傅里叶级数的快速算法详解幻灯片.ppt

第二章离散傅里叶变换及其快速算法,1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式，但是他未能给出所需的加权系数。Jean-Baptiste-JosephFourier于1768年3月出生在法国的Auxerre，当他8岁时不幸成了一名孤儿。Fourier对数学产生了浓厚的兴趣。21岁那年，Fourier在巴黎学术界论述了有关数值方程解的著名论作，这一工作使他在巴黎的数学界出名。1798年，拿破仑侵略埃及，在侵略队伍中一些有名的数学家和科学家，Fourier就是其中的一位，回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官，就是在此期间，Fourier完成了其经典之作Theorieanalytiquedelachaleur(热能数学原理)。在该著作中，他证明了任一周期函数都可以表示成正弦函数和的形式，其中正弦函数的频率为周期频率的整数倍。,Fourier,离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。,2.1离散傅里叶变换（DFT）,为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。2.1.1离散傅里叶级数（DFS）一个周期为N的周期序列，即，k为任意整数，N为周期,周期序列不能进行Z变换，因为其在n=-到+都周而复始永不衰减，即z平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。,将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取k=0到(N-1)这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数，,利用正弦序列的周期性可求解系数将上式两边乘以，并对一个周期求和,k=r,N=8,kr,N=8,上式中部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有或写为,1)可求N次谐波的系数2）也是一个由N个独立谐波分量组成的傅里叶级数3）为周期序列，周期为N。,时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为,习惯上：记,假设都是周期为N的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为：,1）线性,a,b为任意常数,DFS的几个主要特性：,证:因为及都是以N为周期的函数，所以有,2）序列移位,由于与对称的特点，同样可证明,证:,同理:,对于复序列其共轭序列满足,3）共轭对称性,进一步可得,共轭偶对称分量,共轭奇对称分量,4）周期卷积若则或,周期卷积,周期为5,x(n),h(n),n,n,周期卷积,x(k),h(0-k),k,y(0),n,周期卷积,x(k),h(1-k),k,y(1),n,周期卷积,x(k),h(2-k),k,y(2),n,周期卷积,x(k),h(3-k),k,y(3),n,周期卷积,x(k),h(4-k),k,y(4),n,周期卷积,y(n),n,先计算主值区间，再周期延拓，求得最终的周期卷积的结果，如下图所示。,证：这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即m=0N-1），称为周期卷积。例：、，周期为N=7,宽度分别为4和3，求周期卷积。结果仍为周期序列，周期为N=7。,由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式，若,则,2.1.2离散傅里叶变换（DFT）,我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。一个有限长序列x(n)，长为N，为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列，它由长度为N的有限长序列x(n)延拓而成，它们的关系：,周期序列的主值区间与主值序列：对于周期序列，定义其第一个周期n=0N-1，为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列x(n)。x(n)与的关系可描述为：数学表示：RN(n)为矩形序列。符号(n)N是余数运算表达式，表示n对N求余数。,例：是周期为N=8的序列，求n=11和n=-2对N的余数。因此,频域上的主值区间与主值序列：,周期序列的离散傅氏级数也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间，以及主值序列X(k)。数学表示：,长度为N的有限长序列x(n)，其离散傅里叶变换X(k)仍是一个长度为N的有限长序列，它们的关系为：x(n)与X(k)是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知x(n)就能唯一地确定X(k)，同样已知X(k)也就唯一地确定x(n)，实际上x(n)与X(k)都是长度为N的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。