完整的数学建模(铅球投掷)

2012年四川理工学院第九届大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： C 我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)： 所属学校(请填写完整的全名)： 四川理工学院黄岭校区 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 日期： 2012 年 05 月21 日2012年四川理工学院第九届大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表评阅人评分备注铅球投掷问题摘 要本文通过对投掷铅球的水平距离的讨论，研究了根据实际怎样控制水平距离的因素，才能使得铅球飞行更远运用了力学知识，抛物线规律及数学软件的辅助，建立了各种最佳投掷模型。即运动员应该根据自身的的具体身高与其习惯的出手姿势计算并得出最佳的出手角度，一般而言使出手速度在14m/s左右，对应的出手角度在37.2707左右时能使得投掷距离最大，而且可以通过各种方式.增大手与铅球间的摩擦力，同时采用旋转投掷法，从腰间发力，在投掷点采用前后脚交替等方法可达到增大初速度从而增加投掷距离的作用关键词：铅球投掷 投掷距离 出手角度 出手速度 最佳一、问题的提出铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。如图1：图1 铅球投掷场地根据优秀运动员的投掷数据看出他们的投掷角度一般为3541,出手速度一般为13.1m/s14.1m/s，出手高度一般为1.9m2.1m1。需解答一下问题：1.建立数学模型，将预测的投掷距离表示为出手速度、出手角度，找出最佳出手角度。2.由于出手速度与出手角度相互影响,并同时影响出手距离,应该怎样对出手速度与出手角度折中,才能得到最大的出手距离。3.分析影响铅球投掷距离的因素，根据结果分析教练员对运动员训练的目标和方向。二、基本假设1. 铅球是个质点。2.忽略空气阻力。h：出手高度v：出手速度 ：出手速度与水平面的夹角s：投掷距离g：重力加速度 为9.8 :铅球跃过的最高点与投掷点的水平距离t1:铅球到达最高点的时间t2：铅球从最高点到落地的时间三、建立模型3.1问题一模型的建立3.1.1建立模型由下图所示可得：图2 投掷铅球抛物线图中的h1就代表h. 从而可以得出: 当投掷距离取得最大值时可以得下列关系式: 由上是化简可以得3.1.2问题一的分析,在定义域内单增,则易知:当出手高度一定时:最佳出手角度随出手速度增大而增大.当出手速度一定时:最佳出手角度随出手高度增大而减小.结论:应该根据出手速度与人的具体身高与其习惯的出手姿势计算并得出最佳的出手角度,并且最佳出手角度可由方程: 得到.3.2问题二模型的建立3.2.1建立模型由于速度与角度相互有关联，并且要找到一种折中办法使抛球的距离最大，则想到找到速度与角度的函数，函数是由数学软件根据给出的数据进行拟合而来所以得到两个方程，(v,u)(速度v与角度u两个变量所组成的方程),X(v,u)(抛球距离x关于变量v与变量u的函数),从而由两个函数关系并且根据角度与速度的实际变化范围求得抛球距离x的最大值由题中提供的数据即:表1 运动员投掷铅球数据姓名出手速度出手高度出手角度实测成绩s(m)李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯卢皮亚内克13.772.0640.0021.41李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黄志红20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95以出手速度作为变量拟合关于角度的函数,首先作出速度关于角度的散点图,然后拟合并在同一图中显示拟合的函数与散点的相符效果,结果如下: 图3角度关于速度的散点图.(这就是拟合到得角度关于速度的方程) Out4=Out3= 图3 角度关于速度拟合方程的图 图4拟合曲线与散点图在同一坐标中的显示状况.由第一问的解答有: . 拟合方程: 可得: s=3.2.2问题二的分析上式是出手距离与出手速度及出手高度的函数关系式，假设高度一定时则只有速度v一个变量。因此可以取不同的速度v值而得到不同的出手距离，然后由出手速度与出手角度的关联式，即式，从而得出对应的出手角度，然后列出一个表格，由表格中得出的数据找出出手角度与出手速度的最佳折中办法。由题所给的所有数据得到出手高度的平均值为：h=1.99875 ，把此值作为定值。可以得出下面的数据表：出手速度13.113.213.313.413.513.613.713.8出手距离19.406919.608619.797420.035220.320820.629520.93621.222出手角度37.270739.457138.230937.861338.0478.38.49738.921839.0412出手速度13.91414.114.214.314.414.514.6出手距离21.46621.618421.559721.053419.719417.106313.038.32289出手角度38.580437.270734.848931.057325.64418.3628.969632.76989表2 投掷远度影响因素则由上表可看出来出手距离先随速度变大而变大，当速度增大到14再往上逐渐增大时，出手距离逐渐减小，出手角度随出手速度的增大同样是先增大后减小，速度从13.114.3时出手角度的变化是37.270725.644，运动员以这个出手角度范围的角度出手都不太难，所以角度的考虑是次要因素，而主要因数是成绩评定标准的出手距离，当v在14m/s时速度达到最大，所以此时运动员得到的成绩最理想。结论：速度与角度的最佳折中办法是：使出手速度在14m/s左右，从而对应的出手角度在37.2707左右。3.3问题三模型的建立及求解3.3.1建立模型经过上述分析，投掷铅球的远近是一个关于出手高度、出手速度、出手角度相关的复杂变量。其中出手速度的影响最为重要。由此，教练员应该着力提高运动员施力于铅球上的力而提高成绩。假设：1 滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平初速度；2 用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间；3 作用时间内的推力大小不变离得方向与铅球出手方向相同。3符号约定：X:水平位置Y:竖直位置：初速度：作用时间：推力大小：铅球质量水平位置有：竖直方向有： 所以在区间的积分可得： 因为有所以得到3.3.2问题三的分析由可得 增大作用与铅球上的力和时间以及增大初速度均可提高铅球的出手速度。从而提高投掷距离。因此教练员可从以下方面来训练运动员。1.增大手与铅球间的摩擦力以增大作用时间。2.采用旋转投掷法，从腰间发力，旋转将力施加到铅球上以增大作用力。3.在投掷点采用前后脚交替以增大初速度。四、模型求解用mathematica7.0软件进行的求解过程如下:4.1第一问求解Solveh1+h=g*(t2)2/2,t2得显然负值舍去笔算可得：然后根据参考文献可得：4.2第二问求解建立二维数据表,画散点图,拟合方程及散点图与拟合方程在同一图中的显示操作如下:x=13.75,13.52,13.77,13.16,13.51,13.58,13.95,14.08;y=37.60,38.69,40.00,40.27,38.69,37.75,39.00,35.13;data=Tablexi,yi,i,1,8; =ListPlotdata,PlotStylePointSize0.02;f=Fitdata,1,v,v2,Logv,v;w=Plotf,v,13.00,15.00;Showw,shu拟合图与问题一的方程求解如下:得出s关于v的函数关系式,当h值一定,以v缓慢增大的过程对v及定值g,h的复值如下：s/.h1.99875,va,g9.8(其中a为v缓慢增大的任意取值，从而可以得出s关于v的多组数据)根据v的值求对应出手角度的计算如下：(a同上为v缓慢增大的任意取值)五、模型评价本模型建立了投掷铅球所需的最佳角度范围，研究了速度，夹角以及投掷高度对投掷距离的影响，通过定量和定性分析，得出了投掷的最佳角度，最佳速度，以及应保持怎样的方式投掷给教练员在训练运动员时提供了有效的参考。但是由于某些假设过于理想，如速度与角度的相互影响，滑步过程的假设，在实际运用中并不能很好的应用。因此在不同的环境，对于不同的人训练时，运动员应选择适