余弦值为.（），点为的中点，又又，又（）过点作与的延长线交于点，为斜线在面内的射影直线与平面所成角在中，直线与平面所成角的正弦值【点睛】本小题主要考查线线角余弦值的求法，考查面面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于0，.（）求和的通项公式；（）求的前项和.【答案】（）（）【解析】【分析】（I）根据基本元的思想列方程，解方程求得的值，由此求得数列的通项公式（II）利用错位相减求和法求得数列的前项和.【详解】解：（1）或（舍） 又 （2）【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差、等比数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.19.已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，分别为椭圆的左，右焦点，分别为椭圆的左，右顶点，设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点，直线的斜率为.（）求椭圆的方程；（）若三角形的面积等于四边形的面积，求的值；（）设点为的中点，射线（为原点）与椭圆交于点，满足，求的值.【答案】（）（）（）【解析】【分析】（I）根据抛物线的准线求得，根据短轴长求得，由此求得，进而求得椭圆方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，求得点的坐标，令求得点坐标.利用三角形的面积公式计算出和的面积，根据题目已知条件，这两个三角形的面积相等，由此列方程，解方程求得的值.（III）根据（II）求得点坐标，由此求得的斜率，设所在直线方程为，代入椭圆方程，求得点坐标，计算出到直线的距离，的长度，化简得到，利用列方程，解方程求得的值.【详解】解：（）由已知得，故，椭圆方程：，（）设直线方程为，令（）由（II）和中点坐标公式，得，设所在直线方程为，则，到直线的距离：，即，化简得，.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形的面积公式，考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题.20.已知函数.（）求函数在处的切线方程；（）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（）当时，设函数.证明：对于任意的，函数有且只有一个零点.【答案】（）（）（）见证明【解析】【分析】（I）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II）将原不等式分离常数，得到恒成立，构造函数，利用导数求得函数的最大值，由此求得的取值范围.（III）先求得的表达式，然后利用导数证得在上有一个零点.再利用导数证得在上没有零点，由此得证.【详解】解：（）已知函数，可得，且，函数在处