有限长序列隐含着周期性。,DFT的矩阵方程表示,DFT特性：,以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序列的DFS有关。假定x(n)与y(n)是长度为N的有限长序列，其各自的离散傅里叶变换分别为：X(k)=DFTx(n)Y(k)=DFTy(n)(1)线性DFTax(n)+by(n)=aX(k)+bY(k),a,b为任意常数,(2)循环移位有限长序列x(n)的循环移位定义为：f(n)=x(n+m)NRN(n)含义：1)x(n+m)N表示x(n)的周期延拓序列的移位：2)x(n+m)NRN(n)表示对移位的周期序列x(n+m)N取主值序列,所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。f(n)实际上可看作序列x(n)排列在一个N等分圆周上，并顺时针旋转m位。,循环移位,f(n)=x(n+2)NRN(n),循环移位,移位前,左移两位后,证：利用周期序列的移位特性：实际上，利用WN-mk的周期性，将f(n)=x(n+m)NRN(n)代入DFT定义式，同样很容易证明。,序列循环移位后的DFT为F（k）=DFTf（n）=x（k）,同样，对于频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性：IDFTX(k+l)NRN(k)=x（n）,（3）循环卷积若F（k）=X（k）Y（k）则或,证：这个卷积可看作是周期序列卷积后再取其主值序列。将F（k）周期延拓，得：则根据DFS的周期卷积公式：因0mN-1时，x(m)N=x(m)，因此经过简单的换元可证明：,这一卷积过程与周期卷积比较，过程是一样的，只是这里只取结果的主值序列，由于卷积过程只在主值区间0mN-1内进行，所以实际上就是y（m）的循环移位，称为“循环卷积”，习惯上常用符号“”表示循环卷积，以区别于线性卷积。,循环卷积,x(n),h(n),n,n,循环卷积,x(k),k,y(n)=x(n)*h(n),n,h(0-k),循环卷积,x(k),k,y(n)=x(n)*h(n),n,h(1-k),循环卷积,x(k),k,y(n)=x(n)*h(n),n,h(2-k),循环卷积,x(k),k,y(n)=x(n)*h(n),n,h(3-k),循环卷积,x(k),h(4-k),k,y(n)=x(n)*h(n),n,循环卷积,y(n)=x(n)*h(n),n,由有限长序列x(n)、h(n)构造周期序列,计算周期卷积,卷积结果取主值,如下图所示。,同样，若f(n)=x(n)y(n)，则,（4）有限长序列的线性卷积与循环卷积（循环卷积的应用）实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号x(n)通过系统h(n)，其输出就是线性卷积y(n)=x(n)*h(n)。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。现在我们来讨论上述x(n)与h(n)的线性卷积，如果x(n)、h(n)为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真。,有限长序列的线性卷积：,假定x(n)为有限长序列，长度为N，y(n)为有限长序列，长度为M，它们的线性卷积f(n)=x(n)*y(n)也应是有限长序列。因x(m)的非零区间：0mN-1，y(n-m)的非零区间：0n-mM-1，这两个不等式相加，得：0nN+M-2，在这区间以外不是x(m)=0，就是y(n-m)=0，因而f(n)=0。因此，f(n)是一个长度为N+M-1的有限长序列。,循环卷积：,重新构造两个有限长序列x(n)、y(n)，长度均为LmaxN,M，序列x(n)只有前N个是非零值，后L-N个为补充的零值；序列y(n)只有前M个是非零值，后L-M个为补充的零值。为了分析x(n)与y(n)的循环卷积，先看x(n),y(n)的周期延拓：,根据前面的分析，f（n）具有N+M-1个非零序列值，因此，如果周期卷积的周期LN+M-1，那么f（n）周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重叠，出现混淆现象。只有LN+M-1时，才不会产生交叠，这时f（n）的周期延拓中每一个周期L内，前N+M-1个序列值是f（n）的全部非零序列值，而剩下的L（N+M-1）点的序列则是补充的零值。循环卷积正是周期卷积取主值序列：所以使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是：LN+M-1,比较线性卷积与循环卷积,例:设有两个序列，x(n)为N=4矩形序列，y(n)为M=6矩形序列，观察其线性卷积和圆周卷积。由线性卷积定义可直接验证，两者的线性卷积f(n)=x(n)*y(n)具有N+M-1=9个非零值,其结果见下图左半部分(c)，不同L下的圆周卷积结果在图的右半部分。