《高等教育》PPT课件.ppt

1/23,第四节函数的单调性与曲线的凹凸性,一、单调性的判别法,二、单调区间求法,三、曲线凹凸的定义,四、曲线凹凸的判定,五、曲线的拐点及其求法,六、凹凸性小结,2/23,一、单调性的判别法,定理1,3/23,证（1）,应用拉氏定理,得,(2)同理可证。,4/23,例题部分单调性应用,注,定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立.,应用1判断函数的单调性、求函数的单调区间,课本例1判定函数y=xsinx在0,2上的单调性.,解,因为在(0,2)内.,故由定理1立得,函数y=xsinx在0,2上的单调增加.,5/23,课本例2,解,注意函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,6/23,说明,1.单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如课本例3,2.如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.,例如课本例5,3.熟记单调区间的可能分界点,(1)驻点;,(2)不可导点,x=0不可导点,7/23,二、单调区间求法,方法,小结：单调区间的求法步骤,求定义域,求驻点、不可导点(可能的分界点),确定单调区间,列表考察f(x)在各个区间内的符号,8/23,课本例4确定函数,的单调区间.,解,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,9/23,判断函数的单调性或求单调区间的练习题习题3-4P1511、2、3(1)(2)(3)(5)(7),判断函数的单调性或求单调区间的作业题习题3-4P1511、3(1)(3)(5),10/23,课本例6证明当x1时,证,应用2利用函数的单调性证明不等式,11/23,利用单调性证明不等式的练习题习题3-4P1514(1)、(2)、(5),利用单调性证明不等式的作业题习题3-4P1514(1),12/23,三、曲线凹凸的定义,问题单调性不能反映曲线的弯曲方向；如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,13/23,定义设函数,在区间I上连续,(1)若恒有,则称,图形是凹的;,(2)若恒有,则称,图形是凸的.,14/23,四、曲线凹凸与拐点的判定,【观察】,15/23,定理2(凹凸判定法),(1)在I内,则在I内图形是凹的;,(2)在I内,则在I内图形是凸的.,设函数,在区间I上二阶可导,注定理中区间I可以为闭区间也可为非闭区间.,该定理的记忆方法,快乐是“+”，悲伤是“-”,16/23,课本例8,解,注意到,这样的点称为曲线的拐点，,定义连续曲线上凹凸的分界点(x0，f(x0)称为拐点.,内点,17/23,五、曲线的拐点及其求法,1.可能(可疑)拐点的求法,分析(1),所以要寻求拐点,只要找出使f(x)正负号发生变化的分界点即可.如果f(x)连续,则f(x)的值在由负变正或由正变负的过程中,必在分界点处的值为零.即,(2)此外,f(x)不存在的点也可能是拐点（如下图）,可能的拐点,总结,18/23,2.判定拐点的步骤,由此可得求拐点的步骤如下:,若在其两侧二阶导数变号,则点(x0,f(x0)是拐点；,若在其两侧二阶导数不变号,则点(x0,f(x0)不是拐点；,可能的拐点,19/23,课本例11判断曲线,的凹凸性及其拐点.,解,故曲线,在,上是凹的.,结论,由例8和例11可知：二阶导数为零的点可能是拐点,也可能不是拐点。,20/23,课本例12求曲线,的拐点.,解,不存在,因此点(0,0)为曲线,的拐点.,凹,凸,结论,2)此例说明了不存在的点也可能是曲线的拐点.,21/23,课本例10求曲线,的凹凸区间及拐点.,解,1)求,2)求可能的拐点坐标,令,得,对应,3)列表判别,故该曲线在,及,上是凹的,是凸的,点(0,1)及,均为拐点.,22/23,函数的凹凸性拐点练习题习题3-4P1518(1)(4)、11、12、13,函数的凹凸性拐点作业题习题3-4P1518(1)(2)、11、12,23/23,六、曲线的凹凸性小结,3.拐点的求法：1.找