苏锡常镇四市2019~2020学年度高三数学教学情况调研（一）解析版

1 2019 年年2020 学学年年度度苏苏锡锡常常镇镇四四市市高高三三教教学学情情况况调调研研（一一） 数数学学 一一、填填空空题题：本本大大题题共共 14 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共计计 70 分分请请把把答答案案填填写写在在答答题题卡卡相相应应位位置置上上 1已知i为虚数单位，复数 1 1 z i ，则z . 2已知集合01 ,13AxxBx ax ，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为. 3已知一组数据1.6 1.8 2 2.2 2.4， ， ，则该组数据的方差是. 4在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 22 2 1(0) 4 xy a a 的一条渐近 线方程为 2 3 yx，则a . 5甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 2 ，乙获胜的概率是 1 3 ，则乙不输的概率是 . 6右图是一个算法的流程图，则输出的x的值为. 7 “直线 1: 10laxy 与直线 2:4 30lxay平行”是“2a ”的条件. （填“充 分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）. 8已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 1 9a ， 95 4 95 SS ，则 n a . 9已知点M是曲线 2 2ln3yxxx上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切 线的方程为. 10已知3cos24sin(),(, ) 44 ，则sin2=. 9 1 25 20 0836 26 1 2113 23456 78910nyx 、 必要 、 不充 、 、分 、 、 11如图在矩形ABCD中，E为边AD的中点，. 2, 1BCAB分别以DA,为圆心，1为半径作圆弧EB，EC， 将两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形 （阴影部分） 绕直线AD旋转一周， 所形成的几何体的体积为. 23 42 131 33 V 解： 12在ABC中，()(1)ABACBC ，若角A的最大值为 6 ，则实数的值是. 2 22 () ()(1)cos0 123 cos()3 112 ABACABACcbbcA bc A cb 解： 13若函数( )(01) x f xaaa且在定义域 , m n上的值域是 22 ,(1)m nmn，则a的取值范围是. 0 0 2 2 00 2 22 00 0 00 ( )(1,) (1,) ln2 x x x ee x f xayx yayxx ax aeae aax 解：由题意知：与的图像在上恰有两个交点 考察临界情形：与切于 14. 如图，在ABC中，4,ABD是AB的中点，E在边AC上，2,AEEC CD与BE 交于点O，若2,OBOC则ABC面积的最大值为. 3 2222 31 ,12 222 222 2 428 2 ABCBOD COCDCACBCECB B O EOCDOBOD BODBDOBODOr SSBD r 解：设 共线为中点 在中，易知： 的轨迹为阿圆，其半径 故 二二、解解答答题题：本本大大题题共共6小小题题，共共计计90分分请请在在答答题题卡卡指指定定区区域域 内内作作答答，解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算 步步骤骤 15（本小题满分 14 分） 在ABC中，角, ,A B C所对应的边分别是, ,a b c，且满足cos3 sin0bAaB （1）求A； （2）已知2 3, 3 aB ，求ABC的面积 22 1sincos3sinsin0 sinsin sin0cos3sin cos0sin0sincos1cos0 3 tan 36 sin 26 sin ab BAAB AB BABCBAA AAAAA AAABCA aB bCA A 解：（）由正弦定理：得： 为内角，故，所以， 若，则，与矛盾，故 因此，又 为内角，所以，； （ ）由正弦定理得：， 2 1 6 3 2 B Sab 故 3 16（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形， ,BDDCPCD为正三角形，平面PCD 平面ABCD，E为 PC的中点 （1）证明：AP平面EBD； （2）证明：BEPC 1 / / / / 2 ACBDOOE ABCD OACEPC APOEAPEBDOEEBD APEBD PCDEPC PCDE PCDABCD P 证：（）连结交于点 ，连结 因为四边形为平行四边形 所以， 为中点，又 为中点 故，又平面，平面 所以，平面； （ ）因为为正三角形， 为中点 所以， 因为平面平面 平面 CDABCDCD BDABCDBDCD BDPCD PCPCDPCBD BDDEDBDBDEDEBDE PCBDE BEBDEBEPC 平面 又平面， 所以，平面 又平面，故 又，平面，平面 故平面 又平面，所以， 17（本小题满分 14 分） 某地为改善旅游环境进行景点改造如图，将两条平行观光道 1 l和 2 l通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道 路不计宽度）， 1 l和 2 l所在直线的距离为 0.5（百米），对岸堤岸线 3 l平行于观光道且与 2 l相距 1.5（百米） （其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于 3 l，且交 3 l于M），在堤岸线 3 l上的E，F两处建造建 筑物，其中E，F到M的距离为 1（百米），且F恰在B的正对岸（即 3 lBF ）. （1）在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道 AB 的方程； （2）游客（视为点 P）在栈道 AB 的何处时，观测 EF 的视角 （EPF）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点 P 的坐标 4 1 