《概率论与数理统计》课程教案.docx

概率论与数理统计课程教案主讲教师_ 所在单位_授课班级_ 专业_ 撰写时间_教案编号07-0204教案内容4.5随机变量的函数的分布学时1教学目标基本要求(1) 掌握离散型随机变量函数分布的求解过程；(2) 掌握连续型随机变量函数分布的求解过程。能力要求1. 培养能力要求：a) 掌握概率论和数理统计中的基本概念和性质并能够运用到复杂工程问题的适当表述之中；b) 能够针对工程应用系统或过程的特点选择合适的概率分布来描述随机现象的统计规律性；教学重点离散型随机变量函数分布的求解过程；连续型随机变量函数分布的求解过程。教学难点连续型随机变量函数分布的求解过程。教学方法提问、讲授、启发、讨论工具仪器多媒体教具、教材、教案、教学课件、考勤表、平时成绩登记表教学安排考勤、复习相关知识点、新课内容概述、组织教学、布置作业、课后小结教学过程教学组织、具体教学内容及教学方法、手段、时间分配及其它说明备 注第一部分：旧知识点复习和新课内容概述(2分钟)在上一节的引理中已经接触过相关概念：即某一个随机变量可能是另一个随机变量的函数。在实际应用中，某些人们关心的随机变量Y往往不能直接测量得到，而它可能是某个能测量的随机变量的函数X。比如我们有时很关心圆柱轴截面的面积S，但无法直接获得，而我们能够获得圆柱轴截面的直径D，而随机变量S是随机变量D的函数，即S=(1/4)D2本节就是解决怎样由已知的随机变量X的概率分布求它的函数Y=g(X)的概率分布，其中g()是连续函数我们通过例子来总结出一般的步骤第二部分：离散型随机变量函数的分布（10分钟）例1：设随机变量X具有以下的分布律，试求Y=(X1)2的分布律X 1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.1 0.4解：首先获得Y的所有可能取值：0，1，4求解各取值的概率PY=0P(X1)2=0= PX=1=0.1PY=1P(X1)2=1= P(X=0+PX=2=0.7PY=4P(X1)2=4= P(X=1=0.2即得Y的分布律为Y 0 1 4pk 0.1 0.7 0.2对于离散型随机变量PY=yk等于所有满足ykg(X)的X的取值的概率之和。第三部分：连续型随机变量函数的分布（30分钟）例2：设随机变量X具有概率密度 fX(x)=，求随机变量Y=2X+8的概率密度解：分别记X,Y的分布函数为FX(x)，FY(y)，先求FY(y)FY(y)PYy将Y=2X+8代入 P2X8y表示为关于X的概率 PX(y8)/2即 FX(y8)/2)将FY(y)关于y求导得 fY(y)dFY(y)/dy=dFX(y8)/2)/dy = fX(y8)/2) d (y8)/2)/dy =注意：代入时，如果F(x)是分段函数，则x的取值范围用g1(y)来代求解连续型随机变量X的函数Y=g(X)的概率密度的一般步骤：已知fX(x)，Y=g(X)，求fY(y)1先写出Y的分布函数定义式：FY(y)PYy 由Y=g(X)确定Y的值域，当y不在值域范围内时单独讨论2将Y=g(X)代入上式 Pg(X)y3由g(X)y求解X的范围 PX|g(X)y 表示为y的形式4由X的分布函数FX(x)表示以上概率，得到关于y的表达式FY(y)，其中原自变量x用关于y的表达式来代。5求导得fY(y)dF(y)/dy例3：设随机变量X具有概率密度fX(x)，x，求Y=X2的概率密度解：1FY(y)PYy，由Y=X20，当y0时，FY(y)0 2代入Y=X2得FY(y)PYyP X2y 3 PX 4由FX(x)得 FY(y)FX()FX()5fY(y)dF(y)/dy在Y=g(X)，且g(X)为严格单调函数时的一般结果：定理：设随机变量X具有概率密度fX(x)，x0(或g(x)0的情况 FY(y)PYyPg(X)y 此时g(x)为单调增函数，所以h(y)也是单调增函数，且有y的取值范围为g()yg()，因此当y时，FY(y)0 当y时，FY(y)1当 y时，FY(y)PYyPg(X)yh(y)也是单调增函数 PXh(y) = FX(h(y)求导fY(y)dF(y)/dydFX(h(y)/dyg(x)0的情况，此时h(y)0(或g(x)0)，ming(a)，g(b)，maxg(a)，g(b)例4：正态分布的随机变量的线性变换问题已知随机变量XN(，2)，试证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布。证：X的概率密度为f(x)，x现在yg(x)=ax+b，由这一式子解得xh(y)=(y-b)/a，且有h(y)1/a显然g(x)是严格单调的由定理有fY(y)，y，y所以有Y= aX+bN(ab，(a)2)特别的当a1/，b/时，Y=(X)/=N(0，1)即上一节的引理的结果第四部分：总结离散型和连续型随机变量函数的分布求解过程（3分钟） 对于离散型随机变量，其函数Y=f(X)也是离散型随机变量，X的分布率PX=xk=pk, Y=f(X)的分布率Y=f(X)f(X1) f(X1) f(Xk) pkP1 p2 pk 若f(Xk)中有值相同的，应将相应的pk合并。 对于连续型随机变量，在求 Y= g (X) 的分布时，关键的一步是把事件 g(X) y 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P g(X) y .PPT板书讲解板书