子空间直和的判定与证明

子空间直和的判定与证明一、 直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量的分解式=1+2， 1V1，2V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1V2.二、 判定定理：1. 定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式 1+2=0， iVi （i=1,2）只有在i全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。 必要性：显然成立； 充分性：设V1+V2，它有两个分解式 =1+2=1+2， i,iVi （i=1,2） 于是 （1-1）+（2-2）=0. 其中i-iVi （i=1,2）.由定理的条件，应有 1-1=0， i=i （i=1,2）. 这就是说，向量的分解式是唯一的。2. 定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1V2=0. 证明：充分性：假设1+2=0， iVi （i=1,2） 那么1=-2 V1V2. 由假设1=2=0. 这就是证明了V1+V2是直和。 必要性：任取向量V1V2，于是零向量可以表成 0=+（-）， V1，V2. 因为是直和，所以=-=0， 这就证明了V1V2=0. 3. 定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1V2的充分必 要条件是 维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知， 维（V1V2）=0，则 V1V2=0， 由定理2得，V1+V2是直和。 必要性：因为维（W）+维（V1V2）=维（V1）+维（V2）， 由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是 V1V2=0，这与维（V1V2）=0等价， 则维（W）=维（V1）+维（V2）.4. 定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=UW.证明：取U得一组基1，m，把它扩充为V的一组基1，m， m+1，n，令W=L（m+1，n）.W即满足条件。三、 （1）直和的定义1：设V1，V2, Vs都是线性空间V的子空间，如果和V1+V2+Vs中每个向量的分解式=1+2+s， iVi （i=1,2, ,s） 是唯一的，这个和就是直和，记为V1V2Vs.（2）直和的定义2： W=Vi是直和的充分必要条件是：1 零向量的表法不唯一； 2 ViVj=0 (i=1,2, ，s)； 3 维（W）=维（Vi） （i=1,2, ，s）.四、 例题：1 已知Pn*n的两个子空间S1=A|A=A,APn*n, S2=A|A=-A,APn*n, 证明：Pn*n=S1S2. 证明：先证Pn*n=S1+S2. 对任意的APn*n，有A=(A+A)/2+(A-A)/2=B+C, 其中，B=(A+A)/2, C=(A-A)/2, 容易验证B=B, C=-C. 所以 BS1， CS2，即有Pn*n=S1+S2. 再证S1S2=0. 若D S1S2,则 D=D, D=-D, 所以D=0,即S1S2=0. 综上得，Pn*n=S1S2. 2.设V1，V2分别是齐次方程组x1+x2+xn=0和x1=x2=xn的解空间，证明Pn= V1V2.证明：齐次方程组x1+x2+xn=0解空间的一组基1=（-1,1,0，0）， 2=（-1,0,1,0，0），n-1=（-1,0，0，1）.因此， V1=L（1，2，n-1）.齐次方程组x1=x2=xn的一般解为 x1=xnx2=xnxn-1=xn 从而它的解空间的一组基为=（1,1，1），因此 V2=L(). 取向量1，2，n-1，由于， det-1 10-11=(-1)n-1*n0， 从而1，2，n-1，线性无关，因此它是Pn的一组基，于是， Pn =L（1，2，n-1，）. 因为V1+V2= L（1，2，n-1）+L() =L（1，2，n-1，）=Pn. 维（V1）+维（V2）=(n-1)+1=n=维（Pn）.所以 Pn= V1V2.3.证明每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。 证明：设V的一组基为1，2，n， 则V=L(1)+L(