平面向量基本定理（教案）

高2015级教案 必修4 第二章 平面向量 撰稿人：王海红2.3.1 平面向量基本定理【教学目标】1、知识与技能了解平面向量的基本定理；掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示，能够在具体问题中适当地选取基底，使其它向量都能用基底来表示。2、过程与方法使学生理解平面向量基本定理的证明，掌握利用平面向量基本定理将向量分解的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。3、情感、态度与价值观通过本节学习使学生进一步认识知识间的内在联系，学会用联系的观点看待事物。【教学重点】平面向量基本定理。【教学难点】平面向量基本定理的理解与应用。【教学方法】讲练结合法。【教学过程】创设情境 导入新课【投影】问题1：如图，给定平面内任意两个不共线的向量，请你作出向量。【总结】（1）已知向量，求作的一般步骤： 先根据已知条件及实数与向量的积的定义和向量共线的充要条件，作出向量； 再根据向量加法的平行四边形法则，作出。 （2）由两个已知不共线的向量画图来表示平面内任一向量的关键就是牢牢掌握向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件。问题2：如图所示，是平面内两个不共线的向量，是平面内的任一向量，同学们能否找出与之间的关系？【导语】如何解决这个问题，问题的结论是什么？这就是我们这堂课要解决的问题。板书课题：平面向量基本定理。合作交流 解读探究1、平面向量基本定理：（向量的分解） 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有唯一一对实数，使得：。其中不共线的两个向量 叫做表示这一平面内所有向量的两个基向量，向量组叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。【证明】（存在性）如图所示： 在平面内任取一点，作。过点作平行于直线的直线，与直线交于；过点作平行于直线的直线，与直线交于；则由共线向量定理知：有且只有唯一一对实数，使得，又由向量加法的平行四边形法则知：，所以。（唯一性）假设存在，且则：即：，因为，这与矛盾，所以存在唯一一对实数使得。【说明】（1）基底的特征：基底是两个不共线的向量的一个向量组；基底是不唯一的。平面内的任意两个不共线的向量均可作为基向量。零向量与任一向量共线，所以零向量不能作为基向量。 （2）由定理可知：任一向量在给出基底的条件下都可以进行分解。 （3）在基底给定时，每一个向量的分解形式是唯一的。即： 。 特别地，当时，恒有。【例1】如果是平面两个不共线的两个向量，那么下列说法中不正确的是 。（填写对应说法的序号） 可以表示平面内的所有向量； 对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个； 若向量与共线，有且只有一个实数，使得 若存在实数使得，则。【变式1】设是不共线的两个向量，给出下列四组向量： 与；与；与；与。 其中能作为平面内所有向量的一组基底的是 （写出满足条件的序号）【例2】已知是不共线的两个向量，试用表示。【变式2】已知向量是不共线的两个向量，实数满足，则的值为（ ） 2、两个非零向量的夹角： 如图所示，已知两个非零向量，在平面上任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作：。【说明】（1）研究两个非零向量的夹角时，必须先将这两个向量的起点移至同一个点；但是当两个向量的终点重合时，表示向量的这两条线段所成的范围内的角也等于这两个向量之间的夹角。（2）只有非零向量之间才存在夹角； （3）两个非零向量的夹角的范围：； （4）如果，我们就说向量与垂直，记作：；（5）特别地：且同向； 且反向； ； （6）。应用迁移 巩固提高题型一：利用基底来表示向量【例1】如图，四边形是以为邻边的平行四边形，又，试用表示。【变式1】在平行四边形中，分别是的中点，设，试以为基底表示向量。题型二：向量的夹角问题【例2】已知，且与的夹角为，则与的夹角是多少？与的夹角是多少？【变式2】已知，且与和与相等，求与的夹角。题型三：利用平面向量基本定理求参数【例3】已知，点在内，且，设 ，求的值。【变式3】在中，且与相交于点，是的中点，与相交于点，若，则（ ） 题型四：共线向量与平面向量基本定理的综合应用【例4】如图所示，在中，分别是边上的点，且 ，设与交于点，试以为基底表示。【变式4】如图所示，已知在中，点是以为中点的点的对称点，和交于点，设。（1）用表示向量；（2）若，求实数的值。【补例1】如图，在中，与交于，设，以为基底表示向量。【解】设，则： ，； ，；，即： ，即： ， 综上：。【另解】设， ， 三点共线，； ， 三点共线，； 综上：【补例2】如图所示，中，与交于点，求证：。【证明】方法一：设是线段上一点，且。 设，则： ， ， 三点共线，与重合，。 方法二：设，则：， 设， ， ，又三点共线，综上：， 【另解】：设，则：， 设， ， ， ， 又三点共线， ，综上：，【补变式2】如图所示，在中，点是的中点，点是上一点，且与相交于点，求。【解】设，则：； 设，则： 又； ， ， 综上：， 。 【另解】设，则：； 设，则： 又；三点共线， 综上：， 。当堂检测 随堂巩固1、等边中，与的夹角是（ ） 2、如图，已知，用表示，则等于（ ） 3、已知为的重心，设，试用表示向量。总结反思 拓展延伸1、对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件。(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底。2、准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一