2 2 2 3 2 1 (1,0.5)2 120,1 2 2( 2 ,)0, 2 21212 tant Alxy Bxpy BpABxyx Pt ttPQlQEPQFPQ EQtPQtFQt EPF 解：（）以 为原点， 为 轴，抛物线的对称轴为 轴建系 由题意知：，设抛物线方程为 代入点 得：，故方程为：，； （ ）设，作于 ，记， ， 2 22 242 22 22 22 2 2112 tantan2(2) 22 an() 1tantan1223 1 (2) 3 2 ,22 2 22231 tan 3 2(2)2123 2 363 323 2 tt t tt ttt t txtx xx EPF xxxx x x xxtt x 令，则： 当且仅当即，即，即时取等 ( 31,23) ( 31,23) PEPF PEPF 故时，视角最大 答：时，视角最大 18（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 1 且经过点（1， 2 3 ）， A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，过左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 D，E 两点（其中 D 在 x 轴上方） （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若AEF与BDF的面积之比为 1:7求直线 l 的方程. 5 2 22 22 2222 112221 1 1 12 2 2 19 1 4 4 1231 43 11 2 21( 1,0)1(,)(,)0 1 () 37 2 7 1 3 ()() 2 BDF AEF a ab xy cbacbC cc a FlxmyD x yE xyyy ac y Sy yy Sy acy 解：（）设焦距为，由题意知：； （ ）由（）知：，设 ：， 22 22 212 2 2 1,2 2 12 2 21 22 2 2 222 1 (34)690 3412 6 361 34 144(1) 934 34 921 00 2(34)2(34) 1899 4(34)34 xmy mymy xy m yy mm m my m y y m mm yym mm m m mm ， 由得：， 代入得： 164 0 93 33 44 mm lyx ，又，故 因此，直线 的方程为： 6 19（本小题满分 16 分） 已知函数xmmxxxf 223 3 2 )(（Rm）的导函数为)(x f （1）若函数)()()(xfxfxg存在极值，求m的取值范围； （2）设函数)(ln)e ()(xffxh x （其中 e 为自然对数的底数），对任意Rm，若关于 x 的不等式 22 )(kmxh在（0，）上恒成立，求正整数k的取值集合 解：（1）因为 322 2 3 fxxmxm x，所以 22 22fxxmxm， 所以 3222 2 22 3 g xfxfxxmxmm xm， 则 22 2222gxxmxmm， 由题意可知， 2 2 42820mmm ，解得2,2m ； （2）由（1）可知， 22 22fxxmxm， 所以 2 22 2e2 e2 ln2ln2 xx h xmxmxm， 因为 2 2222 2e2 e2 ln2ln2 xx h xmxmxmmk， 整理得 2 222 2 eln2e2 ln0 xx mx mxk， 设 eln x H xx，则 1 e0 x Hx x ，所以 H x单调递增， 又因为 1 1e ee1 m m Hmm ，且 1 1e ee1 eee eee m m mm m Hmm ， 所以存在 1 e e1 e,e m mm x ，使得 eln x H xxm， 设 2 222 2 eln2e2 ln xx F mmx mxk， 则 2 2 min elneln xx F mFxxk， 设 eln x G xx，则 1 exGx x ， 2 1 e0 x Gx x ， 所以 Gx单调递增，因为 1 e20, 1e 1 0 2 GG ， 所以存在 0 1 ,1 2 x ，使得 0 0Gx，即 0 0 1 ex x ， 7 且当 0 0,xx时， 0Gx ，当 0, xx时， 0Gx ， 所以 G x在 0 0,x上单调递减，在 0, x 上单调递增， 所以 00 000 min 00 11 elneln xx G xG xxx xx ， 因为 0 1 ,1 2 x ，所以 00 0 15 2, 2 G xx x ， 又由题意可知， 2 2 0G xk，所以 22 22 0 min 0G xkG xk， 解得 0 kG x，所以正整数k的取值集合为1,2. 20（本小满分 16 分） 已知数列 n a， n b，数列 n c满足 * N n nb na c n n n 为偶数， 为奇数， , , . （1）若nan， n n b2，求数列 n c的前n2项和 n T2； （2）若数列 n a为等差数列，且对任意 * Nn， nn cc 1 恒成立 当数列 n b为等差数列时，求证：数列 n a， n b的公差相等； 数列 n b能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列 n b；若不能，请说明理由 解：（1）因为,2n nn an b，所以 2 2 2,4 n nn n b aa b ，且 1122 1,4cacb， 由题意可知，数列 21n c 是以1为首项，2为公差的等差数列， 数列 2n c是首项和公比均为4的等比数列， 所以 1 2 2 4 1 4 144 2 21 433 n n n n n Tnn ； （2） 设数列 n a的公差为d，数列 n b的公差为 1 d， 当n为奇数时， 1 1 nn caand， 1111nn cbbnd ， 8 若 1 dd，则当 11 1 adb n dd 时， 1111 0 nn ccdd nbda ， 即 1nn cc ，与题意不符，所以 1 dd， 当n为偶数时， 11 1 nn cbbnd， 111nn caand ， 若 1 dd，则当 111 1 bda n dd 时， 11111 0 nn ccddnadb ， 即 1nn cc ，与题意不符，所以 1 dd， 综上， 1 dd，原命题得证； 假设 n b可以为等比数列，设公比为q， 因为 1nn cc ，所以 21nnn ccc ，所以 2 2 2 20,1 n nn n b aadq b ， 所以当 1 0 1 a n d -，且 0 n为奇数时， 0 10 10 n aand，所以 0 0 n c ， 所以当 0 nn，当n为偶数时，0 nn cb，所以 2 2 1 n n b q b ， 因为当 2 1 4 1log 1 q d n bq ， 0 nn，且n为偶数时， 1 22 21 114 n nnn bbbqbqqd ， 所以当n为偶数，且 11nnn aba 时， 213 , nnn baa ， 即当n为偶数，且 11nnn ccc 时， 123nnn ccc 不成立，与题意矛盾， 所以数列 n b不能为等比数列. 