人教版数学九年级下册《相似三角形》课件

相似三角形,1.1相似图形,问题：观察下列四组图形，各自有什么相同点和不同点？,相似图形的概念：在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形.,注意：1.相似图形只针对形状，不谈大小.2两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.,1.1相似图形,【例1】观察下面每组的两个图形，图形相似的是（）,A,1.1相似图形,相似的图形具有传递性：,如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，那么图形A与图形C相似。,1.1相似图形,如图，把ABC放大一定的倍数，就得到和它相似的ABC,1.2相似多边形,如图，把五边形ABCDE缩小一定的倍数就得到和它相似的五边形ABCDE.,它们形状相同，大小虽不同但有一定的比例关系.,相似多边形概念：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.【例2】如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角和的大小和边EH的长度x.,7,1.2相似多边形,【例2】如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角和的大小和边EH的长度x.解：因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应角相等，由此可得=C=83，A=E=118在四边形ABCD中，=360-（78+83+118）=81因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，由此可得=,解得x=28.相似多边形对应角相等，对应边成比例.,8,解析：,9,2.1平行线分线段成比例,1.在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，在ABC和ABC中，如果A=A，B=B，C=C，AB=CBC=CAC=，即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说ABC与ABC相似，相似比为.相似用“”表示，读作“相似于”.ABC与ABC相似记作“ABCABC”.2.当相似比为1时，它们是全等的，全等是相似的一种.,问题：三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果？,如图，直线l1/l2/l3,l4、l5被l1、l2、l3所截，请问与相等吗？任意平移l3，与还相等吗？,2.1平行线分线段成比例,问题：判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边相等外，还可以使用简便的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）.类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？我们先来探究下面的问题.,2.1平行线分线段成比例,可以发现，当l1/l2/l3时，有=，=，=，=等.一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.,如果我们把平行线分线段成比例定理应用到三角形中会有什么样的情况？,会出现下面的两种情况：,2.1平行线分线段成比例,在图（1）中把L2看成平行与ACF的边CF的直线，那么我们可以得到：,在图（2）中把L1看成平行与BCF的边CF的直线，那么我们可以得到：,平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等,2.1平行线分线段成比例,【例3】如图，在ABC中,DEBC,且DE分别交AB，AC于点D，E，ADE与ABC有什么关系?你能证明吗？,2.2“A”字型,【例3】如图，在ABC中,DEBC,且DE分别交AB，AC于点D，E，ADE与ABC有什么关系?你能证明吗？证明：在ADE与ABC中，A=A.DEBCADE=B，AED=C.过点E作EFAB，交BC于点F.DEBC,EFAB,ADAB=AEAC,BFBC=AEAC.四边形DBFE是平行四边形，DE=BF.DEBC=AEACADAB=AEAC=DEBC.ADEABC相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.,解析：,【例4】若点D是BA延长线上的一点,过点D作DEBC，与CA的延长线交于点E，ADE与ABC相似吗?,2.3“8”字型,【例4】若点D是BA延长线上的一点,过点D作DEBC，与CA的延长线交于点E，ADE与ABC相似吗?,平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.也就是相似模型中的“A”字型和“8”字型.,相似三角形判定的预备定理：,解析：,【练4-1】如图，ABCDEF，直线BE与AF相交于点G，则图中共有相似三角形(),A.1对B.2对C.3对D.4对,2.3“8”字型,【练4-2】如图，直线l1l2，AFFB=23，BCCD=21，则AEEC为()A.52B.41C.21D.32,2.3“8”字型,【练4-3】如图，ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE，并延长交DC于点F，则DFFC=_.,2.3“8”字型,问题：类似于全等三角形判定中的SSS，若是否有ABCABC？,2.4相似三角形的判定定理,【例5】已知:如图ABC和ABC中AB:AB=AC:AC=BC:BC.求证:ABCABC,2.4相似三角形的判定定理,【例5】已知:如图ABC和ABC中AB:AB=AC:AC=BC:BC.