1.1 测度与可测函数ppt课件

第一章实变函数初步,第一节直线上点集的勒贝格测度与可测函数,勒贝格测度与勒贝格可测集,可测函数,测度：欧氏空间中长度、面积和体积概念的推广,可测函数列的极限问题,一、点集的勒贝格测度与可测集,1.几个特殊点集的测度,设E为直线R上的有限区间a,b(或(a,b)或a,b)或(a,b),则其测度定义为：m(E)=m(a,b)=b-a.,(2)设E为平面上有界闭区域D,则其测度定义为:m(E)=SD,(4)若E=，则定义m(E)=m()=0,(3)设E为空间上有界闭区域,则其测度定义为:m(E)=V,(6)若E为一随机事件，则定义m(E)=P(E)(古典概率）,(5)若E=x是单点集，则定义m(E)=0,2.直线上非空有界开集与有界闭集的测度,定义1设ER非空点集，aR.,(1)设0,称开区间(a,a+)=O(a,)为a的邻域。,直线上包含a的任一开区间(,)均可称为点a的邻域,(2)设aE,若存在a的一个邻域(,),使得(,)E，则称a是E的内点；,定义2设ER非空点集.如果E中的所有点都是内点，则称E是开集；,定义3设G是直线R上的一个有界开集。如果开区间(,)满足条件:,1)(,)G2)G,G,则称(,)为开集G的一个构成区间,定义4设G为直线R上的有界开集(即(a,b)G),(ai,bi)(iI)为G的构成区间，则定义m(G)=(biai)(0则称为A的上确界,记作：,（2）如果存在一个实数，满足：1）xA，有x；（2）0,x0+,则称为A的下确界,记作：,定理2（确界存在公理）任何有上（下）界的数集必有上（下）确界。,3.直线上一般有界点集的勒贝格（Lebesgue)测度,3.直线上一般有界点集的勒贝格（Lebesgue)测度,定义7设ER为任一有界集.,称一切包含E的有界开集的测度的下确界为E的L外测度，记为m*(E),即,m*(E)=infm(G)|G为有界开集,EG,(2)称一切包含于E的有界集的测度的上确界为E的L内测度，记为m(E),即,m(E)=supm(F)|F为有界闭集,FE,(3)如果m(E)=m(E),则称E的内测度与外测度的共同值为E的L测度，记为m(E),即,这时,也称E是勒贝格可测集(简称L可测集),m(E)=m*(E)=m(E),注:,1)对于有界开集G,有m(G)=m*(G),2)对于有界闭集F,有m(F)=m(F),3)对于任一非空有界集E,有m(E)m*(E)(根据定义),定理3设X=(a,b)是基本集(有界),E,EiX(i=1,2,)均为有界可测集,则有EC=X-E、E1E2、E1E2、E1-E2、Ei、Ei均可测，且,1)m(E)0,且E=时,m(E)=0(非负性),3)m(E1E2)m(E1)+m(E2)(次可加性),若E1E2,则m(E1)m(E2)(单调性),m(E2E1)=m(E2)-m(E1),4.可测集的性质,4)若E1E2=,则m(E1E2)=m(E1)+m(E2)(有限可加性),5)若EiEj=(ij,i,j=1,2,),则m(Ei)=m(Ei),(可列可加性),1)若E1E2Ek,则E=Ek可测,m(E)=limm(Ek),定理4设X=(a,b)是基本集,Ek是X上的可测集列。,2)若E1E2Ek,则E=Ek可测,m(E)=limm(Ek),定理5设ER有界,则E可测存在开集G和闭集F,使FEG,且m(G-F)0,开集G和闭集F,使FEG,且m(G-F)0,开集GE和闭集FE,使,m(E)-m(E)=x4,x5,2.函数可测的充分必要条件,定理4f(x)在可测集E上的可测函数，即E(f)可测,R,E(f)=x|f(x),xE可测,R,E(f=)=x|f(x)=,xE可测,R,E(f,xE可测,证:,(1)E(f1/n),例5定义在R上连续函数都是L可测函数.,f(x)连续x0E(f)R,f(x)f(x0)(xx0),O(x0,),使xO(x0,),有f(x)，即xE(f)(极限保号性）,证：x0E(f)f(x0),(只要证明R,集E(f)是开集,则它一定是可测集),f(x)是可测函数,O(x0,)E(f)x0是E(f)的内点，E(f)是开集,E(f)是可测集,例6区间0,1上的狄里克来函数D(x)是L可测函数.,证:,当1时,E(D)=是可测集,当0时,E(D)=0,1是可测集.因此,D(x)是L可测函数,当0)=x|x为0,1中的有理数是可测集,例7定义在零测集E上的任何函数f(x)都是L可测函数.,证:R,E(f)=x|f(x),xEE,f(x)是可测函数,m(E(f)=0,m(E(f)m(E)=0,E(f)也是零测集,例8集E的特征函数E(x)是R上的可测函数.,证:,定理6f(x)、g(x)是E上的可测函数,kf(x)、f(x)g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)(g(x)0)、,及f(x)都E上的可测函数,当1时,E(E)=是可测集,当0时,E(E)=R是可测集,当00,xE,N=N(),当nN时,有fn(x)-f(x)0,xE,N=N(x,),当nN时,有fn(x)-f(x)N时,曲线列fn(x)的图形都在曲线f(x)的带形邻域内.,x(0,1)时,fn(x)=xn0(n),N既与有关,又与x有关,要使曲线fn(x)=xn上的对应点落到极限函数f(x)=0的带形邻域内,在x1处,只要n2即可,而在x2处,则要n10才行,3)fn(x)一致收敛于f(x)fn(x)一处处敛于f(x),反之不然。例如,在点集E上,函数列fn(x)一致收敛于f(x),证:,定理6(柯西定理),xE,fn(x)是基本列。,0,xE,N=N(),当m,nN时,有fm(x)-fn(x)0,limm(Exfn(x)-f(x)=0,fn(x)在集E上依测度收敛于f(x),0,0,N,当nN时,有m(E(fn(x)-f(x)0,可测子集EE,使m(E-E),且fn(x)在E上一致收敛于f(x),则称fn(x)在E上近一致收敛于f(x).,定理10设fn(x)是可测集E上的几乎处处有限的可测函数列,f(x)是定义在E上的几乎处处有限的可测函数,且limfn(x)=f(x)(a.e.),则,定理11(Riesz定理)设m(E),则fn(x)在E上依测度收敛于f(x)子列fnk(x)fn(x),使fnk(x)f(x)(a.e.)(k),(2)fn(x)在E上依测度收敛于f(x).(勒贝格定理),fn(x)在E上近一致