9 2019 年年2020 学学年年度度苏苏锡锡常常镇镇四四市市高高三三教教学学情情况况调调研研（一一） 数数学学(附附加加题题) 21【选选做做题题】本本题题包包括括 A、B、C 三三小小题题，请请选选定定其其中中两两小小题题 ， 并并在在相相应应的的答答题题区区域域内内作作答答 若若多多做做，则则按按作作答答 的的前前两两小小题题评评分分解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分） 已知矩阵A 2 1 1 3 ，B 1 2 1 3 ，且二阶矩阵M满足AM=B.求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量. 解：设矩阵 ab cd M，则 133323 212211 abacbd cdacbd AM， 所以 32 33 21 21 ac bd ac bd ，解得1,0,1,1abcd ，所以 10 11 M， 则矩阵M的特征方程为 2 10f，解得1，即特征值为1， 设特征值1的特征向量为 x y ，则 M， 即 xx xyy ，解得0 x ，所以属于特征值1的一个特征向量为 0 1 B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为为参数） ( 2 cos323 cos2 2 y x .以原点O为极点，x轴非 负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin4. （1）求曲线C的普通方程； （2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标. 10 解：（1）因为曲线C的极坐标方程为4sin，所以 2 4 sin，且0,， 又因为 222, sinxyy，所以 22 4xyy，整理得 2 2 24xy， 即曲线C的普通方程为 2 2 24xy； （2）因为曲线l的参数方程为 2 2cos 32 3cos 2 x y ，且 2 cos2cos1 2 ， 所以 2cos 3cos2 3 x y ，消去cos，可得3yx， 所以曲线l的极坐标方程为sin3 cos，所以tan3，即 3 ， 在 2 4 sin中，令 3 ，解得0或2 3， 所以曲线l与曲线C的公共点的极坐标为 0, 2 3, 33 . C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知正数x，y，z满足tzyx（t为常数），且 2 22 94 z yx 的最小值为 7 8 ，求实数t的值. 解：因为 2222 2222222 191111 49449919619614714 xyxy zttzttt xyzt， 即 22 22 1 4914 xy zt，当且仅当 291 , 71414 xt yt zt时，上述等号成立， 所以 2 18 147 t ，即 2 16t ， 又因为, ,0 x y z，所以4xyzt 【必必做做题题】第第 22 题题、第第 23 题题，每每题题 10 分分，共共计计 20 分分请请在在答答题题卡卡指指定定区区域域 内内作作答答，解解答答时时应应写写出出文文字字说说明明、 证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤 22.（本小题满分10分） 某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽 奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球， 顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如 11 1,2,5），则获得一等奖，奖金40元；若摸出的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元； 其余情况获得三等奖，奖金10元. （1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望； （2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率. 解：（1）由题意可知，随机变量X的可能取值为10,20,40， 且 3 5 3 5 C1 40 A6 P X ， 3 5 3 5 C1 20 A6 P X ， 所以 2 1014020 3 P XP XP X ， 即随机变量X的概率分布列为 X102040 P 2 3 1 6 1 6 所以随机变量X的数学期望 21150 102040 3663 E X ； （2）由题意可知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A， 因为6020 340 10 10 ， 所以 32 1 3 12149 C 636216 P A . 23.（本小题满分10分） 已知抛物线C：pyx4 2 （p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k（k0）的直线交C于A，B两 点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S. （1）求点G的轨迹方程； （2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由. 解：（1）设 112200 ,A x yB xyG xy，则 22 1122 4,4xpy xpy， 抛物线C的方程可化为 2 1 4 yx p ，则 1 2 yx p ， 所以曲线C在点A处的切线方程为 11111 11 22 yxxxyx xy pp ， 在点B处的切线方程为 22222 11 22 yxxxyx xy pp ， 12 因为