求证:ABCABC,证明:在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DEBC交AC于点E.,又AB:AB=BC:BC=CA:CA,AD:AB=AE:AC=DE:BC,ADEABC,AD=ABAD:AB=AB:AB,DE:BC=BBC,EA:CA=CA:CA.,因此DE=BC,EA=CA.,ABCABC,ADEABC,解析：,ABCABC,判定定理1：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.,简单地说：三边对应成比例，两三角形相似.（SSS）,2.4相似三角形的判定定理,几何语言：,25,2.4相似三角形的判定定理,【练5-1】根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似，并说明理由：（1）AB=4cm,BC=6cm，AC=8cm，AB=12cm,BC=18cm，AC=24cm；（2）A=120，AB=7cm,AC=14cm,A=120，AB=3cm,AC=6cm.,26,2.4相似三角形的判定定理,【练5-2】ABC的三边之比为AB：BC：CA=2:3:4，在ABC中，AB=1，CA=2,当BC=时，ABCABC.,猜想：类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边及其夹角来判定两个三角形相似呢，你能证明吗？【例6】已知：在ABC和ABC中，求证：ABCABC.,2.4相似三角形的判定定理,判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。,几何语言：,ABCABC,简单地说:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.（SAS）,2.4相似三角形的判定定理,【例7】如图，D是ABC的边AB上一点，要使ACDABC，则它们必须具备的条件是（）A.ACCD=ABBCB.=C.2=D.2=,2.4相似三角形的判定定理,2.4相似三角形的判定定理,【练7-1】如图，BD平分ABC，AB=4，BC=6，当BD=时，ABDDBC.,【练7-2】如图所示，在正方形网格上有6个三角形：ABC;BCD;BDE;BFG;FGH;EFK.中与相似的是(),A.B.C.D.,2.4相似三角形的判定定理,【例8】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=14DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.（1）求证：ABEDEF;（2）若正方形的边长为4，求BG的长.,2.4相似三角形的判定定理,【例8】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=14DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.（1）求证：ABEDEF;（2）若正方形的边长为4，求BG的长.,（2）正方形ABCDDECG，DEFCGF,BG=4+6=10.,=13,CG=3ED=6,解:（1）证明：AE=ED，DF=14DC=12=,又D=A=90,ABEDEF;,解析：,34,2.4相似三角形的判定定理,判定定理3：如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似.简单地说：两角对应相等，两个三角形相似.(AA),几何语言：A=A,B=BABCABC,【例9】已知：如图，在ABC中，AED=B，则下列等式成立的是（）A.DEBC=ADDBB.=C.=D.=,2.4相似三角形的判定定理,【练9】已知：ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与ABC相似，则需要增加的一个条件是.(写出一个即可),2.4相似三角形的判定定理,37,2.4相似三角形的判定定理,判定定理4：如果两个直角三角形，满足斜边的比等于一组直角边的比，那么这两个直角三角形相似.几何语言：在RtABC和RtABC中,B与B均为直角ABCABC,【例10】已知ACB=ABD=90，AB=6，AC=2，当AD=时，ABD与BCA相似.,2.4相似三角形的判定定理,【例11】已知：AB是半圆的直径，AC、BC与半圆相交于点E、D，BE与AD相交于点F，求证：EFBF=AFDF,2.4相似三角形的判定定理,【例11】已知：AB是半圆的直径，AC、BC与半圆相交于点E、D，BE与AD相交于点F，求证：EFBF=AFDF,证明:AB是直径，,AEF=BDF=90,又EFA=DFB,AEFBDF,=,EFBF=AFDF.,解析：,问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？,3.相似三角形的性质,问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？,相似三角形周长的比等于相似比。,相似多边形周长的比等于相似比。,3.相似三角形的性质,三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：高线，角平分线，中线,问题：那么相似三角形中相似比与高线比、角平分线比、中线比有怎样的关系呢？,高线,3.相似三角形的性质,【例12】：ABCABC，ADBC于D，ADBC于D，求证：,3.相似三角形的性质,【例12】：ABCABC，ADBC于D，ADBC于D，求证：,证明：ABCABCB=B又AD、AD是高线ADB=ADB=90ABDABD,解析：,相似三角形对应高的比等于相似比.同样的，我们可以得到：相似三角形的对应角平分线之比，中线之比，都等于相似比.对应高的比=对应角平分线的比=对应中线的比=相似比问题：那么，相似三角形的面积比呢？,3.相似三角形的性质,分别作出ABC和ABC的高AD和AD.则,即：相似三角形的面积的比等于相似比的平方.,3.相似三角形的性质,【例13】如图，在ABC中，DEBC，且DE=34BC=3cm，ADE的周长为12cm，则梯形BCED的周长为()A.10cmB.12cmC.14cmD.16cm,3.相似三