山东省沂水县第一中学2020届高三数学第三轮考试试题 理（含解析）

山东省沂水县第一中学2020届高三第三轮考试数学（理）试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，则集合和的关系用如图所示的四幅图可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简集合N，通过集合的包含关系得到N是M的真子集，得到韦恩图【详解】=1，2M=0，1，2，N是M的真子集故选：A【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍2. 已知是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将复数的分子分母同乘以1+i，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标【详解】由于z=i，则复数z在复平面上的对应点（0，1）故选：D【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数3. 设向量，且，则（ ）A. 2 B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】推导出=0，利用数量积的坐标运算能求出m【详解】，又，即故选：A【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题4. 若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图，立，解得B（2，2），化目标函数z=x3y为，由图可知，当直线过B（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为232=4故选：B【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知等差数列的前项和为，且满足，则（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】设等差数列的公差为,联立解得，则，故选B.6. 已知函数在处的切线倾斜角为，则（ ）A. B. C. 0 D. 3【答案】C【解析】【分析】由求导公式和法则求出函数的导数，由切线倾斜角为求出切线的斜率，即可求出的值【详解】求出导函数,又函数在处的切线倾斜角为，即故选：C【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为7. 的展开式中恰有三项的系数为有理数，则的可能取值为（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】D【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项.【详解】由题意，展开式中项的系数为，系数为有理数，nr是3的倍数，r是2的倍数，n=9，r=6，不符合；n=10，r=4,10，不符合；n=11，r=2，8，,不符合；n=12，r=0,6,12，符合题意，故选：D【点睛】本题考查二项展开式，考查学生的计算能力，属于中档题8. 已知，且，则如图所示的程序框图输出的（ ）A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】【分析】由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值，由此计算可得答案【详解】设则有，即解得，所以，又，即，根据程序框图可知：S=显然，故选：C【点睛】本题考查的知识点是程序框图，对数及指数运算，其中根据已知的程序框图，分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题9. 某儿何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】几何体是直三棱柱截去两个相同的四棱锥后余下的部分，根据三视图判断直三棱柱的侧棱长及底面三角形的相关几何量的数据，判断截去四棱锥的高，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算【详解】由三视图知：几何体是直三棱柱截去两个相同的四棱锥后余下的部分，如图：直三棱柱的侧棱长为，底面三角形的底边长为，底边上的高为1，截去的四棱锥的高为1，几何体的体积V=121=故选：D【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键10. 设函数（是常数，).若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间，上具有单调性，且f（）=f（）可得函数的半周期，则周期可求【详解】由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为又f（）=f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间，上具有单调性，则TT，从而=T=故选：B【点睛】本题考查f（x）=型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属于中档题11. 已知是椭圆的左、右焦点，点，则的角平分线的斜率为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】求得直线AF1的方程，根据角平分线的性质，可得P到AF1的距离与P到AF2的距离相等，即可求得直线l的方程【详解】由椭圆+=1，则F1（2，0），F2（2，0），则直线AF1的方程为y=（x+2），即3x4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P（x，y）为直线l上一点，则=|x2|，解得2xy1=0或x+2y8=0（斜率为负，舍），直线l的方程为2xy1=0，故选：C【点睛】本题考查椭圆的性质，点到直线的距离公式，考查转化思想，属于中档题12. 已知函数，.若不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】A【解析】【分析】令h（x）f（x）g（x）=lnx（ae）x2b，利用导数求得h（x）max=h（）=ln（ae）12b0，求得，ae，运用导数求得a=2e时，可得所求最小值【详解】令h（x）=f（x）g（x）=lnx（ae）x2b，则h（x）=（ae），当ae时，h（x）单调递增，h（x）无最大值，不合题意；当ae时，令h（x）=0，则x=，x（0，）时，h（x）0，h（x）单调递增，x（，+）时，h（x）0，h（x）单调递减，h（x）max=h（）=ln（ae）12b0，即ln（ae）12b，2b1ln（ae），ae，由的导数为=（+ln（ae），当a=2e时，（+ln（ae）=0，且a2e，（+ln（ae）0；ea2e时，（+ln（ae）0，可得a=2e时，取得最小值的最小值为故选：A【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 四个人围坐在一张方形桌旁，每个人抛掷一枚质地均匀的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币反面朝上，则这个人继续坐着.