建立“双直角三角形全等”模型

建立“双直角三角形全等”模型解决几何难题 -中考命题趋势全等三角形的性质和判定在中考命题中所占的比例约8%左右，其中开放题、探究题、实际操作试题等是近年来常见的题型。本专题的知识主要是应用全等三角形的性质和判定建立数学模型，并应用模型解决问题复习策略DCBAEH图1复习时，重点训练“双直角三角形全等”的判定及应用，培养学生的建模思想，并能应用数学模型来解决探究性问题的能力。 【引例】在ABC中，ADBC, BEAC, D、E为垂足，AD与BE交与点H，BD=ADDCBAEH图2 求证：BH=AC 【析解】证明线段相等最常用的方法就是证明三角形全等。在本题中，已知BD=AD，ADB=ADC=90,再找一对元素对应相等即可。这里只能找一对角对应相等，不妨证HBD=CAD.方法一：利用等角（AHE=BHD）的余角相等来证明；方法二：利用C的余角相等证明，学生由AAS很容易证得。【评注】本题中两个直角三角形的位置，可以看作一个是站着的RtADC，一个是躺着的RtBDH，我们把具有这种位置关系的两个直角三角形作为一种数学模型，即“双直角三角形全等模型”，来加以演变和应用，从而轻松地解决我省08年的一道中考题。【应用】（湖北08中考6）如图2，已知中，是高和的交点，则线段的长度为（ ）AB4CD5【析解】求BH的长，实际上就是证明BH=AC，因为ADBC, ABC=45,所以，AD=BD, 从而就转化为引例的证明。本例就是“双直角三角形全等模型”的应用。变式训练【变形一】改变引例中条件和结论的位置，可以得到下列命题：已知：ABC中，ADBC于D, E为AC上一点，AD交BE于H, 且BH=AC, BD=AD.求证：BEAD【析解】由已知，易得RtBDHRtADC(HL), CAD=HBD, 再证BEAD,有两种方法：方法一：在AEH和BDH中，因为 AHE=BHD， 由三角形内角和定理可得AHE=BDH = 90,即得BEAD。方法二：在RtADC中，CAD + C = 90, HDB + C = 90,由三角形内角和定理可得BEC= 90,即得BEAD。【评注】证明垂直对于学生来说比较难，一定要让学生能正确地书写证明过程，从而为解决08年中考试题打好基础。【变式二】让学生对引例变形，得到新的命题。【评注】在许多命题中，都可以适当改变条件或结论，得到新的命题，即“一题多变”，从而对某个问题举一反三，加深理解。这样不仅训练了学生的创新思维，也提高了学生的积极性和主动性。【应用二】（08河北中考第24题）如图14-1，在ABC中，BC边在直线l上，ACBC，且AC = BCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由【析解】 本题通过平行移动构造对图形的三种状态，蕴含了让学生经历观察、动手操作、猜测、合理而且将关注“变化过程中存在的不变量（垂直且相等）”这一重要的数学基本观念作为考查核心试题的要求层次分明其区别的实质在于对问题情境中“变化过程中蕴涵的不变因素平移”现象的领悟，既抓住了问题的关键所在，又使得学习水平层次不同的学生在考试中都有发挥的机会和余地，从而通过对不同层次的学生采用不同的评价，体现尊重学生的数学差异，有利于激发学生的思维激情和潜能，提高试题的信度和效度（1）比较简便，AB=AP, ABAP (2)由第（1）问得到启发，BQ=AP ,BQAP证明的方法：我们看RtBQC和RtACP和引例中两个直角三角形的位置很类似，所以可以转化为这个数学模型来证明。较难的一步就是找第三对元素对应相等，因为EFP是等腰三角形，所以QPC=45,又ACBC,CQ = CP ,由SAS判定两三角形全等即可。 （3）尽管图形位置变了，但结论和证明方法并没有改变。可以让学生试着做一下，证明确有难度的话，可以再给提示。课题总结：几何命题的证明方法很多，但只要能找到规律，找到“数学模型”，那么，我们就可以“以不变应万变“，任何难题都可以迎刃而解。所以，我们在以后的学习过程中，要不断寻求新的数学方法，逐步提高自己的技能和技巧。练一练（2006年辽宁沈阳25题）.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：AF=DE；AFDE.(不需要证明)(1)如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立？(请直接回答“成立”或“不成立”)(2)如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，