图线性卷积和循环卷积图中（d）、（e）、（f），反映了不同L下循环卷积与线性卷积之间的关系，图（d）中L=6，产生严重的混淆，致使fl(n)与f（n）已完全不同，图（e）中L=8，这时有两点（n=0，n=8）发生混淆失真，只有图（f）中，满足条件LN+M-1=9，循环卷积与线性卷积相同（与图（c）比较）。,（5）共轭对称性设x*(n)为x(n)的共轭复数序列，则DFTx*(n)=X*(N-k)证：DFTx*(n)0kN-1由于因此，DFTx*(n),说明：当k=0时，应为X*(N-0)=X*(0)，因为按定义X（k）只有N个值，即0kN-1，而XN已超出主值区间，但一般已习惯于把X（k）认为是分布在N等分的圆周上，它的末点就是它的起始点，即XN=X0，因此仍采用习惯表示式DFTx*（n）=X*（N-k）以下在所有对称特性讨论中，XN均应理解为XN=X0，同样，x(N)=x(0)。,2.复序列的实部与虚部的DFT变换以xr(n）和xi(n)表示序列x(n)的实部与虚部即x(n)=xr(n)+jxi(n)则,Xe(k)和X0(k)表示实部与虚部序列的DFT，则,显然，Xe(k)与Xo(k)对称性：故因此,Xe(k)具有共轭对称性，称为X(k)的共轭偶对称分量。,用同样的方法可得到X0(k)=-X*0(N-k)即Xo(k)具有共轭反对称特性，称其为X(k)的共轭奇对称分量。对于纯实数序列x（n），即x（n）=xr（n），X（k）只有共轭偶对称部分，即X（k）=Xe（k），表明实数序列的DFT满足共轭对称性，利用这一特性，只要知道一半数目的X（k），就可得到另一半的X（k），这一特点在DFT运算中可以加以利用，以提高运算效率。,根据x(n)与X(k)的对称性，同样可找到X(k)的实部、虚部与x(n)的共轭偶部与共轭奇部的关系。分别以xe(n)及x0(n)表示序列x(n)的圆周共轭偶部与圆周共轭奇部：同样应从圆周意义上理解x(N-0)=x(0)。可证明:DFTxe(n)=ReX（k）DFTx0(n)=jImX（k）,（6）选频性（对0有限制？）对复指数函数进行采样得复序列x(n)0nN-1其中q为整数。当0=2/N时，x（n）=ej2nq/N,其离散傅里叶变换为写成闭解形式可见，当输入频率为q0时，变换X（K）的N个值中只有X（q）=N，其余皆为零，如果输入信号为若干个不同频率的信号的组合，经离散傅里叶变换后，不同的k上，X（k）将有一一对应的输出，因此，离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。,例:求余弦序列,的DFT,（7）DFT与Z变换有限长序列可以进行z变换比较z变换与DFT变换，可见，当z=w-kN时，即,图DFT与z变换,o,o,o,o,o,o,o,o,o,o,o,X(ej),X(k),o,Rez,jImz,o,变量,周期,分辨率,是z平面单位圆上幅角为的点，即将z平面上的单位圆N等分后的第k点。,1）X(k)也就是z变换在单位圆上等间隔的采样值。2）X(k)也可看作是对序列傅氏变换X(ej)的采样，采样间隔为：N=2/N。即,结论：,采样定律告诉我们，一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息；DFT变换进一步告诉我们，对于时间有限的信号（有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失任何信息，这正反应了傅立叶变换中时域、频域的对称关系。它有十分重要的意义，由于时域上的采样，使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列），而DFT的理论不仅在时域，而且在频域也离散化，因此使得在频域采用数字技术处理成为可能。FFT就是频域数字处理中最有成效的一例。,（8）DFT形式下的Parseval定理,令k=0,得到,2.2利用DFT做连续信号的频谱分析,利用DFT计算连续信号的频谱,（1）混迭对连续信号xa(t)进行数字处理前，要进行采样采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为fs，如采样率过低，不满足采样定理，fs2fh，则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数字处理失去依据。,（2）泄漏处理实际信号序列x（n）时，一般总要将它截断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形窗w(n)=RN(n)。矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大时，就是一个冲击函数。我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以，加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲激函数的卷积才是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。,例如，信号为，是一单线谱，但当加窗后，线谱与抽样函数进行卷积，原来在0处的一根谱线变成了以0为中心的，形状为抽样函数的谱线序列，原来在一个周期（s）内只有一个频率上有非零值，而现在一个周期内几乎所有频率