那么，恰有相邻的两个人站起来的概率为_【答案】【解析】【分析】列举出所有情况，求出满足条件的概率即可【详解】恰有相邻的两个人站起来，即正正反反，反正正反，反反正正，正反反正，共有4种情况，故P=，故答案为：【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.14. 双曲线与抛物线有公共焦点，是它们的公共点，设，若，则的离心率_【答案】【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用直线的垂直关系，求出P的坐标，利用双曲线的定义，求出a，然后求解离心率【详解】双曲线C：与抛物线y2=4x有公共焦点F，F（1，0），Q（0，1），QPQF，所以kQP=1，直线QP：y=x+1，代入y2=4x得到P（1，2），所以PFx轴，|PF|=2，c=1，e=故答案为：【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解15. 张半径为的圆形包装纸，按照如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长都相等的四棱锥，折叠所成的四棱锥外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，利用圆的直径建立方程，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积【详解】如图，连接OF，与BC交于I，设正方形ABCD的边长为2x，则FI=，则2x+，即设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，该四棱锥的外接球的表面积S=故答案为：【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 16. 整数 的排列满足：从第二个数开始，每个数或者大于它之前的所有数，或者小于它之前的所有数.则这样的排列个数共有_个.（用含的代数式表示）【答案】【解析】【分析】利用前几个特例找到规律，从而可以得到答案.【详解】记所求的排列种数为，当n=1时，只有数1，显然；对于n，如果数n排在第i位，则它之后的n-i个数完全确定，即只能是n-i，n-i-1，1，而它之前的i-1个数有种排法，考虑到n的不同位置，则必有，由，可得，由此猜测【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角； （2）若的周长为8，外接圆半径为，求的面积.【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求tanA的值，结合A的范围即可得解A的值;（2）由已知根据正弦定理可求a，由已知可得，由余弦定理进而可得bc的值，根据三角形面积公式即可计算得解【详解】（1）由，得，即，所以 即，因为，所以.由正弦定理得，因为，所以，所以，得.（2）因为的外接圆半径为，所以，所以， 由余弦定理得 所以，得，所以的面积.【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18. 如图，矩形中，为的中点，现将与折起, 使得平面及平面都与平面垂直.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）分别取中点，分别连接，可证明平面平面，可得，又，四边形为平行四边形，从而可得平面；（2）以为原点，为，正半轴，建立空间直角坐标系，可得平面的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）分别取中点，分别连接，则且平面及平面都与平面垂直，平面平面，由线面垂直性质定理知，又，四边形为平行四边形，又平面，平面.（2）如图，以为原点，为，正半轴，建立空间直角坐标系，则.平面的一个法向量，设平面的法向量，则，取得，注意到此二面角为钝角，故二面角的余弦值为.点睛：本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价:(单位：元/月）和购买人数(单位：万人）的关系如表:（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？并指出是正相关还是负相关；（2）求出关于的回归方程；若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/ 月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20 万人.参考数据：，.参考公式：相关系数，回归直线方程，其中，.【答案】(1)见解析;(2);一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.【解析】【分析】(1) 根据题意，得,计算出相关系数，从而可以作出判断;(2) 求出回归直线方程，由知，若，则，从而预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人【详解】（1）根据题意，得，.可列表如下根据表格和参考数据，得，.因而相关系数.由于很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合与的关系. 由于，故其关系为负相关.（2），因而关于的回归方程为.由知，若，则，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20. 如图，抛物线的焦点为，抛物线上两点，在抛物线的准线上的射影分别为.（1）如图，若点在线段上，过作的平行线与抛物线准线交于，证明：是的中点；（2）如图，若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】(1)见解析;(2).【解析】【分析】(1) 设直线,与抛物线方程联立可得，.于是，直线，设直线与交于点，令.易得（2）设与轴的焦点分别为，则，的面积是的面积的两倍，所以点. 可设直线，与抛物线方程联立可得，从而可得,即所求轨迹方程.【详解】（1）由题，准线.设直线，.联立，.于是，直线，设直线与交于点，令.得：.故直线经过的中点.（2）设与轴的焦点分别为，则，的面积是的面积的两倍，所以点.可设直线，中点，.于是，,即中点的轨迹方程为.【点睛】求轨迹方程的常见方法有：（1）直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.解题时要注意解题技巧的运用，如常用的“设而不求”、“整体代换”的方法，以简化计算.21. 设函数，已知不单调，且其导函数存在唯一零点. （1）求的取值范围；（2）若集合，求证：.【答案】(1);(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意得有唯一零点，且在零点两侧的符号相反. ， .对a分类讨论，分析函数的单调性从而得到的取值范围；（2）由（1）知，设，即.则在区间上单调递减，在区间上单调递增，的值域为，即.要使，只需【详解】（1）由题意得有唯一零点，且在零点两侧的符号相反. ，.当时，故在区间上单调递增，又时，故在区间上存在唯一零点且在零点两侧的符号相反.当时，得，故在区间上单调递增，在区间上单调递减，若，则存在唯一零点，但在零点两侧都为负，不合题意；若，则恒成立，此时无零点，不合题意；若，又时，时，此时有两个零点，不合题意.综上所述，的取值范围是.（2）由（1）知，设，即.则在区间上单调递减，在区间上单调递增，的值域为，即.要使，只需，即，也就是.又，故，即.又在区间上单调递增函数，要证 只要证，即.而，故结论得证.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识