江苏省南通市2020届高三数学专题复习课程资源——利用导数证明不等式教师版

利用导数证明不等式（1）*关注结构特征构造抽象函数（相关结论）1、 条件中有，构造2、 条件中有，构造3、 条件中有，构造4、 条件中有，构造5、 条件中有，构造6、 条件中有，构造7、 条件中有，构造等等。*利用函数的思想构造具体函数：把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值的问题，从而证明不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是利用导数证明不等式的关键。1、 直接作差（有时作商）构造函数（求导诚可贵，构造价更高），将不等式问题转化为函数值域问题。典例：求证：当x0时，。分析：本题直接作差或者直接作商、通过取对数等价转化，或通过两边开平方等价转化均可实现证明，不妨逐一试之。PS:若遇导数零点不可求（隐零点），则虚拟设根，先设再估，探求范围，整体代换，化超越为平凡。2、 将待证不等式等价变形后再构造函数。其中的变形包括：数式变形：移项、提取因式、整体代换（一般对数真数比较复杂时可整体代换）、分式变形、拆项拼凑、取对数等手段。例1：导数零点不可求（虚拟设根，整体代换，化超越为平凡）设函数（1） 讨论的导函数的零点的个数；（2） 证明：当时， 解：（1）定义域，1 没有零点 2 当且时， 当时，存在唯一零点。（2）设在的唯一零点为，满足当， ， ， 超越平凡化 整体代换 时， 例2：导数零点不可求，先设再估，探求范围（限制得越小越好）或在极值点附近放缩 求证：当时， （参考数据：，）解：令， ，在， 或在上有唯一零点且，即（“化超越为平凡”）在， 令，在 例3：比较与的大小。分析：（1）0，易证； （2）0时，等价转化为比较与的大小。法一：令，在（0，+）单调增，在（0，+）上有唯一实根，且10.得证。法二：也可由常用不等式，得，本质找到了第三方隔离直线，将熟悉的一次函数作为超越之间的过渡。，求证：法一：要证，即证，即证，即证，即证，令构造，只需证，易证。法二：令，只需证，只需证令，构造，以下易证。例5：已知（1）讨论的单调性；（2）当时，证明对成立。分析：（2）直接作差构造函数，历经三次求导，两次零点不可求，两次设而不求。求F(x)最值YN求导得F(x)F(x)零点可求构造函数F(x)=f(x)-g(x)再次求导试根法基本函数证明F(x)零点存在YN设而不求判断F(x)符号判断F(x)单调性求F(x)最值得f(x)与g(x)大小关系利用导数证明不等式（2）（一）将待证不等式等价变形后再构造函数： （1）双变量问题：化为单变量。先构造齐次式再整体换元（常用于极值点偏移等问题） 主元思想，冻结变量 （2）将超越平凡合理搭配，拼凑出便于求导后找到零点的优良结构，整合重组。如、等（二）利用单调性穿上“f”后构造新函数再证。（常用于二元变量一元化、极值点偏移、拐点偏移等问题）例1：双变量化为单变量：先构造齐次式，然后再整体换元有两个不同的零点，求b的取值范围；求证：解：定义域，b范围，不妨设要证，只需证即证令，令，在上单调增，即（或利用对数平均不等式， ）例2：已知，若，是函数的两个零点，求证：分析：（*），消去a，代入（*），欲证，即证，即证，即证令，令在上单调增，得证。通过消元，换元，不断减少变量的个数。例3.，0a0即m1时，f(x)无零点当1-m=0即m=1时，f(x)有且只有一个零点当1-m1时，f(0)=1-m0,f(-m)0,必存在唯一的使得为的两个零点。（2）若函数有两个零点,不妨设，由（1），在（-，0）单调减，则即证即证构造函数，把不等式的问题转化为函数的单调性问题。构造,则，在（0，+）单调增。得证。一般步骤：1、构造差函数 2、研究的单调性 3、结合=0，判断的符号，从而确定的大小关系 4、由3再结合的单调性得结论。例5.已知（a为常数）（1）当a=0时，求的单调区间；（2）当a=1时，对任意的x1，恒有k成立，求实数k的取值范围；（3）当oa1时，设的三个极值点为，且，求证：分析：（1）略（2）k0（3），令，在单调减，单调增的三个极值点为，且oa1，h(a)=2lna0,h(1)=a-10在，在且当oa0.分析：当m2时，只需证当m=2时，0.（先放缩后证明）此时。以下易证。例2：设L为函数在点（1,0）处的切线。（1）求L的方程；（2）证明：当1时，。分析：（1）y=x-1（2）法一：由得，x1，构造函数,得证。法二：原不等式等价于。由y=x-1是的一条切线，则y=x-2是的一条切线.不妨试试此直线为隔离直线。以下易证。例3：证明不等式， 分析：要证，只要证： 即： 分析后可设（一般对数式的真数比较复杂时，可考虑整体换元）则 得证： *分析通项是关键，在解题时，可以把已知的函数不等式和要证的通项进行对照，必要时可以通过合理的变形，把它们联系起来。例4： （1）求的最小值；（2）证明：，解答：（1）：；（2）：法一：同上，令，在上单调递增，在上单调递减，；得证。法二：承上启下，借助（1）（1），从一般到特殊，(2(1)+(2)得（1,2等号不同时成立），得证。例5：已知，且在处的切线方程为.（1） 求的解析式； （2） 证明：当时，恒有；（3） 证明：若，且，则（1）解答：（2）处的切线方程为：下证（切线法）构造函数则当时，当，例6均是正实数，且，求三元函数的最小值，并给出证明.解：设.则在处的切线方程为.首先证明 ， ， 即证 此式显然成立. 同理有 式相加得，当且仅当时，这里，我们考虑与有什么关系？研究函数的性质不难发现直线是函数在处的切线，且位于图像的下侧，故在附近可用来近似估计. 例7：设且求证：证明：令. 则于是原不等式等价于.设.则.于是，在处的切线方程为先证： ， 即证 ，显然成立故 原