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文档简介

构造不等式-解析几何范围题的有效解法张定强有关范围问题，常要借助不等式去解。充分利用已知条件，挖掘题目中的隐含条件构造不等式便成为解范围题的关键。本文结合具体问题谈一下构造不等式的几种方法。供参考。一、利用题目中已知不等式或常用的基本不等式构造不等式 例1. （2002年全国高考题）设点P到点距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。解：设点P的坐标为（x，y），依题设得即因此点三点不共线所以因为，所以，因此点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上，故将代入得：因为，所以所以即m的取值范围为。 例2. （2000年全国高考题）如图1。已知梯形ABCD中，。点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e取值范围。解：如图2，以AB的中垂线为y轴，直线AB为x轴建立直角坐标系。设，则又设双曲线方程为，由点C、E在双曲线上且得：消去可得：由于，所以解得：所以双曲线离心率。二. 利用三角形中的不等关系构造不等式 例3. （2000年全国高考题）椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是_。解：依题知设椭圆上的动点P的坐标是，有又是钝角且是钝角三角形，故有即所以，故点P横坐标的取值范围是。三. 利用判别式构造不等式 例4. （1996年全国高考题）已知与是过的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两个交点，求的斜率的取值范围。解：设的方程为代入双曲线方程并整理得：由于与双曲线有两个交点，所以，即又由与双曲线也有两个交点且，同理可得由，得：且所以四. 利用点与曲线的位置关系构造不等式 例5. （1986年广东高考题）已知椭圆C的方程为。试确定m的取值范围，使得对于直线，在椭圆C上有不同两点关于该直线对称。解：如图3，设连线的中点是在椭圆上且关于直线对称，由得又在椭圆上，则二式相减得：而，则所以又在直线上，则、联立解得：又中点必在椭圆C内部，则有即所以五. 利用曲线的有界性构造不等式 例6. （1992年全国高考题）已知椭圆。A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点，证明：。分析：注意到为AB的垂直平分线上的点，所以，利用平面几何性质，A、B在以P点为圆心，为半径的圆上，从而把问题转化为二次曲线的交点关系。解：由线段AB的垂直平分线交x轴于点P，于是有。所以A、B在以为圆心，为半径的圆上，圆方程为又A、B在椭圆上，所以由得：设，则是方程的两根由韦达定理得：而且所以即所以六. 利用函数的单调性构造不等式 例7. 直线和双曲线的左支交于A、B两点，直线过点和AB线段的中点，求在y轴上的截距b的取值范围。分析：b的变化是由k的变化所致，且m有固定的位置时，也有确定的位置，即对于k的任一确定的值，b有唯一确定的值与之对应，因此b是k的函数，。本题是要利用这个函数的单调性求b的取值范
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